چند نکته
1-صفر مطلق به توان صفر مطلق، تعریف نشده است
2-صفر مطلق به توان صفر حدی، صفر است
3-صفر حدی به توان صفر مطلق، یک است
4-صفر حدی به توان صفر حدی، ابهام است
5-صفر مطلق تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
6-صفر مطلق تقسیم بر صفر نسبی، برابر صفر است
7-صفر نسبی تقسیم بر صفر نسبی، ابهام است
8-صفر نسبی تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
9-صفر مطلق ضربدر بینهایت، برابر صفر است
10 -صفر نسبی ضربدر بینهایت، ابهام است
11 -یک مطلق به توان بنهایت برابر یک است
12 -یک نسبی به توان بینهایت، ابهام است
1-صفر مطلق به توان صفر مطلق، تعریف نشده است
2-صفر مطلق به توان صفر حدی، صفر است
3-صفر حدی به توان صفر مطلق، یک است
4-صفر حدی به توان صفر حدی، ابهام است
5-صفر مطلق تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
6-صفر مطلق تقسیم بر صفر نسبی، برابر صفر است
7-صفر نسبی تقسیم بر صفر نسبی، ابهام است
8-صفر نسبی تقسیم بر صفر مطلق، تعریف نشده است
9-صفر مطلق ضربدر بینهایت، برابر صفر است
10 -صفر نسبی ضربدر بینهایت، ابهام است
11 -یک مطلق به توان بنهایت برابر یک است
12 -یک نسبی به توان بینهایت، ابهام است
تعریف فضای اقلیدسی Rⁿ
مجموعه Rⁿ مجهز به اعمال جمع، ضرب اسکالر، ضرب داخلی، و نرم (اقلیدسی) را فضای قلیدسی n بعدی نامیم.
د ر حقیقت (اا اا, +, ضرب داخلی, ضرب اسکالر, Rⁿ) را فضای اقلیدسی n بعدی نامیم.
مجموعه Rⁿ مجهز به اعمال جمع، ضرب اسکالر، ضرب داخلی، و نرم (اقلیدسی) را فضای قلیدسی n بعدی نامیم.
د ر حقیقت (اا اا, +, ضرب داخلی, ضرب اسکالر, Rⁿ) را فضای اقلیدسی n بعدی نامیم.
اعداد جبری و اعداد متعالی
1-عضو حقیقی x را جبری گوییم هرگاه x ریشه معادله ای چند جمله ای با ضرایب صحیح یا با ضرایب گویا باشد
2-عدد x را متعالی گوییم هرگاه جبری نباشد
3-هر عضو N, Z, Q، جبری اند
4-یک عدد گنگ، ممکن است جبری باشد
5-هر عدد متعالی یک عدد گنگ است
6-از 4 نتیجه میگیریم یک عدد گنگ الزاما متعالی نمیباشد
7-فرض کنیم A مجموعه همه اعداد حقیقی جبری و # یک رابطه ترتیبی باشد،در این صورت (#,0, +, A) یک میدان مرتب است
8-مجموعه A معرفی شده در نکته 7 با N همعدد است یعنی شماراست
9-مجموعه A معرفی شده در 7 شامل Q میباشد
10 -متمم مجموعه A معرفی شده در نکته 7 را مجموعه عداد متعالی نامیم
۱۱ -مجموعه معرفی شده در نکته 10 یک مجموعه ناشماراست
12 -اجتماع A معرفی شده در نکته 7، با متمش مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل میدهد
13 -نکته 11 نشان میدهد که حداقل یک عدد متعالی وجود دارد
14 -عدد ㅠ و e متعالی اند
15 -نکته 7 نشان میدهد که (+, A) یک گروه آبلی جمعقی و (0,A) یک گروه آبلی ضربی است
16 -مجموعه معرفی شده در 10 الزاما تحت جمع و ضرب بسته نمیباشد
17 -یک عدد جبری به توان یک عدد جبری، الزاما جبری نمیباشد
18-نکته 16 نشان میدهد که متمم A با جمع و ضرب تشکیل گروه نمیدهد
19 -یک عدد جبری به توان یک عدد گنگ، یک عدد متعالی است (به شرط آنکه عدد جبری مخالف صفر و یک باشد)
20 -سوال: ㅠ+e جبری است یا متعالی؟
1-عضو حقیقی x را جبری گوییم هرگاه x ریشه معادله ای چند جمله ای با ضرایب صحیح یا با ضرایب گویا باشد
2-عدد x را متعالی گوییم هرگاه جبری نباشد
3-هر عضو N, Z, Q، جبری اند
4-یک عدد گنگ، ممکن است جبری باشد
5-هر عدد متعالی یک عدد گنگ است
6-از 4 نتیجه میگیریم یک عدد گنگ الزاما متعالی نمیباشد
7-فرض کنیم A مجموعه همه اعداد حقیقی جبری و # یک رابطه ترتیبی باشد،در این صورت (#,0, +, A) یک میدان مرتب است
8-مجموعه A معرفی شده در نکته 7 با N همعدد است یعنی شماراست
9-مجموعه A معرفی شده در 7 شامل Q میباشد
10 -متمم مجموعه A معرفی شده در نکته 7 را مجموعه عداد متعالی نامیم
۱۱ -مجموعه معرفی شده در نکته 10 یک مجموعه ناشماراست
12 -اجتماع A معرفی شده در نکته 7، با متمش مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل میدهد
13 -نکته 11 نشان میدهد که حداقل یک عدد متعالی وجود دارد
14 -عدد ㅠ و e متعالی اند
15 -نکته 7 نشان میدهد که (+, A) یک گروه آبلی جمعقی و (0,A) یک گروه آبلی ضربی است
