Даглас Хофштадтер (автор «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда») опубликовал статью лет 10 назад, с ответами на вопросы восьмиклассницы о его отношениях с математикой, что ему было трудно в ней, какие он советы даст школьникам итд. Он открыто и откровенно говорит там о своих сложностях, используя метафоры "потолка абстракции" и разреженного воздуха альпиниста, и его впечатления покажутся знакомыми многим, я думаю - несомненно мне они знакомы. Привожу длинные отрывки в переводе с англ.:
"Я с благодарностью воспринимаю то, что меня считают математиком (и тем более "выдающимся"!), но, к сожалению, я совсем не принадлежу к этому довольно редкому виду. Я "математическая личность", это несомненно: я рос с глубокой любовью к математике и размышлял о математических вещах практически всю свою жизнь (вплоть до сегодняшнего дня), но в начале двадцатых годов моей жизни наступил момент, когда я внезапно осознал, что просто не способен мыслить достаточно чётко на том уровне абстракции, который необходим для внесения серьёзного вклада в современную математику. Это произошло, когда я учился в аспирантуре по математике (в Беркли), и ввиду этого осознания я бросил учёбу. Это был очень резкий поворот в моей карьере и, нечего и говорить, огромный удар по моему эго.
Как я это формулирую теперь, в начале аспирантуры по математике "я ударился головой о свой потолок абстракции" – и что забавно в этом в остальном очень огорчительном образе, так это то, что так называемый "потолок абстракции" находился внутри моей головы! Это было внутреннее ограничение моего мозга или разума! Так что нужно представить, как мой череп ударяется прямо в жёсткое препятствие, которое находится внутри самого черепа – ой!
До того травматического события в Беркли, когда мне было около 22 лет, я ни на мгновение не подозревал, что в моей голове существует такая вещь, как "потолок абстракции". Я всегда считал само собой разумеющимся, что моя способность усваивать абстрактные идеи в математике будет продолжать расти по мере получения новых знаний и опыта в математике, как это было в школе и колледже. На самом деле, я специализировался на математике в Стэнфорде, и за четыре года учёбы там я провёл множество самостоятельных исследований определённых видов закономерностей в теории чисел и сделал массу открытий, которых никто из моих профессоров никогда не видел, и процесс совершения этих прекрасных открытий полностью опьянил меня, заставив поверить, что у меня есть всё необходимое, чтобы стать математиком мирового класса. Это было восхитительное, прекрасное, захватывающее чувство, и оно длилось несколько лет, но в конце концов, увы, оказалось иллюзией.
Как я говорю, я обнаружил через пару лет, когда учился в аспирантуре по математике, что просто не способен усваивать идеи, которые было необходимо усвоить для того, чтобы стать высококлассным профессиональным математиком. Или точнее, если я и мог их усвоить, то только черепашьим шагом, и даже тогда моё понимание всегда оставалось размытым и нечётким, и я постоянно должен был возвращаться назад, чтобы пересматривать и освежать мои слабые познания. Вещи на том разреженном уровне абстракции (теория групп, теория колец, теория полей, теория Галуа, топология и т.д. - фундаментальные курсы, которые были обязательны для всех аспирантов в Беркли) просто не задерживались в моей голове так, как более конкретные темы из программы бакалавриата (математический анализ, комплексные переменные, теория чисел, математическая логика). Это было похоже на пребывание высоко в горах, где атмосфера становится настолько тонкой, что внезапно становится трудно дышать и даже ходить. Если альпинист не знает, что атмосфера становится всё более разреженной по мере подъёма, то в какой-то момент на очень высокой горе он будет застигнут врасплох и озадачен своей внезапной неспособностью продолжать восхождение в том же темпе, что и раньше – его шокирует то, что он замедлился до ползания или полной остановки. Это будет смущающий, пугающий и отрезвляющий опыт.
👇
"Я с благодарностью воспринимаю то, что меня считают математиком (и тем более "выдающимся"!), но, к сожалению, я совсем не принадлежу к этому довольно редкому виду. Я "математическая личность", это несомненно: я рос с глубокой любовью к математике и размышлял о математических вещах практически всю свою жизнь (вплоть до сегодняшнего дня), но в начале двадцатых годов моей жизни наступил момент, когда я внезапно осознал, что просто не способен мыслить достаточно чётко на том уровне абстракции, который необходим для внесения серьёзного вклада в современную математику. Это произошло, когда я учился в аспирантуре по математике (в Беркли), и ввиду этого осознания я бросил учёбу. Это был очень резкий поворот в моей карьере и, нечего и говорить, огромный удар по моему эго.
Как я это формулирую теперь, в начале аспирантуры по математике "я ударился головой о свой потолок абстракции" – и что забавно в этом в остальном очень огорчительном образе, так это то, что так называемый "потолок абстракции" находился внутри моей головы! Это было внутреннее ограничение моего мозга или разума! Так что нужно представить, как мой череп ударяется прямо в жёсткое препятствие, которое находится внутри самого черепа – ой!
