نکاتی از جبر خطی
۱-فرض کنیم T عملگر خطی روی فضای متناهی البعد V باشد در این صورت گزاره های زیر معادلند :
الف: عملگر T وارون پذیر است
ب: عملگر T نامنفرد است
پ: عملگر T یک به یک است
ت: عملگر T برو است
ث: تمام مقادیر ویژه T مخالف صفر است .
۲-نکته فوق برای فضاهای نامتناهی البعد لزومأ بررار نمیباشد .
۳- تبدیل خطی T بردار صفر دامنه را به بردار صفر برد تصویر میکند.
۴-اگر T عملگری خطی باشد که T²=0 آنگاه الزامأ T=0 نمیباشد.
۵-اگر T, S دو عملگر خطی باشند که TS=0 آنگاه الزامأ ST=0 نمیباشد.
۶-در نکته ۳ و ۴ منظور از صفر، بردار صفر میباشد.
۷-فرض کنیم T عملگری خطی از فضای متناهی البعد U به فضای متناهی البعد V باشد در این صورت موارد زیر را داریم:
الف: اگر T پوشا باشد dim V کوچکتر مساوی dim U میگردد.
ب: اگر T یک به یک باشد dim U کوچکتر مساوی dim V میگردد.
پ: یک به یک بودن T معادل است با ( d im U = dim T(U
ث: پوشا بودن T معادل است با dim T(U) =dim V
۸-اگر عملگر خطی T پوچ توان باشد آنگاه عملگر I±T وارون پذیر است.
۹-عملگر مشتق یک عملگر پوچ توان، پوشا و غیر به یک میباشد.
۱۰ -عملگر انتگرال یک عملگر یک به یک غیر پوشاست.
۱۱-نکته های ۹ و ۱۰ نشان میدهد که نکته فوق الزامأ برای فضاهای نامتناهی البعد برقرار نمیباشد.
۱۲ -اگر A,B دو ماتریس متشابه باشند آنگاه ماتریس های زیر نیز متشابه میباشند:
الف -A وارون و B وارون
ب: ترانهاده A و ترانهاده B
پ: Aⁿ و Bⁿ
۱۲-اگر A ماتریس قطری شدنی باشد آنگاه ماتریس های زیر نیز قطری شدنی میباشند:
الف: adj A
ب: وارون A
پ: ترانهاده A
ت: Aⁿ
۱۳-رتبه هر ماتریس قطری برابر است با تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی
۱۴- دتر مینان یک ماتریس پادمتقارن برابر است با حاصل ضرب مقادیر ویژه آن
۱-فرض کنیم T عملگر خطی روی فضای متناهی البعد V باشد در این صورت گزاره های زیر معادلند :
الف: عملگر T وارون پذیر است
ب: عملگر T نامنفرد است
پ: عملگر T یک به یک است
ت: عملگر T برو است
ث: تمام مقادیر ویژه T مخالف صفر است .
۲-نکته فوق برای فضاهای نامتناهی البعد لزومأ بررار نمیباشد .
۳- تبدیل خطی T بردار صفر دامنه را به بردار صفر برد تصویر میکند.
۴-اگر T عملگری خطی باشد که T²=0 آنگاه الزامأ T=0 نمیباشد.
۵-اگر T, S دو عملگر خطی باشند که TS=0 آنگاه الزامأ ST=0 نمیباشد.
۶-در نکته ۳ و ۴ منظور از صفر، بردار صفر میباشد.
۷-فرض کنیم T عملگری خطی از فضای متناهی البعد U به فضای متناهی البعد V باشد در این صورت موارد زیر را داریم:
الف: اگر T پوشا باشد dim V کوچکتر مساوی dim U میگردد.
ب: اگر T یک به یک باشد dim U کوچکتر مساوی dim V میگردد.
پ: یک به یک بودن T معادل است با ( d im U = dim T(U
ث: پوشا بودن T معادل است با dim T(U) =dim V
۸-اگر عملگر خطی T پوچ توان باشد آنگاه عملگر I±T وارون پذیر است.
۹-عملگر مشتق یک عملگر پوچ توان، پوشا و غیر به یک میباشد.
۱۰ -عملگر انتگرال یک عملگر یک به یک غیر پوشاست.
۱۱-نکته های ۹ و ۱۰ نشان میدهد که نکته فوق الزامأ برای فضاهای نامتناهی البعد برقرار نمیباشد.