16 -مجموعه معرفی شده در 10 الزاما تحت جمع و ضرب بسته نمیباشد
17 -یک عدد جبری به توان یک عدد جبری، الزاما جبری نمیباشد
18-نکته 16 نشان میدهد که متمم A با جمع و ضرب تشکیل گروه نمیدهد
19 -یک عدد جبری به توان یک عدد گنگ، یک عدد متعالی است (به شرط آنکه عدد جبری مخالف صفر و یک باشد)
20 -سوال: ㅠ+e جبری است یا متعالی؟
تبدیل گلفاند :
فرض کنیم A یک جبر باناخ باشد در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال A متشکل از تمام همریختی های مختلط A می باشد و آن را با M نشان میدهیم
فضای ایده آل ماکسیمال M را با weak star topology که از فضای دوگان باناخ A به ارث میبرد توپولوژی دار میکنیم که یک فضای هاسدورف فشرده با همین توپولوژی نام برده میباشد
همچنین فرض میکنیم(C(M، فضای تمام پیوسته روی M (تعریف M در بالا ذکر شد) باشد
در این صورت تبدیل گلفاند یک نگاشت از جبر باناخ A به( C(M میباشد که هر عضو A را به عضوی از ( C(M تصویر میکند.
تبدیل گلفاند یک همریختی است که در شرط لیپشیتس صدق میکند.
فرض کنیم A یک جبر باناخ باشد در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال A متشکل از تمام همریختی های مختلط A می باشد و آن را با M نشان میدهیم
فضای ایده آل ماکسیمال M را با weak star topology که از فضای دوگان باناخ A به ارث میبرد توپولوژی دار میکنیم که یک فضای هاسدورف فشرده با همین توپولوژی نام برده میباشد
همچنین فرض میکنیم(C(M، فضای تمام پیوسته روی M (تعریف M در بالا ذکر شد) باشد
در این صورت تبدیل گلفاند یک نگاشت از جبر باناخ A به( C(M میباشد که هر عضو A را به عضوی از ( C(M تصویر میکند.
تبدیل گلفاند یک همریختی است که در شرط لیپشیتس صدق میکند.
نکاتی راجع به عملگر تصویر
1-فرض کنیم S یک زیر فضای بسته فضای هیلبرت H باشد، عملگر P را روي H به صورت زیر تعریف میکنیم:
Px=y , x=y+z , y€S , z€Sㅗ
در این صورت P را عملگر تصویر یا عملگر تصویر متعامد از H به روی (onto) زیر فضای بسته S نامیم(Sㅗ زیر فضای متمم متعامد S و فضای پوچ P نامیم که به صورت (x: Px=0)تعریف میگردد)
2-در حقیقت چون S زیر فضای بسته فضای هیلبرت H است لذا H (دایرکسام) جمع مستقیم S , Sㅗ ميباشد لذا عملگر تصویر که در نکته 1 خوش تعریف است یعنی عملگر تصویر که در نکته یک تعریف شد یک تابع است و ما میتوانیم چنین عملگری را تعریف کنیم
3-بنابراین عملگر P از H به H زمانی عملگر تصویر است که زیر فضای بسته S از H موجود باشد که S برد P و Sㅗ فضای پوچ P باشد و تحدید P به S یک عملگر همانی باشد
4-از نکته 3 داریم تحدید عملگر تصوير به زیر فضای بسته S یک عملگر همانی روی S است
5-عملگرهای تصویر، کراندار میباشند
6-عملگرهای تصاویر مثبت میباشند
7-اگر P یک عملگر تصویر غیر صفر باشد آنگاه ااPاا=1
8-عملگر P از فضای هیلبرت H به زیر فضای بسته S را عملگر تصویر گوییم هرگاه P در شرط زیر صدق کند
P=P ² =P*
یعنی P خودالحاق و خودتوان باشد
9-اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی (onto) زیر فضای بسته S باشد داريم:
²ااPxاا=(Px,x)
10 -اگر P یک عملگر تصویر از H به روي (onto) زیر فضای بسته S باشد آنگاه Pㅗ یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای Sㅗ میباشد
11 -مجموع دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نمیباشد
12 -اگر P,Q دو عملگر تصویر غیر صفر باشند آنگاه P+P=2P یک عملگر تصویر نمیباشد زیرا:
ااP+Pاا=2
13 -دو تصویر P,Qرا متعامد گوییم هرگاه PQ=0
یعنی ترکیب دو عملگر P,Q برابر عملگر صفر گردد
14 -مجموع گردایه ای از تصاویر موقعی یک تصویر است که تصاویر دو به دو بر هم عمود باشند
در حالت خاص مجموع دو عملگر تصویر، موقعی یک عملگر تصویر است که دوعملگر تصویر بر هم عمود باشند
15 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نیست
16 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر زمانی یک عملگر تصویر است که دو عملگر تحت ضرب جابه جا شوند
17 -در نکته 15 و 16منظور از حاصل ضرب همان ترکیب عملگرهاست
18 -اگر P يك عملگر تصوير از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد که برای بردار x متعلق به S داشته باشیم ااxاا=ااPxاا آنگاه Px=x