До того травматического события в Беркли, когда мне было около 22 лет, я ни на мгновение не подозревал, что в моей голове существует такая вещь, как "потолок абстракции". Я всегда считал само собой разумеющимся, что моя способность усваивать абстрактные идеи в математике будет продолжать расти по мере получения новых знаний и опыта в математике, как это было в школе и колледже. На самом деле, я специализировался на математике в Стэнфорде, и за четыре года учёбы там я провёл множество самостоятельных исследований определённых видов закономерностей в теории чисел и сделал массу открытий, которых никто из моих профессоров никогда не видел, и процесс совершения этих прекрасных открытий полностью опьянил меня, заставив поверить, что у меня есть всё необходимое, чтобы стать математиком мирового класса. Это было восхитительное, прекрасное, захватывающее чувство, и оно длилось несколько лет, но в конце концов, увы, оказалось иллюзией.
Как я говорю, я обнаружил через пару лет, когда учился в аспирантуре по математике, что просто не способен усваивать идеи, которые было необходимо усвоить для того, чтобы стать высококлассным профессиональным математиком. Или точнее, если я и мог их усвоить, то только черепашьим шагом, и даже тогда моё понимание всегда оставалось размытым и нечётким, и я постоянно должен был возвращаться назад, чтобы пересматривать и освежать мои слабые познания. Вещи на том разреженном уровне абстракции (теория групп, теория колец, теория полей, теория Галуа, топология и т.д. - фундаментальные курсы, которые были обязательны для всех аспирантов в Беркли) просто не задерживались в моей голове так, как более конкретные темы из программы бакалавриата (математический анализ, комплексные переменные, теория чисел, математическая логика). Это было похоже на пребывание высоко в горах, где атмосфера становится настолько тонкой, что внезапно становится трудно дышать и даже ходить. Если альпинист не знает, что атмосфера становится всё более разреженной по мере подъёма, то в какой-то момент на очень высокой горе он будет застигнут врасплох и озадачен своей внезапной неспособностью продолжать восхождение в том же темпе, что и раньше – его шокирует то, что он замедлился до ползания или полной остановки. Это будет смущающий, пугающий и отрезвляющий опыт.
👇
Именно так это было со мной в Беркли. Внезапно я отчаянно боролся, буксовал,скользил, никуда не продвигался, постоянно пребывал в замешательстве и был чрезвычайно обескуражен. За год или около того я потерял практически всю уверенность в своих математических способностях, хотя я очень хорошо выступал на различных математических соревнованиях в школе и также весьма успешно участвовал в подобных соревнованиях в колледже.
[автор переходит на учебу физике и успешно заканчивает докторскую степень в другом университете]
Но как только я получил докторскую степень по физике, я оставил физику навсегда (как и в математике в Беркли, у меня также были очень травматичные переживания в физике в Орегоне, к моему большому шоку и разочарованию), и я в итоге перешёл в когнитивную науку – область, в которой изучается природа самого мышления, которая является гораздо менее математической дисциплиной, и она определённо не требует тех же видов высоких абстракций, которые так сильно сломали мой мозг, когда я был в Беркли."
[источник. В конце статьи Хофштадтер приводит несколько примеров книг, открывающих путь в математику для интересующегося подростка или взрослого]
[автор переходит на учебу физике и успешно заканчивает докторскую степень в другом университете]
Но как только я получил докторскую степень по физике, я оставил физику навсегда (как и в математике в Беркли, у меня также были очень травматичные переживания в физике в Орегоне, к моему большому шоку и разочарованию), и я в итоге перешёл в когнитивную науку – область, в которой изучается природа самого мышления, которая является гораздо менее математической дисциплиной, и она определённо не требует тех же видов высоких абстракций, которые так сильно сломали мой мозг, когда я был в Беркли."
[источник. В конце статьи Хофштадтер приводит несколько примеров книг, открывающих путь в математику для интересующегося подростка или взрослого]
Мне понравилась дискуссия в прошлой записи с задачкой по физике. Давайте попробуем еще раз. Эта попалась мне на днях и заставила подумать, не только о том, как решать, но и какие предположения сделать.
Вопрос: какого максимального размера может быть астероид, с которого вы можете убежать с помощью прыжка вверх?
Вопрос: какого максимального размера может быть астероид, с которого вы можете убежать с помощью прыжка вверх?
Умно: полгода носить с собой в кошельке ключ от офиса, в кармашке с монетами, он небольшой, все равно редко монетами пользуемся в наше время. На тот случай, если вдруг окажусь в офисе - без своей связки ключей по какой-то причине; и в офисе нет А., который там еще больше времени, чем я, проводит; и, наконец, нет завхоза здания, у которого можно попросить открыть - вот для такого случая держать запасной ключ в кошельке. Для такого редкого случая. Как сегодня и случилось.
Умнее: проверить хотя бы раз за полгода, что запасной ключ от офиса, который носишь в кошельке, действительно ключ, который открывает офис, а не какой-то непонятный ключ, который с ним перепутал.
Мораль для программистов: периодически проверять, что бэкапы действительно содержат бэкапы, и системы для аварийного переключения (failover) действительно аварийно переключаются.
Умнее: проверить хотя бы раз за полгода, что запасной ключ от офиса, который носишь в кошельке, действительно ключ, который открывает офис, а не какой-то непонятный ключ, который с ним перепутал.
