اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم
نکاتی از آنالیز
1-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را رسته اول نامیم هرگاه برابر اجتماع دنباله متناهی یا نامتناهی از مجموعه های هیچ جا چگال باشد
۲-مجموعه A یک مجموعه رسته دوم نامیم هرگاه رسته اول نباشد
۳-مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد گویا رسته اولند
۴-در فضای متریک گسسته، هیچ زیر مجموعه رسته اول ناتهی وجود ندارد
۵-هر زیر مجموعه یک مجموعه رسته اول، خود رسته اول است
۶-هر اجتماع حداکثر شمارا، از مجموعه های رسته اول، خود نیز رسته اول است
۷-قضیه رسته بئر : اگر فضای متریک E کامل باشد، اشتراک هر دنباله باز چگال، چگال است
۸-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را سیگما فشرده نامیم هرگاه A اجتماع دنباله ای از مجموعه های فشرده باشد
۹-هر مجموعه فشرده، سیگما فشرده است
1۰-هر مجموعه شمارا، سیگما فشرده است
11-در فضای n بعدی R، هر مجموعه باز، سیگما فشرده است
1۲-هر فضای متریک همبند ، با حداقل دو عضو ناشماراست
1۳-دنباله ای از مجموعه های باز چگال در فضای متریک E موجود است که اشتراکشان چگال نیست
۷-
1-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را رسته اول نامیم هرگاه برابر اجتماع دنباله متناهی یا نامتناهی از مجموعه های هیچ جا چگال باشد
۲-مجموعه A یک مجموعه رسته دوم نامیم هرگاه رسته اول نباشد
۳-مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد گویا رسته اولند
۴-در فضای متریک گسسته، هیچ زیر مجموعه رسته اول ناتهی وجود ندارد
۵-هر زیر مجموعه یک مجموعه رسته اول، خود رسته اول است
۶-هر اجتماع حداکثر شمارا، از مجموعه های رسته اول، خود نیز رسته اول است
۷-قضیه رسته بئر : اگر فضای متریک E کامل باشد، اشتراک هر دنباله باز چگال، چگال است
۸-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را سیگما فشرده نامیم هرگاه A اجتماع دنباله ای از مجموعه های فشرده باشد
۹-هر مجموعه فشرده، سیگما فشرده است
1۰-هر مجموعه شمارا، سیگما فشرده است
11-در فضای n بعدی R، هر مجموعه باز، سیگما فشرده است
1۲-هر فضای متریک همبند ، با حداقل دو عضو ناشماراست
1۳-دنباله ای از مجموعه های باز چگال در فضای متریک E موجود است که اشتراکشان چگال نیست
۷-
نکاتی راجع به فضاهای نرمدار
1-در فضای متناهی البعد همه نرم ها هم ارزند
۲_در فضای نرمدار متناهی البعد فشردگی معادل است با بسته و کراندار بودن
۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا
۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد
۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است
۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست
۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست
۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است
۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست
1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است
11-فضای l وان، l بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند
1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند
1۳-فرض کنیم T اندیس n، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند
1۴_در 1۳ اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست
1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است
1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X باناخ است
1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است
1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است
1-در فضای متناهی البعد همه نرم ها هم ارزند
۲_در فضای نرمدار متناهی البعد فشردگی معادل است با بسته و کراندار بودن
۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا
۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد
۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است
۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست
۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست
۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است
۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست
1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است
11-فضای l وان، l بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند
1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند
1۳-فرض کنیم T اندیس n، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند
1۴_در 1۳ اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست
1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است
1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X باناخ است
1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است
1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است
نکاتی راجع به (تغییر کراندار )
1-تابع حقیقی f بر بازه بسته (a, b) دارای تغییر کراندار است هرگاه تغییر کل آن بینهایت نگردد
۲-اگر f دارای تغییر کراندار باشد قدر مطلق f نیز دارای تغییر کراندار است
۳-هر تابع حقیقی یکنوا بر یک بازه بسته (a, b) ، دارای تغییر کراندار میباشد
4-هر تابع حقیقی بر یک بازه بسته (a, b) ،که در شرط لیپشیتس صدق کند، دارای تغییر کراندار است
۵-یک تابع ممکن است با تغییر کراندار باشد ولی در شرط لیپشیتس صدق نکند
۶-هر تابع با تغییر کراندار است
۷-عکس ۶ الزاما برقرار نیست
۸-حاصل جمع و حاصل ضرب دو تابع با تغییر کراندار، یک تابع با تغییر کراندار است
۹-مجموعه همه توابع با تغییر کراندار بر یک بازه بسته (a, b) ، با عمال جمع، ضرب اسکالر و ضرب توابع یک جبر جابجایی و یکدار است
1۰-اگر f با تغییر کراندار و دور از صفر باشد آنگاه 1/f نیز با تغییر کراندار است
11-فرض کنیم f تابعی حقیقی بر یک بازه بسته (a, b)، و c نقطه درونی آن باشد، در این صورت با تغییر کراندار بودن f بر بازه بسته بر (a, b) ،معادل است با تغییر کرانداری f بر بازه های بسته( a,c) و (c, b)
12-تابع چند جمله ای بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است
1۳-تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است اگر وتنها اگر برابر تفاضل دو تابع صعودی باشد
1۴-هر تابع با تغییر کراندار دارای ناپیوستگی نوع اول است و مجموعه آنها حداکثر شماراست 1۵-اگر یکی از موارد زیر برقرار باشد تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،با تغییر کراندار است
الف:f دارای مشتق پیوسته باشد
ب:f دارای مشتق کراندار باشد
ج:f یکنوا باشد
1۶-اگر تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،به طور یکنواخت باشد الزاما با تغییر کراندار نمیباشد
1-تابع حقیقی f بر بازه بسته (a, b) دارای تغییر کراندار است هرگاه تغییر کل آن بینهایت نگردد
۲-اگر f دارای تغییر کراندار باشد قدر مطلق f نیز دارای تغییر کراندار است
۳-هر تابع حقیقی یکنوا بر یک بازه بسته (a, b) ، دارای تغییر کراندار میباشد
4-هر تابع حقیقی بر یک بازه بسته (a, b) ،که در شرط لیپشیتس صدق کند، دارای تغییر کراندار است
۵-یک تابع ممکن است با تغییر کراندار باشد ولی در شرط لیپشیتس صدق نکند
۶-هر تابع با تغییر کراندار است
۷-عکس ۶ الزاما برقرار نیست
۸-حاصل جمع و حاصل ضرب دو تابع با تغییر کراندار، یک تابع با تغییر کراندار است
۹-مجموعه همه توابع با تغییر کراندار بر یک بازه بسته (a, b) ، با عمال جمع، ضرب اسکالر و ضرب توابع یک جبر جابجایی و یکدار است
1۰-اگر f با تغییر کراندار و دور از صفر باشد آنگاه 1/f نیز با تغییر کراندار است
11-فرض کنیم f تابعی حقیقی بر یک بازه بسته (a, b)، و c نقطه درونی آن باشد، در این صورت با تغییر کراندار بودن f بر بازه بسته بر (a, b) ،معادل است با تغییر کرانداری f بر بازه های بسته( a,c) و (c, b)
12-تابع چند جمله ای بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است
1۳-تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،دارای تغییر کراندار است اگر وتنها اگر برابر تفاضل دو تابع صعودی باشد