19 -اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد
و زیر فضای K به صورت (x: Px=x ) تعریف شود
و زیر فضای M برابر باشد با برد عملگر P، آنگاه داریم:
S=K=M
20 -فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی زیر فضای بسته S باشد در این صورت T زیر فضای S را به توی S مینگارد اگر و تنها اگر PTP=TP
21 -اگر T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارد گوییم S زیر فضای پایا T است
22 - اگر *T,T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارند گوییم S زیر فضای کاهنده T است
23 - فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای بسته S باشد در این صورت S زیر فضای کاهنده برای عملگر T است اگر و تنها اگر TP=PT
24 -عملگر تصویر کوچکتر یا مساوی عملگر همانی میباشد
25 -عملگر تصویر بزرگتر یا مساوی عملگر صفر میباشد
1-فرض کنیم S یک زیر فضای بسته فضای هیلبرت H باشد، عملگر P را روي H به صورت زیر تعریف میکنیم:
Px=y , x=y+z , y€S , z€Sㅗ
در این صورت P را عملگر تصویر یا عملگر تصویر متعامد از H به روی (onto) زیر فضای بسته S نامیم(Sㅗ زیر فضای متمم متعامد S و فضای پوچ P نامیم که به صورت (x: Px=0)تعریف میگردد)
2-در حقیقت چون S زیر فضای بسته فضای هیلبرت H است لذا H (دایرکسام) جمع مستقیم S , Sㅗ ميباشد لذا عملگر تصویر که در نکته 1 خوش تعریف است یعنی عملگر تصویر که در نکته یک تعریف شد یک تابع است و ما میتوانیم چنین عملگری را تعریف کنیم
3-بنابراین عملگر P از H به H زمانی عملگر تصویر است که زیر فضای بسته S از H موجود باشد که S برد P و Sㅗ فضای پوچ P باشد و تحدید P به S یک عملگر همانی باشد
4-از نکته 3 داریم تحدید عملگر تصوير به زیر فضای بسته S یک عملگر همانی روی S است
5-عملگرهای تصویر، کراندار میباشند
6-عملگرهای تصاویر مثبت میباشند
7-اگر P یک عملگر تصویر غیر صفر باشد آنگاه ااPاا=1
8-عملگر P از فضای هیلبرت H به زیر فضای بسته S را عملگر تصویر گوییم هرگاه P در شرط زیر صدق کند
P=P ² =P*
یعنی P خودالحاق و خودتوان باشد
9-اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی (onto) زیر فضای بسته S باشد داريم:
²ااPxاا=(Px,x)
10 -اگر P یک عملگر تصویر از H به روي (onto) زیر فضای بسته S باشد آنگاه Pㅗ یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای Sㅗ میباشد
11 -مجموع دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نمیباشد
12 -اگر P,Q دو عملگر تصویر غیر صفر باشند آنگاه P+P=2P یک عملگر تصویر نمیباشد زیرا:
ااP+Pاا=2
13 -دو تصویر P,Qرا متعامد گوییم هرگاه PQ=0
یعنی ترکیب دو عملگر P,Q برابر عملگر صفر گردد
14 -مجموع گردایه ای از تصاویر موقعی یک تصویر است که تصاویر دو به دو بر هم عمود باشند
در حالت خاص مجموع دو عملگر تصویر، موقعی یک عملگر تصویر است که دوعملگر تصویر بر هم عمود باشند
15 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر الزاما یک عملگر تصویر نیست
16 -حاصل ضرب دو عملگر تصویر زمانی یک عملگر تصویر است که دو عملگر تحت ضرب جابه جا شوند
17 -در نکته 15 و 16منظور از حاصل ضرب همان ترکیب عملگرهاست
18 -اگر P يك عملگر تصوير از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد که برای بردار x متعلق به S داشته باشیم ااxاا=ااPxاا آنگاه Px=x
19 -اگر P یک عملگر تصویر از فضای هیلبرت H به روی زیر فضای بسته S باشد
و زیر فضای K به صورت (x: Px=x ) تعریف شود
و زیر فضای M برابر باشد با برد عملگر P، آنگاه داریم:
S=K=M
20 -فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی زیر فضای بسته S باشد در این صورت T زیر فضای S را به توی S مینگارد اگر و تنها اگر PTP=TP
21 -اگر T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارد گوییم S زیر فضای پایا T است
22 - اگر *T,T زبر فضای بسته S را به توی خودش بنگارند گوییم S زیر فضای کاهنده T است
23 - فرض کنیم P یک عملگر تصویر از H به روی (onto)زیر فضای بسته S باشد در این صورت S زیر فضای کاهنده برای عملگر T است اگر و تنها اگر TP=PT