Мораль для программистов: периодически проверять, что бэкапы действительно содержат бэкапы, и системы для аварийного переключения (failover) действительно аварийно переключаются.
Попался вопрос: "Как вы думаете, если случайно выбрать отрезок внутри квадрата 1x1 - его длина будет сильно меньше 0.5, сильно больше 0.5, примерно 0.5?"
Я не буду делать опрос, но подумайте, если вам интересно. Моя интуиция сказала мне "сильно меньше 0.5". Точный ответ в конце поста.
Сразу захотелось это самому решить. Формализовать задачу можно так: выбираем случайным образом координаты двух точек внутри единичного квадрата на плоскости (квадрата с углами 0,0 - 1,0 - 1,1 - 0,1). Всего выбрано четыре случайных числа между 0 и 1 каждое, независимо друг от друга. Каково матожидание длины отрезка между двумя точками?
Это записывается очевидным образом в виде "четверного" интеграла по переменным x1,y1,x2,y2 - каждая от 0 до 1 - а под интегралом расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2), т.е. sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Как вычислить этот интеграл?
Перед тем, как ломать над ним голову, мне пришла в голову счастливая мысль: я могу оценить его значения одной строкой на Питоне. В последнее время я стараюсь культивировать в себе стремление "потрогать руками" вопросы без ответов, оценить их численно, особенно если это легко, попробовать их на зуб, поменять разные параметры, поковыряться. Мне нелегко это дается - естественное стремление всегда это найти чистое математическое доказательство. Но по-моему те, кто начинают с грубой численной оценки, спят спокойнее и видят дальше.
Строка на Питоне такая:
> python -i
import numpy as np
from numpy.random import random as r
np.mean(np.sqrt(np.square(r(1000)-r(1000)) + np.square(r(1000)-r(1000))))
Объяснение для тех, кто не знает питон/numpy: здесь r(1000) генерирует вектор из 1000 случайных чисел между 0 и 1, а минус, плюс, square(), sqrt(), mean() работают на векторах по-элементно. Так что эта строка создает 1000 пар точек, находит расстояние между каждой парой и берет среднее арифметическое тысячи расстояний.
Интеграл я сам не осилил (вообще в интегралах очень слаб, но поэтому и захотелось разобраться, в частности), и пошел искать подсказок. Нашел как точный ответ, так и достаточно объяснений о том, как его вычислить, так что смог сам ручкой на бумаге медленно разобраться и все подробности себе объяснить. Точный ответ поражает своей неуклюжестью: в нем соседствуют не только квадратный корень из двух и натуральный логарифм, но и совсем непонятные числа типа 15:
(2+sqrt(2)+5*ln(1+sqrt(2))) / 15
Интересно, что при всем обилии математических видео в Ютубе я не нашел видео, которое объясняло бы от начала до конца, со всеми подробностями, вывод этого ответа. Даже замечательный Майкл Пенн, посвятивший этому вопросу 20-минутное видео, в конце заканчивает так: "ну тут осталось несколько интегралов, про каждый из которых можно записать отдельное видео... короче, если их решить, окончательный ответ будет вот такой". По-моему, он пошел слишком длинной дорогой - это не так уж страшно в итоге. Если кто-то хочет, чтобы я написал подробное объяснение, мигните в комментариях, постараюсь найти время, если будет спрос.
Да, и последнее. Я корпел, корпел и дошел до ответа на бумаге - и он оказался неправильный, похожий на тот, что выше, но не совсем; и численное значение отличалось. Очевидно, где-то была ошибка, но я не мог ее найти. Вспомнив про культуру вычисления (см. выше), я устроил себе такой "дебаггинг": написал на питоне простую функцию интеграции в три строки (оценка по разбиению на N=1000 интервалов), и один из другим ввел в скрипт вычисление промежуточных интегралов и выкладок, которые у меня записаны были на бумаге. Когда конечное значение после очередного шага расходилось с правильным, я знал, что в выкладках "баг". Так нашлись две мелкие ошибки, после исправления которых все вышло правильно. Мне этот процесс откровенно понравился.
А, да, по-настоящему последнее. Средняя длина отрезка внутри квадрата 1x1 равна примерно 0.52.
Я не буду делать опрос, но подумайте, если вам интересно. Моя интуиция сказала мне "сильно меньше 0.5". Точный ответ в конце поста.
Сразу захотелось это самому решить. Формализовать задачу можно так: выбираем случайным образом координаты двух точек внутри единичного квадрата на плоскости (квадрата с углами 0,0 - 1,0 - 1,1 - 0,1). Всего выбрано четыре случайных числа между 0 и 1 каждое, независимо друг от друга. Каково матожидание длины отрезка между двумя точками?
Это записывается очевидным образом в виде "четверного" интеграла по переменным x1,y1,x2,y2 - каждая от 0 до 1 - а под интегралом расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2), т.е. sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Как вычислить этот интеграл?