۱۲ -اگر A,B دو ماتریس متشابه باشند آنگاه ماتریس های زیر نیز متشابه میباشند:
الف -A وارون و B وارون
ب: ترانهاده A و ترانهاده B
پ: Aⁿ و Bⁿ
۱۲-اگر A ماتریس قطری شدنی باشد آنگاه ماتریس های زیر نیز قطری شدنی میباشند:
الف: adj A
ب: وارون A
پ: ترانهاده A
ت: Aⁿ
۱۳-رتبه هر ماتریس قطری برابر است با تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی
۱۴- دتر مینان یک ماتریس پادمتقارن برابر است با حاصل ضرب مقادیر ویژه آن
نکته ای از آنالیز
جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند که به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
جبرهای فون نویمان را میتوان به صورت جبری محض به صورت زیر میتوان تعریف کرد👇
فرض کنید H یک فضای هیلبرت و F زیرمجوعه ای از (H)B باشد.مجموعه 'F را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F'={T∈B(H): TS=ST ㅂS∈F}
در این صورت 'F را جابه جاگر F نامیم.
در این صورت یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان نامیم هرگاه با دوگان دوم خود برابر باشد، یعنی
F=F"
جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند که به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
جبرهای فون نویمان را میتوان به صورت جبری محض به صورت زیر میتوان تعریف کرد👇
فرض کنید H یک فضای هیلبرت و F زیرمجوعه ای از (H)B باشد.مجموعه 'F را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F'={T∈B(H): TS=ST ㅂS∈F}
در این صورت 'F را جابه جاگر F نامیم.
در این صورت یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان نامیم هرگاه با دوگان دوم خود برابر باشد، یعنی
F=F"
درسته آرمین جان دقیقا برابر میشه با انتگرال معمولی.😳
برا مثال تابع ضابطه ای زیر را در بازه [۰،۱] نظر بگیر
0 xㅌQ
√x xㅌQ'
این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست ولی انتگرال لبگش دقیقا برابر انتگرال معمولی x√ در بازه مذکور است یعنی انتگرال لبگش میشه ۲/۳🤔
برا مثال تابع ضابطه ای زیر را در بازه [۰،۱] نظر بگیر
0 xㅌQ
√x xㅌQ'
این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست ولی انتگرال لبگش دقیقا برابر انتگرال معمولی x√ در بازه مذکور است یعنی انتگرال لبگش میشه ۲/۳🤔
سلام من دارم از این تلگرام استفاده می کنم، امکاناتش عالیه، شما هم نصب کن فیلتر شکن نمی خواد
از این کانال میتونی دانلود کنی :
@telegraambaaz
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/TelegramBaz
از این کانال میتونی دانلود کنی :
@telegraambaaz
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/TelegramBaz
سلام من دارم از این تلگرام استفاده می کنم، امکاناتش عالیه، شما هم نصب کن فیلتر شکن نمی خواد
از این کانال میتونی دانلود کنی :
@telegraambaaz
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/TelegramBaz
از این کانال میتونی دانلود کنی :
@telegraambaaz
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/TelegramBaz
سلام من دارم از این تلگرام استفاده می کنم، امکاناتش عالیه، شما هم نصب کن فیلتر شکن نمی خواد
دانلود از کانال رسمی :
https://t.me/tele4x
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/telegraamx
دانلود از کانال رسمی :
https://t.me/tele4x
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/telegraamx
سلام من دارم از این تلگرام استفاده می کنم، امکاناتش عالیه، شما هم نصب کن فیلتر شکن نمی خواد
دانلود از کانال رسمی :
https://t.me/tele4x
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/telegraamx
دانلود از کانال رسمی :
https://t.me/tele4x
لینک مستقیم دانلود :
http://bit.ly/telegraamx
نکاتی راجع به ماتریس های پوچ توان
۱-اگر traceA=0 و rankA=1 آنگاه A پوچ توان است.
۲- ماتریس مربعی A پوچ توان است اگر وتنها اگر برای هر n طبیعی داشته باشیم traceAⁿ=0
۳-اگر A یک ماتریس پوچ توان مربعی باشد آنگاه traceA=0
۴-چند جمله ای هر ماتریس پوچ توان مرتبه ی n برابر است با xⁿ
۵-دترمینان هر ماتریس پوچ توان صفر میباشد.
۶-ماتریس های پوچ توان دارای مقادیر ویژه صفر میباشند.
۷-اگر عملگر T پوچ توان باشد آنگاه I±T وارون پذیر است.(l = ماتریس همانی)
۸-نگاشت مشتق یک نگاشت پوچ توان است.
۱-اگر traceA=0 و rankA=1 آنگاه A پوچ توان است.
۲- ماتریس مربعی A پوچ توان است اگر وتنها اگر برای هر n طبیعی داشته باشیم traceAⁿ=0
۳-اگر A یک ماتریس پوچ توان مربعی باشد آنگاه traceA=0
۴-چند جمله ای هر ماتریس پوچ توان مرتبه ی n برابر است با xⁿ
۵-دترمینان هر ماتریس پوچ توان صفر میباشد.
۶-ماتریس های پوچ توان دارای مقادیر ویژه صفر میباشند.
۷-اگر عملگر T پوچ توان باشد آنگاه I±T وارون پذیر است.(l = ماتریس همانی)
۸-نگاشت مشتق یک نگاشت پوچ توان است.