24 -عملگر تصویر کوچکتر یا مساوی عملگر همانی میباشد
25 -عملگر تصویر بزرگتر یا مساوی عملگر صفر میباشد
تعریف مشبکه باناخ
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند # است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a#b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c#b+c
ب: اگر a#b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra#rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=بینهایت، نیز مشبکه باناخ است)
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند # است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a#b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c#b+c
ب: اگر a#b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra#rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=بینهایت، نیز مشبکه باناخ است)
تعریف دنباله:
دنباله مجموعه ای است از زوج مرتب ها، که در سه شرط زیر صدق میکند
الف: مولفه های اول از مجموعه اعداد طبیعی انتخاب میشوند
ب: هیچ دو مولفه اول یکسان نمیباشند
ج -اگر مولفه های اول یکسان باشند، مولفه های دوم نیز یکسانند
تعریف زیر دنباله:
فرض کنیم G یک تابع صعودی اکید، از N به N باشد و F نیز یک تابع از N به مجموعه دلخواه E باشد در این صورت تابع FoG از N به E را یک زیر دنباله نامیم
[ نکاتی در مورد دنباله ها ]
1 -هر دنباله یک تابع است
2 -هر دنباله یک رابطه است
3 -هر دنباله یک مجموعه است
4 -یک مجموعه الزاما دنباله نمیباشد
5 -هر مجموعه شمارا یک دنباله است
6 -هر مجموعه شمارای نامتناهی را میتوان به صورت دنباله ای با اعضای دو به دو مجزا نوشت
7 -هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن ناشمارا گردد
8-از نکته 7 داریم که هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن برابر R یا مجموعه اصم گردد
9 -اگر دنباله ای که به بینهایت میل نکند، نمیتوان نتیجه گرفت که الزاما کراندار است
10 -دنباله حالت خاصی از تور (net) است
11 -همه زیر دنباله های یک دنباله همگرا، همگرا میباشند
12 -هر دنباله بینهایت زیر دنباله دارد
13 -هر دنباله یک زیر دنباله است
14 -اگر تمام عضای یک دنباله همگرا را در یک مجموعه قرار داده و عضوی که دنباله به آن همگراست به مجموعه اضافه کنیم ، یک مجموعه فشرده به دست میاید
15 -در یک فضای متریک گسسته همگرایی دنباله معادل است با اینکه از اندیسی به بعد همه جملات دنباله برابر عدد ثابت گردد
16 -در هر فضای متریک، هر دنباله ثابت همگراست
17 -هر دنباله با برد متناهی در یک فضای متریک، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
18 -هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویاست
19 -هر عدد گویا حد دنباله ای از اعداد گنگ است
20 -گوییم x حد زیر دنباله ای است اگر و تنها اگر هر همسایگی x شامل بینهایت نقطه متعلق به دنباله باشد
21 -مجموعه حدود زیر دنباله ای، دنباله n در R برابر تهی است
22 -اگر مجموعه Q را به متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q دقیقا برابر است با Q
23 -اگر مجموعه N و Z را به متر اقلیدسی مجهز کنیم آنگاه دنباله n / ا در این فضاها همگر نمیباشند
24 -در یک فضای متریک هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
25 -در هر فضای متریک فشرده، هر دنباله فقط با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
26 -در هر فضای نرمدار متناهی البعد هر دنباله کراندار حداقل دارای یک زیر دنباله همگراست
27 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد، هر دنباله کراندار که فقط دارای یک زیر دنباله همگرا باشد، به حد زیر دنباله همگراست
28 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد همگرا و کوشی بودن یک دنباله معادلند
29 -در فضای متریک گسسته کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
30 -در هر فضای متریک فشرده، کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
31 -هر دنباله از اعداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
32 -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار همگراست