Перед тем, как ломать над ним голову, мне пришла в голову счастливая мысль: я могу оценить его значения одной строкой на Питоне. В последнее время я стараюсь культивировать в себе стремление "потрогать руками" вопросы без ответов, оценить их численно, особенно если это легко, попробовать их на зуб, поменять разные параметры, поковыряться. Мне нелегко это дается - естественное стремление всегда это найти чистое математическое доказательство. Но по-моему те, кто начинают с грубой численной оценки, спят спокойнее и видят дальше.
Строка на Питоне такая:
> python -i
import numpy as np
from numpy.random import random as r
np.mean(np.sqrt(np.square(r(1000)-r(1000)) + np.square(r(1000)-r(1000))))
Объяснение для тех, кто не знает питон/numpy: здесь r(1000) генерирует вектор из 1000 случайных чисел между 0 и 1, а минус, плюс, square(), sqrt(), mean() работают на векторах по-элементно. Так что эта строка создает 1000 пар точек, находит расстояние между каждой парой и берет среднее арифметическое тысячи расстояний.
Интеграл я сам не осилил (вообще в интегралах очень слаб, но поэтому и захотелось разобраться, в частности), и пошел искать подсказок. Нашел как точный ответ, так и достаточно объяснений о том, как его вычислить, так что смог сам ручкой на бумаге медленно разобраться и все подробности себе объяснить. Точный ответ поражает своей неуклюжестью: в нем соседствуют не только квадратный корень из двух и натуральный логарифм, но и совсем непонятные числа типа 15:
(2+sqrt(2)+5*ln(1+sqrt(2))) / 15
Интересно, что при всем обилии математических видео в Ютубе я не нашел видео, которое объясняло бы от начала до конца, со всеми подробностями, вывод этого ответа. Даже замечательный Майкл Пенн, посвятивший этому вопросу 20-минутное видео, в конце заканчивает так: "ну тут осталось несколько интегралов, про каждый из которых можно записать отдельное видео... короче, если их решить, окончательный ответ будет вот такой". По-моему, он пошел слишком длинной дорогой - это не так уж страшно в итоге. Если кто-то хочет, чтобы я написал подробное объяснение, мигните в комментариях, постараюсь найти время, если будет спрос.
Да, и последнее. Я корпел, корпел и дошел до ответа на бумаге - и он оказался неправильный, похожий на тот, что выше, но не совсем; и численное значение отличалось. Очевидно, где-то была ошибка, но я не мог ее найти. Вспомнив про культуру вычисления (см. выше), я устроил себе такой "дебаггинг": написал на питоне простую функцию интеграции в три строки (оценка по разбиению на N=1000 интервалов), и один из другим ввел в скрипт вычисление промежуточных интегралов и выкладок, которые у меня записаны были на бумаге. Когда конечное значение после очередного шага расходилось с правильным, я знал, что в выкладках "баг". Так нашлись две мелкие ошибки, после исправления которых все вышло правильно. Мне этот процесс откровенно понравился.
А, да, по-настоящему последнее. Средняя длина отрезка внутри квадрата 1x1 равна примерно 0.52.
Я в Германии, в городе Регенсбурге, до следующих выходных. К сожалению, времени выехать куда-то далеко отсюда у меня не будет, слишком много работы. Но если кто-то здесь или неподалеку и хочет встретиться или познакомиться, пишите, попробуем.
В четверг вечером 28-го буду в Праге и хотел бы устроить общую встречу, для всех читателей и друзей в этом городе. Ориентировочно в 7 вечера в каком-то месте, где можно поесть и выпить и не очень шумно; место - и время, если изменится - уточню отдельно.
В четверг вечером 28-го буду в Праге и хотел бы устроить общую встречу, для всех читателей и друзей в этом городе. Ориентировочно в 7 вечера в каком-то месте, где можно поесть и выпить и не очень шумно; место - и время, если изменится - уточню отдельно.
Дмитрий Быков: "Каждый из нас живет внутри собственной прозы". Интервью
Я узнал из этого интервью, что:
- Быков преподает что-то литературное где-то в США
- он думает, что вернется в Россию когда-то в будущем и будет в старости хлопотать о создании "Института Экстремальной Педагогики" (вроде бы "экстремальная педагогика" по Быкову это "умение говорить с детьми о смысле жизни")
- он не изменил своего мнения о том, что Израиль не надо было создавать, но раз уж есть, надо защищать и с 7 октября он 100% за Израиль
- в декабре он приедет в Израиль читать новые стихи, но не за длинным шекелем
- он полагает, что главная причина того, чем стала Россия сегодня, это "резкая интеллектуальная деградация" (по сравнению с каким временем?)
- он считает, что стихотворения Лосева "Полемика" и "Гуттаперча" особенно хорошо описывают его душевное состояние сегодня.
ПОЛЕМИКА
Нет, лишь случайные черты
прекрасны в этом страшном мире,
где конвоиры скалят рты
и ставят нас на все четыре.
Внезапный в тучах перерыв,
неправильная строчка Блока,
советской песенки мотив
среди кварталов шлакоблока.
Я не пойду слушать Быкова, не собираюсь его читать, и мне кажутся в основном напыщенной ерундой его мысли о "России" и "деградации" и "педагогике" итд. Но и какой-то серьезной враждебности я в себе не ощущаю. Пусть его...