1۴-هر تابع با تغییر کراندار دارای ناپیوستگی نوع اول است و مجموعه آنها حداکثر شماراست 1۵-اگر یکی از موارد زیر برقرار باشد تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،با تغییر کراندار است
الف:f دارای مشتق پیوسته باشد
ب:f دارای مشتق کراندار باشد
ج:f یکنوا باشد
1۶-اگر تابع حقیقی f بر یک بازه بسته (a, b) ،به طور یکنواخت باشد الزاما با تغییر کراندار نمیباشد
نکاتی در مورد اندازه های علامت دار
1-فرض کنیم M یک سیگما جبر از زیر مجموعه های X باشد تابع u از فضای اندازه(X,M) به *R (نماد *R همان مجموعه اعداد حقیقی است به همراه مثبت و منفی بینهایت ) را اندازه علامت دار نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:u حداکثر یکی از مقادیر بینهایت را اختیار کند
ب: تصویر تهی تحت u برابر صفر گردد
ج: u دارای ویژگی سیگما جمعی باشد
2-هر اندازه یک اندازه علامت دار میباشد
3-هر اندازه علامت دار تابعی متناهیأ جمعی است
4-اندازه های علامت دار همواره دارای ویژگی تفزیقی میباشند
اگر عضو A از سیگما جبر M، زیر مجموعه ای با اندازه بینهایت داشته باشد آنگاه اندازه علامت دار A نیز بینهایت میگردد
5-فرض کنیم u یک اندازه علامت دار باشد، مجموعه A را یک مجموعه مثبت برای اندازه علامت دار نامیم هرگاه برای هر عضو E از سیگما جبر، تصویر E اشتراک A ،تحت u نامنفی گردد
به همین ترتیب مجموعه نامنفی تعریف میگردد
6-تجزیه هان: فرض کنیم A,B دو عضو سیگما جبر M، باشند و u یک اندازه علامتدار باشد در این صورت جفت (A,B) را یک تجزیه هان برای X نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:A با B هیچ اشتراکی نداشته باشد
ب: اجتماع A,B برابر کل X گردد
ج: A مثبت و B منفی باشد
7-اگر u يك اندازه علامت دار بر سیگما جبر M باشد در این صورت X نسبت به u دارای تجزیه هان میباشد
8-نکته 7 نشان میدهد این تقسیم فضا به دو تکه همواره ممکن است
9-اندازه علامت دار u را متناهی خوانیم هرگاه برای هر عضو سیگما جبر M تصوير A تحت u حقیقی مقدار گردد
10-مجموعه همه اندازه های علامت دار الزامأ مشبکه برداری نمیباشد
11-مجموعه دو انداه علامت دار همواره تعریف شدنی نمیباشد
12-برای رفع مشکل11 و 10 خود را به گردایه متشکل از همه اندازه های علامت دار متناهی محدود میکنیم
1-فرض کنیم M یک سیگما جبر از زیر مجموعه های X باشد تابع u از فضای اندازه(X,M) به *R (نماد *R همان مجموعه اعداد حقیقی است به همراه مثبت و منفی بینهایت ) را اندازه علامت دار نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:u حداکثر یکی از مقادیر بینهایت را اختیار کند
ب: تصویر تهی تحت u برابر صفر گردد
ج: u دارای ویژگی سیگما جمعی باشد
2-هر اندازه یک اندازه علامت دار میباشد
3-هر اندازه علامت دار تابعی متناهیأ جمعی است
4-اندازه های علامت دار همواره دارای ویژگی تفزیقی میباشند
اگر عضو A از سیگما جبر M، زیر مجموعه ای با اندازه بینهایت داشته باشد آنگاه اندازه علامت دار A نیز بینهایت میگردد
5-فرض کنیم u یک اندازه علامت دار باشد، مجموعه A را یک مجموعه مثبت برای اندازه علامت دار نامیم هرگاه برای هر عضو E از سیگما جبر، تصویر E اشتراک A ،تحت u نامنفی گردد
به همین ترتیب مجموعه نامنفی تعریف میگردد
6-تجزیه هان: فرض کنیم A,B دو عضو سیگما جبر M، باشند و u یک اندازه علامتدار باشد در این صورت جفت (A,B) را یک تجزیه هان برای X نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:A با B هیچ اشتراکی نداشته باشد
ب: اجتماع A,B برابر کل X گردد
ج: A مثبت و B منفی باشد
7-اگر u يك اندازه علامت دار بر سیگما جبر M باشد در این صورت X نسبت به u دارای تجزیه هان میباشد
8-نکته 7 نشان میدهد این تقسیم فضا به دو تکه همواره ممکن است
9-اندازه علامت دار u را متناهی خوانیم هرگاه برای هر عضو سیگما جبر M تصوير A تحت u حقیقی مقدار گردد
10-مجموعه همه اندازه های علامت دار الزامأ مشبکه برداری نمیباشد
11-مجموعه دو انداه علامت دار همواره تعریف شدنی نمیباشد
12-برای رفع مشکل11 و 10 خود را به گردایه متشکل از همه اندازه های علامت دار متناهی محدود میکنیم