33 -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است ولی لزوما همگرا نیست
34 -بنا به نکته 28 یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها اگر کوشی باشد
35 -بنا به نکته 28 یک دنباله مختلط کوشی است اگر وتنها اگر همگرا باشد
36 -یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها زیر دنباله های زوج و فرد در R به عدد يكسان همگرا باشند
دنباله مجموعه ای است از زوج مرتب ها، که در سه شرط زیر صدق میکند
الف: مولفه های اول از مجموعه اعداد طبیعی انتخاب میشوند
ب: هیچ دو مولفه اول یکسان نمیباشند
ج -اگر مولفه های اول یکسان باشند، مولفه های دوم نیز یکسانند
تعریف زیر دنباله:
فرض کنیم G یک تابع صعودی اکید، از N به N باشد و F نیز یک تابع از N به مجموعه دلخواه E باشد در این صورت تابع FoG از N به E را یک زیر دنباله نامیم
[ نکاتی در مورد دنباله ها ]
1 -هر دنباله یک تابع است
2 -هر دنباله یک رابطه است
3 -هر دنباله یک مجموعه است
4 -یک مجموعه الزاما دنباله نمیباشد
5 -هر مجموعه شمارا یک دنباله است
6 -هر مجموعه شمارای نامتناهی را میتوان به صورت دنباله ای با اعضای دو به دو مجزا نوشت
7 -هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن ناشمارا گردد
8-از نکته 7 داریم که هیچ دنباله ای موجود نیست که برد آن برابر R یا مجموعه اصم گردد
9 -اگر دنباله ای که به بینهایت میل نکند، نمیتوان نتیجه گرفت که الزاما کراندار است
10 -دنباله حالت خاصی از تور (net) است
11 -همه زیر دنباله های یک دنباله همگرا، همگرا میباشند
12 -هر دنباله بینهایت زیر دنباله دارد
13 -هر دنباله یک زیر دنباله است
14 -اگر تمام عضای یک دنباله همگرا را در یک مجموعه قرار داده و عضوی که دنباله به آن همگراست به مجموعه اضافه کنیم ، یک مجموعه فشرده به دست میاید
15 -در یک فضای متریک گسسته همگرایی دنباله معادل است با اینکه از اندیسی به بعد همه جملات دنباله برابر عدد ثابت گردد
16 -در هر فضای متریک، هر دنباله ثابت همگراست
17 -هر دنباله با برد متناهی در یک فضای متریک، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
18 -هر عدد گنگ حد دنباله ای از اعداد گویاست
19 -هر عدد گویا حد دنباله ای از اعداد گنگ است
20 -گوییم x حد زیر دنباله ای است اگر و تنها اگر هر همسایگی x شامل بینهایت نقطه متعلق به دنباله باشد
21 -مجموعه حدود زیر دنباله ای، دنباله n در R برابر تهی است
22 -اگر مجموعه Q را به متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q دقیقا برابر است با Q
23 -اگر مجموعه N و Z را به متر اقلیدسی مجهز کنیم آنگاه دنباله n / ا در این فضاها همگر نمیباشند
24 -در یک فضای متریک هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
25 -در هر فضای متریک فشرده، هر دنباله فقط با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
26 -در هر فضای نرمدار متناهی البعد هر دنباله کراندار حداقل دارای یک زیر دنباله همگراست
27 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد، هر دنباله کراندار که فقط دارای یک زیر دنباله همگرا باشد، به حد زیر دنباله همگراست
28 -در یک فضای نرمدار متناهی البعد همگرا و کوشی بودن یک دنباله معادلند
29 -در فضای متریک گسسته کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
30 -در هر فضای متریک فشرده، کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند
31 -هر دنباله از اعداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
32 -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار همگراست
33 -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است ولی لزوما همگرا نیست
34 -بنا به نکته 28 یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها اگر کوشی باشد
35 -بنا به نکته 28 یک دنباله مختلط کوشی است اگر وتنها اگر همگرا باشد
36 -یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها زیر دنباله های زوج و فرد در R به عدد يكسان همگرا باشند
تور تعمیمی از دنباله است.
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.
یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.
یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند
نکاتی در مورد اتم
1 -فرض کنیم( X,S,U) فضایی اندازه پذیر باشد.مجموعه اندازه پذیر A را اتم گوییم هرگاه اندازه برونی A نامنفی باشد و به ازای هر زیر مجموعه اندازه پذیر E از A داشته باشیم اندازه برونی E صفر یا اندازه برونی متمم E صفر باشد.
2 - اگر فضای اندازه( X,S,U) اتم نداشته باشد آن را فضای اندازه دار غیر اتمی نامیم.
3 -اگر R را مجهز به اندازه لبگ کنیم یک فضای غیر اتمی به دست میاید
2 -
2 -
1 -فرض کنیم( X,S,U) فضایی اندازه پذیر باشد.مجموعه اندازه پذیر A را اتم گوییم هرگاه اندازه برونی A نامنفی باشد و به ازای هر زیر مجموعه اندازه پذیر E از A داشته باشیم اندازه برونی E صفر یا اندازه برونی متمم E صفر باشد.
2 - اگر فضای اندازه( X,S,U) اتم نداشته باشد آن را فضای اندازه دار غیر اتمی نامیم.
3 -اگر R را مجهز به اندازه لبگ کنیم یک فضای غیر اتمی به دست میاید
2 -
2 -
چند نکته در مورد آنالیز
1 -اگر f,gاندازه پذیر لبگ باشند آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
2 -اگر f,g اندازه پذیر برل باشند آنگاه gof اندازه پذیر برل است
3 -اگر f اندازه پذیر لبگ و g اندازه پذیر برل باشد آنگاه gof اندازه پذیر لبگ است
4 -اگر g اندازه پذیر لبگ و f تابعی پیوسته باشد آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
5 -اگر g تابعی پیوسته و f تابعی اندازه پذیر باشد آنگاه gof اندازه پذیر است
6 -هر تابع یکنوا f: R→R اندازه پذیر برل است
7 -هر تابع تقریبا همه جا پیوسته f: R→R اندازه پذیر لبگ است
8 - -اگر تابع f: R→R مشتق پذیر باشد آنگاه 'f اندازه پذیر لبگ است
9 - تابع اندازه ناپذیر لبگ f: R→R موجود است که اfا اندازه پذیر است
10 -اگر f,g توابعی اندازه پذیر باشند توابع زیر اندازه پذیر است:
الف: ⁿاfا برای nهای نامنفی
ب: f /ا برای f های مخالف صفر
ج: f+g ، f.g
د: {max{f,g و {min{f,g
ه: +f و -f
1 -اگر f,gاندازه پذیر لبگ باشند آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
2 -اگر f,g اندازه پذیر برل باشند آنگاه gof اندازه پذیر برل است
3 -اگر f اندازه پذیر لبگ و g اندازه پذیر برل باشد آنگاه gof اندازه پذیر لبگ است
4 -اگر g اندازه پذیر لبگ و f تابعی پیوسته باشد آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
5 -اگر g تابعی پیوسته و f تابعی اندازه پذیر باشد آنگاه gof اندازه پذیر است
6 -هر تابع یکنوا f: R→R اندازه پذیر برل است
7 -هر تابع تقریبا همه جا پیوسته f: R→R اندازه پذیر لبگ است
8 - -اگر تابع f: R→R مشتق پذیر باشد آنگاه 'f اندازه پذیر لبگ است
9 - تابع اندازه ناپذیر لبگ f: R→R موجود است که اfا اندازه پذیر است
10 -اگر f,g توابعی اندازه پذیر باشند توابع زیر اندازه پذیر است:
الف: ⁿاfا برای nهای نامنفی
ب: f /ا برای f های مخالف صفر
ج: f+g ، f.g
د: {max{f,g و {min{f,g
ه: +f و -f
انتگرال های استییلتس و انتگرال لبگ تعمیمی از انتگرال ریمان میباشند
در حالت کلی وقتی بیان میسود تابع بر یک بازه بسته، نسبت به آلفا انتگرال پذیر یا ریمان -اشتیلتس انتگرال پذیر است دو حالت داریم حالت اول وقتی است که آلفا همانی باشد در این صورت انتگرال مورد بحث انتگرال ریمان یا همون ریمان معمولی است و در حالتی که آلفا غیر همانی باشد انتگرال مورد بحث استیلتس است
در حالت کلی وقتی بیان میسود تابع بر یک بازه بسته، نسبت به آلفا انتگرال پذیر یا ریمان -اشتیلتس انتگرال پذیر است دو حالت داریم حالت اول وقتی است که آلفا همانی باشد در این صورت انتگرال مورد بحث انتگرال ریمان یا همون ریمان معمولی است و در حالتی که آلفا غیر همانی باشد انتگرال مورد بحث استیلتس است
یک مجموعه را خودالحاق نامیم هرگاه شامل الحاق اعضای خود باشد.