Я узнал из этого интервью, что:
- Быков преподает что-то литературное где-то в США
- он думает, что вернется в Россию когда-то в будущем и будет в старости хлопотать о создании "Института Экстремальной Педагогики" (вроде бы "экстремальная педагогика" по Быкову это "умение говорить с детьми о смысле жизни")
- он не изменил своего мнения о том, что Израиль не надо было создавать, но раз уж есть, надо защищать и с 7 октября он 100% за Израиль
- в декабре он приедет в Израиль читать новые стихи, но не за длинным шекелем
- он полагает, что главная причина того, чем стала Россия сегодня, это "резкая интеллектуальная деградация" (по сравнению с каким временем?)
- он считает, что стихотворения Лосева "Полемика" и "Гуттаперча" особенно хорошо описывают его душевное состояние сегодня.
ПОЛЕМИКА
Нет, лишь случайные черты
прекрасны в этом страшном мире,
где конвоиры скалят рты
и ставят нас на все четыре.
Внезапный в тучах перерыв,
неправильная строчка Блока,
советской песенки мотив
среди кварталов шлакоблока.
Я не пойду слушать Быкова, не собираюсь его читать, и мне кажутся в основном напыщенной ерундой его мысли о "России" и "деградации" и "педагогике" итд. Но и какой-то серьезной враждебности я в себе не ощущаю. Пусть его...
NEWSru.co.il
Дмитрий Быков: "Каждый из нас живет внутри собственной прозы". Интервью - NEWSru.co.il
Культура: Дмитрий Быков – писатель, поэт, журналист, литературный критик и педагог. В последние годы живет в США. В декабре он приезжает в Израиль с программой "Новый свет".
Слепаков все-таки очень талантлив. Нащупал, обнажил и вывел на поверхность самую главную российскую скрепу.
https://www.youtube.com/watch?v=z1J4ug_xGas
https://www.youtube.com/watch?v=z1J4ug_xGas
YouTube
Семен Слепаков - P. Diddy
P. DIDDY (РАЗГОВОР О ВАЖНОМ)
Я тут узнал что в Америке есть
Известный рэпер Пидиди.
Он вытворял полнейшую жесть
Был он преступности лидер!
Женщин он бил ногами,
Употреблял кокаин,
И, стыдно сказать о подобном сраме,
Активно сношал мужчин!
Еще приказал…
Я тут узнал что в Америке есть
Известный рэпер Пидиди.
Он вытворял полнейшую жесть
Был он преступности лидер!
Женщин он бил ногами,
Употреблял кокаин,
И, стыдно сказать о подобном сраме,
Активно сношал мужчин!
Еще приказал…
Напоминаю, что сегодня начинается Advent of Code - испытание в виде задачек на программирование, которые даются в течение 25 первых дней декабря. Каждый день в полночь открывается новое задание, в двух частях (вторая тяжелее первой). Первые несколько дней задания легкие, потом постепенно усложняются, но не до уровня крутых соревнований. Есть состязание между теми, кто присылает решение как можно быстрее, со списками лидеров, которые ждут полуночи и в течение пары минут шлют ответ, но я советую не обращать внимания на эти гонки, а просто решать в свое удовольствие.
Многие используют Advent of Code, чтобы научиться писать на новом для себя языке. Я так делал дважды в прошлом, и хочу попробовать и в этот раз, но пока не решил, на каком языке. Хотя я не писал нетривиальное количество кода на Rust и Go, мне кажется, что достаточно знаю о них из прочитанного с годами, что не хочется сейчас - лучше что-то более незнакомое. На Zig делал этот конкурс пару лет назад. Относительно известные "старые" языки: Lisp, Haskell, Forth, SmallTalk - когда-то знал или пробовал. Пока что размышляю между OCaml и Crystal. Хотите посоветовать мне что-то другое?
Многие используют Advent of Code, чтобы научиться писать на новом для себя языке. Я так делал дважды в прошлом, и хочу попробовать и в этот раз, но пока не решил, на каком языке. Хотя я не писал нетривиальное количество кода на Rust и Go, мне кажется, что достаточно знаю о них из прочитанного с годами, что не хочется сейчас - лучше что-то более незнакомое. На Zig делал этот конкурс пару лет назад. Относительно известные "старые" языки: Lisp, Haskell, Forth, SmallTalk - когда-то знал или пробовал. Пока что размышляю между OCaml и Crystal. Хотите посоветовать мне что-то другое?
Интересная и немного странная новость: обнаружилось, что ChatGPT отказывается по неизвестной причине печатать целиком имя и фамилию David M
В блоге Джона Баэза интереснейшая запись об ученых 14 века в Оксфорде, которые за 300 лет до Галилея открыли и доказали "закон средней скорости": что тело, двигающееся с постоянным ускорением, проходит за промежуток времени такое же расстояние, какое прошло бы, если бы двигалась с постоянной скоростью, равной его скорости на середине промежутка.