چون مجموعه مورد نظر مثبت است لذا هر عصو آن مثبت میباشد یعنی برای عضو دلخواه x ازاین مجموعه، عضو y از این مجموعه موجود است که داریم
x=y*y
حال اگر از رابطه بالا الحاق بگیریم داریم
x*=y*y
روابط بالا نشان میدهد که مجموعه مثبت مورد نظر شامل الحاق اعضا خود میباشد.
بنابراین هر مجموعه مثبت، خودالحاق است
چون مجموعه مورد نظر مثبت است لذا هر عصو آن مثبت میباشد یعنی برای عضو دلخواه x ازاین مجموعه، عضو y از این مجموعه موجود است که داریم
x=y*y
حال اگر از رابطه بالا الحاق بگیریم داریم
x*=y*y
روابط بالا نشان میدهد که مجموعه مثبت مورد نظر شامل الحاق اعضا خود میباشد.
بنابراین هر مجموعه مثبت، خودالحاق است
دنباله نوسانی
دنباله نوسانی دنباله ای است که حاصل ضرب هر دو جمله متوالی آن منفی میباشد به عبارت دیگر جملاتش یکی در میان مثبت و منفی اند که این دنباله ها به دو دسته کراندار و بی کران تقسیم میشوند و همگرای این دنباله ها هم فقط در حالت کرانداری رخ میدهد آن هم وقتی که دنباله نوسانی به صفر همگرا باشد
هر سری هم یک دنباله است لذا در شرایط بالا صدق میکند
دنباله نوسانی دنباله ای است که حاصل ضرب هر دو جمله متوالی آن منفی میباشد به عبارت دیگر جملاتش یکی در میان مثبت و منفی اند که این دنباله ها به دو دسته کراندار و بی کران تقسیم میشوند و همگرای این دنباله ها هم فقط در حالت کرانداری رخ میدهد آن هم وقتی که دنباله نوسانی به صفر همگرا باشد
هر سری هم یک دنباله است لذا در شرایط بالا صدق میکند
وضعیت سری ها در فضاهای نرمدار
۱ـ فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد در این صورت یک سری همگراست اگر دنباله مجموع های جزئی آن همگرا باشد
۲ -در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا الزاما همگرا نمیباشد
۳ -در یک فضای باناخ هر سری مطلقا همگرا، همگراست
۴ -فضای نرمدار X را باناخ گوییم هرگاه هر سری مطلقا همگرا در آن همگرا باشد
۵-در یک فضای باناخ یک سری را همگرا غیر مشروط نامیم هرگاه هر تجدید آرایش آن همگرا باشد
۶-در یک فضای باناخ هر سری همگرای مطلق، همگرای غیر مشروط است
۷-عکس نکته ۶ الزاما برقرار نمیباشد
۸-در فضای باناخ متناهی البعد همگرایی مطلق و همگرایی نامشروط معادلند
۹-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای مطلق نمیباشد
۱۰-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای نامشروط نمیباشد
۱ـ فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد در این صورت یک سری همگراست اگر دنباله مجموع های جزئی آن همگرا باشد
۲ -در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا الزاما همگرا نمیباشد
۳ -در یک فضای باناخ هر سری مطلقا همگرا، همگراست
۴ -فضای نرمدار X را باناخ گوییم هرگاه هر سری مطلقا همگرا در آن همگرا باشد
۵-در یک فضای باناخ یک سری را همگرا غیر مشروط نامیم هرگاه هر تجدید آرایش آن همگرا باشد
۶-در یک فضای باناخ هر سری همگرای مطلق، همگرای غیر مشروط است
۷-عکس نکته ۶ الزاما برقرار نمیباشد
۸-در فضای باناخ متناهی البعد همگرایی مطلق و همگرایی نامشروط معادلند
۹-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای مطلق نمیباشد
۱۰-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای نامشروط نمیباشد
نكاتی از آنالیز
۱- تابع نرم یک تابع پیوسته است
۲ -تابع نرم یک تابع لیپشیتس با ثابت یک است
۳- هر تابع نرم به طور یکنواخت پیوسته است
۴- در فضای نرمدار عمل های جمع و ضرب اسکالر دو تابع پیوسته اند
۱- تابع نرم یک تابع پیوسته است
۲ -تابع نرم یک تابع لیپشیتس با ثابت یک است
۳- هر تابع نرم به طور یکنواخت پیوسته است
۴- در فضای نرمدار عمل های جمع و ضرب اسکالر دو تابع پیوسته اند
نکاتی در مورد ابرصفحه (hyperplane)
1 -فرض کنیم X یک فضای برداری (لزوما نرمدار نیست) و M زیرفضای X (لزوما بسته نیست) باشد ما گوییم M در X دارای هم بعد (codimention ) از مرتبه n است هرگاه فضای خارج قسمتX/M دارای بعد n باشد
۲ -یک فضای برداری با هم دامنه یک، را ابر صفحه نامیم
۳ -فرض کنیم X یک ابرصفحه باشد در این صورت هر هم مجموعه a+M را ابر صفحه آفین در X نامیم (a € M)
4 -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت Kernel F یک ابر صفحه در X است
Kernel F={a € X: F(a) =0}
۵ -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت مجموعه زیر یک ابرصفحه آفین است
A={a € X: F(a) =۱}
6-هر ابرصفحه هسته تعدادی تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X میباشد
۷ -در یک فضای نرمدار X یک ابر صفحه M یا بسته میباشد و یا اینکه در X چگال میباشد
۸ -نکته ۷ برای ابرصفحه های آفین a+M نیز صادق است
1 -فرض کنیم X یک فضای برداری (لزوما نرمدار نیست) و M زیرفضای X (لزوما بسته نیست) باشد ما گوییم M در X دارای هم بعد (codimention ) از مرتبه n است هرگاه فضای خارج قسمتX/M دارای بعد n باشد
۲ -یک فضای برداری با هم دامنه یک، را ابر صفحه نامیم
۳ -فرض کنیم X یک ابرصفحه باشد در این صورت هر هم مجموعه a+M را ابر صفحه آفین در X نامیم (a € M)
4 -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت Kernel F یک ابر صفحه در X است
Kernel F={a € X: F(a) =0}
۵ -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت مجموعه زیر یک ابرصفحه آفین است
A={a € X: F(a) =۱}
6-هر ابرصفحه هسته تعدادی تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X میباشد
۷ -در یک فضای نرمدار X یک ابر صفحه M یا بسته میباشد و یا اینکه در X چگال میباشد
۸ -نکته ۷ برای ابرصفحه های آفین a+M نیز صادق است
Warning:
فرض کنیم x یک فضای نرمدار باشد اگر x یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد نمیتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است.
برای مثال فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر غیربازتابی است که x یکریخت طولپا با **x میباشد.
فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural emnedding ) باشد
فرض کنیم x یک فضای نرمدار باشد اگر x یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد نمیتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است.
برای مثال فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر غیربازتابی است که x یکریخت طولپا با **x میباشد.
فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural emnedding ) باشد
Warning:
فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند و T:X→Y یک عملگر خطی باشد در این صورت برای نامگذاری *T هر یک از موارد زیر را به کار میبرند
الف:adjoint T=الحاق T
یا
ب:dual T=دوگان T
یا
ج:transpose T=ترانهاده T
منظورم اینه که این مفاهیم، مفاهیم جدا از هم نییستند
فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند و T:X→Y یک عملگر خطی باشد در این صورت برای نامگذاری *T هر یک از موارد زیر را به کار میبرند
الف:adjoint T=الحاق T
یا
ب:dual T=دوگان T
یا
ج:transpose T=ترانهاده T
منظورم اینه که این مفاهیم، مفاهیم جدا از هم نییستند
نکاتی در مورد جابه جاگر دو عملگر
۱ -جابه جا گر دو عملگر T,S یک عملگر [T , S] است که به صورت زیر تعریف میشود
[T , S] =TS-ST
۲-جابه جا گرها دارای ویژگی های زیر میباشند:
الف: پاد متقارن
[T , S] =- [T , S]
ب: خطی بودن
[aT, bS] =ab [T , S]
[T , S+K] = [T , S] + [T , K]
[T+k , S] = [T , S] + [K , S]
پ: مشتق راست
[TK , S] =T [K , S] + [T , S] K
ث: مشتق چپ
[T , SK] = [T , S] K+ S[T , K]
ت: همانی ژاکوبی
[T , [K , S] ] + [K , [S , T] ] + [S , [T , K] ] =0
۱ -جابه جا گر دو عملگر T,S یک عملگر [T , S] است که به صورت زیر تعریف میشود
[T , S] =TS-ST
۲-جابه جا گرها دارای ویژگی های زیر میباشند:
الف: پاد متقارن
[T , S] =- [T , S]
ب: خطی بودن
[aT, bS] =ab [T , S]
[T , S+K] = [T , S] + [T , K]
[T+k , S] = [T , S] + [K , S]
پ: مشتق راست
[TK , S] =T [K , S] + [T , S] K
ث: مشتق چپ
[T , SK] = [T , S] K+ S[T , K]
ت: همانی ژاکوبی
[T , [K , S] ] + [K , [S , T] ] + [S , [T , K] ] =0