В античности вообще не занимались исследованием движения с постоянным ускорением. Понятие скорости, по Аристотелю, было сформулировано только как средняя скорость на протяжении какого-то промежутка. Для того, чтобы обсуждать плавно меняющуюся скорость, нужно вообще понятие мгновенной скорости, а оно совсем не тривиально, как иллюстрирует известный анекдот ("Мадам, вы ехали со скоростью 100 километров в час!" - "Не может быть, я выехала из дома не больше пяти минут назад!").
По-настоящему основательно движением с ускорением занялись в 17 веке, и к концу его математический анализ, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, дал теоретическую основу понятию мгновенной скорости. Но Галилей, доказывая закон о средней скорости, опирался на геометрическое доказательство французского философа Никола Оресма (14 век), а тот в свою очередь - на работы английских философов из Мертоновского колледжа в Оксфорде. Интересно, что при этом философы мертоновской школы не думали о своих доказательствах как о чем-то, имеющем практическое применение или относящемся к натуральной философии (тогдашнее название физики). Книга Уильяма Хейтсбери, о которой говорит Баэз, является учебником логики/риторики, и построена как пособие по опровержению софизмов - "хитрых" аргументов, притворяющихся парадоксами. Большая часть книги занимается опровержением чего-то вроде (реальный пример) - "Сократ знает 10 истин, а потом одну забывает. Значит, он теперь не знает 10 истин" - в ответ Хейтсбери подробно объясняет, что "не знает 10 истин" можно понять и как "не знает ни одной из 10 истин", так и "не знает целиком все 10 истин, но возможно знает часть из них", и софист специально стремится запутать читателя. Все это довольно скучно, но потом на фоне всего этого Хейтсбери вдруг первым определяет мгновенную скорость, рассматривает виды движения, включая постоянное ускорение, и доказывает закон средней скорости. Все это в виде чисто умозрительных рассуждений о том, что такое движение и каким оно может быть.
Геометрическое доказательство Оресма (потом повторенное Галилеем) просто и красиво: если отложить время и скорость на координатных осях, расстояние при движении по ускорению выходит площадь треугольника, равная площади соответствующего прямоугольника - движению со средней скоростью. Оно, в некотором смысле, заметает проблемы с понятием мгновенной скорости и бесконечно малыми под ковер, заменяя их геометрией отрезков и площадей. Но мне также очень понравилось "словесное" доказательство Уильяма Хейтсбери, вероятно самое первое полное доказательство этого закона. С добавлением сдвига системы координат (который Хейтсбери, правда, не мог придумать) оно становится совсем изящным, и вот мой его пересказ (основан на изложении в книге Уилсона, на которую ссылается Баэз):
В античности вообще не занимались исследованием движения с постоянным ускорением. Понятие скорости, по Аристотелю, было сформулировано только как средняя скорость на протяжении какого-то промежутка. Для того, чтобы обсуждать плавно меняющуюся скорость, нужно вообще понятие мгновенной скорости, а оно совсем не тривиально, как иллюстрирует известный анекдот ("Мадам, вы ехали со скоростью 100 километров в час!" - "Не может быть, я выехала из дома не больше пяти минут назад!").
По-настоящему основательно движением с ускорением занялись в 17 веке, и к концу его математический анализ, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, дал теоретическую основу понятию мгновенной скорости. Но Галилей, доказывая закон о средней скорости, опирался на геометрическое доказательство французского философа Никола Оресма (14 век), а тот в свою очередь - на работы английских философов из Мертоновского колледжа в Оксфорде. Интересно, что при этом философы мертоновской школы не думали о своих доказательствах как о чем-то, имеющем практическое применение или относящемся к натуральной философии (тогдашнее название физики). Книга Уильяма Хейтсбери, о которой говорит Баэз, является учебником логики/риторики, и построена как пособие по опровержению софизмов - "хитрых" аргументов, притворяющихся парадоксами. Большая часть книги занимается опровержением чего-то вроде (реальный пример) - "Сократ знает 10 истин, а потом одну забывает. Значит, он теперь не знает 10 истин" - в ответ Хейтсбери подробно объясняет, что "не знает 10 истин" можно понять и как "не знает ни одной из 10 истин", так и "не знает целиком все 10 истин, но возможно знает часть из них", и софист специально стремится запутать читателя. Все это довольно скучно, но потом на фоне всего этого Хейтсбери вдруг первым определяет мгновенную скорость, рассматривает виды движения, включая постоянное ускорение, и доказывает закон средней скорости. Все это в виде чисто умозрительных рассуждений о том, что такое движение и каким оно может быть.
Геометрическое доказательство Оресма (потом повторенное Галилеем) просто и красиво: если отложить время и скорость на координатных осях, расстояние при движении по ускорению выходит площадь треугольника, равная площади соответствующего прямоугольника - движению со средней скоростью. Оно, в некотором смысле, заметает проблемы с понятием мгновенной скорости и бесконечно малыми под ковер, заменяя их геометрией отрезков и площадей. Но мне также очень понравилось "словесное" доказательство Уильяма Хейтсбери, вероятно самое первое полное доказательство этого закона. С добавлением сдвига системы координат (который Хейтсбери, правда, не мог придумать) оно становится совсем изящным, и вот мой его пересказ (основан на изложении в книге Уилсона, на которую ссылается Баэз):
Пусть у нас есть тело, которое движется со скоростью, которая равномерно растет от 0 до 2X (для удобства) в течение часа. Докажем, что оно проходит то же расстояние, что тело, которое движется со скоростью X в течение часа.
1. Представим вначале две игрушечные машинки на очень длинной доске, которые начинают ехать в противоположных направлениях из одной точки O, и каждая из них наращивает свою скорость равномерно от 0 до X в течение получаса. Из симметрии ситуации очевидно, что они пройдут одинаковое расстояние (неважно пока, какое), и закончат свой путь в двух точках так, что О лежит посредине между ними.
2. Теперь запустим машинки таким же образом, но одновременно будем двигать всю доску вместе с ними в направлении движения одной из машинок, со скоростью X. Теперь относительно земли обе машинки движутся в одном направлении, но одна набирает скорость X->2X, а другая X->0, каждая за полчаса. Точки, в которых они закончат движение, все еще будут такими, что O (двигавшаяся вместе с доской) в середине между ними. Это значит, что сумма расстояний, которые пройдут две машинки, равна дважды расстоянию, которое прошла точка O, а именно X*1.
3. Теперь рассмотрим машинку, которая набирает скорость 0->2X в течение часа. Рассмотрев первую и вторую половину движения раздельно, видим, что расстояние, что она прошла, это сумма расстояний "0->X за полчаса" и "X->2X за полчаса". Более того, "0->X за полчаса" равно "X->0 за полчаса" (просто обратим время вспять, чтобы из одного получить другое). А значит, наша машинка "0->2X за час" проходит расстояние, равное сумме двух машинок из прошлого пункта, а мы доказали, что оно равно X*1. Но это и есть расстояние, которое проходит машинка с постоянной скоростью X за час. Что и требовалось доказать.
В оригинальном тексте Хейтсбери написано примерно то же самое похожими словами, кроме первого пункта, который делает совсем очевидным, что две машинки проходят одинаковое расстояние (на доске). Вместо этого Хейтсбери говорит что-то вроде "ясно, что каждую долю расстояния, которую X->2X проходит больше, чем постоянное-X, X->0 проходит меньше, так что в сумме получается дважды постоянное-X". Другие автор той же школы не были удолетворены ясностью этого пункта и пытались формулировать другие варианты доказательства, пока в итоге Оресм не предложил геометрический вариант.
1. Представим вначале две игрушечные машинки на очень длинной доске, которые начинают ехать в противоположных направлениях из одной точки O, и каждая из них наращивает свою скорость равномерно от 0 до X в течение получаса. Из симметрии ситуации очевидно, что они пройдут одинаковое расстояние (неважно пока, какое), и закончат свой путь в двух точках так, что О лежит посредине между ними.
2. Теперь запустим машинки таким же образом, но одновременно будем двигать всю доску вместе с ними в направлении движения одной из машинок, со скоростью X. Теперь относительно земли обе машинки движутся в одном направлении, но одна набирает скорость X->2X, а другая X->0, каждая за полчаса. Точки, в которых они закончат движение, все еще будут такими, что O (двигавшаяся вместе с доской) в середине между ними. Это значит, что сумма расстояний, которые пройдут две машинки, равна дважды расстоянию, которое прошла точка O, а именно X*1.
3. Теперь рассмотрим машинку, которая набирает скорость 0->2X в течение часа. Рассмотрев первую и вторую половину движения раздельно, видим, что расстояние, что она прошла, это сумма расстояний "0->X за полчаса" и "X->2X за полчаса". Более того, "0->X за полчаса" равно "X->0 за полчаса" (просто обратим время вспять, чтобы из одного получить другое). А значит, наша машинка "0->2X за час" проходит расстояние, равное сумме двух машинок из прошлого пункта, а мы доказали, что оно равно X*1. Но это и есть расстояние, которое проходит машинка с постоянной скоростью X за час. Что и требовалось доказать.
В оригинальном тексте Хейтсбери написано примерно то же самое похожими словами, кроме первого пункта, который делает совсем очевидным, что две машинки проходят одинаковое расстояние (на доске). Вместо этого Хейтсбери говорит что-то вроде "ясно, что каждую долю расстояния, которую X->2X проходит больше, чем постоянное-X, X->0 проходит меньше, так что в сумме получается дважды постоянное-X". Другие автор той же школы не были удолетворены ясностью этого пункта и пытались формулировать другие варианты доказательства, пока в итоге Оресм не предложил геометрический вариант.
Нашел русский перевод книги Эрика Белла "Творцы математики", одной из самых знаменитых биографий математиков (хочу ребенку подсунуть). В предисловии читаю потрясшее меня
"Подбор героев книги в основном удачен. Отсутствие представителей народов Востока, вероятно, больше всего объясняется тем, что во время написания книги развитие математики на Востоке было еще сравнительно мало изучено. В русское издание включен очерк о математиках Средней Азии и Ближнего Востока эпохи средневековья; он написан редактором русского перевода."
Ни фига себе!
"Подбор героев книги в основном удачен. Отсутствие представителей народов Востока, вероятно, больше всего объясняется тем, что во время написания книги развитие математики на Востоке было еще сравнительно мало изучено. В русское издание включен очерк о математиках Средней Азии и Ближнего Востока эпохи средневековья; он написан редактором русского перевода."
Ни фига себе!
Проект tinygrad - библиотека на Питоне для программирования нейронных сетей - поставил целью ограничить размер исходников и не разрастаться и не надуваться кодом, как другие такие проекты. Это и из названия видно. Они поставили 10 тысяч строк исходного кода в качестве жесткого лимита.
Увы, от принципа "you are what you measure" не убежишь, поэтому их код выглядит часто вот так.
Поучительно.
Увы, от принципа "you are what you measure" не убежишь, поэтому их код выглядит часто вот так.
Поучительно.
Интересное интервью с Игорем Мельчуком, советским лингвистом, основоположником машинного перевода в СССР в 1954 году. Ему 92 года, живет в Канаде с конца 70-х.
"[1954 год, Москва:] Они попросили Диму найти какого-нибудь бойкого студента, который хорошо говорит по-французски. Я знал французский, поэтому согласился. Первый раз в жизни слышал такое сочетание слов: «машинный перевод». Меня это просто проняло до кишков. Машинный перевод? Какая машина? Машина — это грузовик, а тут вдруг перевод."
"Ведь что такое язык? Грубо говоря, это что-то, что позволяет нам выражать свои мысли. Кто-то может сказать, что язык — это средство коммуникации. Конечно, но коммуникация требует как минимум двух человек. Один человек выражает свою мысль, а другой её воспринимает. Вот любовь в одиночку невозможна, а язык в одиночку очень даже возможен. Я вот всё время сижу и один сам с собой прекрасно разговариваю."
"Например, последняя моя статья, вышедшая в России, была про слово «возьми». В контексте «А он возьми и брось в меня ночной горшок». Что это за «возьми»? В лучшем словаре русского языка, который мне известен (это активный словарь Апресяна и его компании), этого «возьми» нет. Оно считается формой глагола «взять». И считается, что эта форма не от «взять» в смысле «я взял футляр от очков», а от «я взял и заявил». Но это неправильно, потому что «я взял и заявил» или «а я возьму и скажу» не значит то же самое, что «а он возьми и упади». Это совершенно разное и употребляется совершенно по-разному."
"Я слишком чувствительный. Когда меня привели к умирающей от опухоли мозга женщине, я ни о чём думать не мог. Я хлопал глазами, ушами, я видел её перекошенное болью лицо, и выяснять у неё, как она склоняет существительные, не мог абсолютно. И понял, что работать с афатиками не смогу. Это требует особого склада психики."
"[1954 год, Москва:] Они попросили Диму найти какого-нибудь бойкого студента, который хорошо говорит по-французски. Я знал французский, поэтому согласился. Первый раз в жизни слышал такое сочетание слов: «машинный перевод». Меня это просто проняло до кишков. Машинный перевод? Какая машина? Машина — это грузовик, а тут вдруг перевод."
"Ведь что такое язык? Грубо говоря, это что-то, что позволяет нам выражать свои мысли. Кто-то может сказать, что язык — это средство коммуникации. Конечно, но коммуникация требует как минимум двух человек. Один человек выражает свою мысль, а другой её воспринимает. Вот любовь в одиночку невозможна, а язык в одиночку очень даже возможен. Я вот всё время сижу и один сам с собой прекрасно разговариваю."
"Например, последняя моя статья, вышедшая в России, была про слово «возьми». В контексте «А он возьми и брось в меня ночной горшок». Что это за «возьми»? В лучшем словаре русского языка, который мне известен (это активный словарь Апресяна и его компании), этого «возьми» нет. Оно считается формой глагола «взять». И считается, что эта форма не от «взять» в смысле «я взял футляр от очков», а от «я взял и заявил». Но это неправильно, потому что «я взял и заявил» или «а я возьму и скажу» не значит то же самое, что «а он возьми и упади». Это совершенно разное и употребляется совершенно по-разному."
"Я слишком чувствительный. Когда меня привели к умирающей от опухоли мозга женщине, я ни о чём думать не мог. Я хлопал глазами, ушами, я видел её перекошенное болью лицо, и выяснять у неё, как она склоняет существительные, не мог абсолютно. И понял, что работать с афатиками не смогу. Это требует особого склада психики."
Системный Блокъ
Игорь Мельчук о нетрадиционной лингвистике и машинном переводе — «Системный Блокъ»
Игорь Мельчук рассказал «Системному Блоку» о машинном переводе, особенностях современной лингвистики и главной задаче жизни.
Проблема смешения языков в нашей семье стоит как никогда остро. Сегодня утром поймал себя на том, что (не специально!) сказал жене: "Would you please stop talking на нескольких языках одновременно all the time?"
В фейсбуке спросили, как перевести на английский стихотворение Ренаты Мухи Бориса Заходера (гениальное и любимое)
Что мы знаем о лисе?
Ничего, и то не все.
Мой вариант:
What is known about the shrew?
Not a thing; and that by few.
Что мы знаем о лисе?
Ничего, и то не все.
Мой вариант:
What is known about the shrew?
Not a thing; and that by few.