نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان

توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا

ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا

یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .

قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.

طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.

1-جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند .

۲-جبرهای فون نویمان به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.

۳-یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.

۴-فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H

۵-بنا به نکته ۴ یک *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد .

۶-جبر (B(H یک جبر فون نویمان است .

۷-اگر A یک *c زیر جبر(B(H باشد آنگاه بستار A با توپولوژی قوی یا ضعیف عملگرها یک جبر فون نویمان است .

۸-اگر A جبر فون نویمان در (B(H باشد آنگاه گوی واحد بسته A در توپولوژی ضعیف عملگرها فشرده و در توپولوژی قوی عملگرها بسته است .

۹-یک جبر فون نویمان شامل تمام تصاویر بردی عناصر خودش است.

۱۰-اگر T عنصری از جبر فون نویمان A باشد آنگاه تصویر متعامد به روی هسته T متعلق به A است .

۱۱-اگر A جبر فون نویمان با بعد بیشتر از یک باشد در این صورت A شامل تصاویر غیر بدیهی است .

۱۲-فرض کنیم F زیر مجموعه ای از (B(H باشد، در این صورت جابه‌جا گر F برابر است با تمام عضوهایی از (B(H که با هر عضو F جا به جا میشوند .

۱۲-جا به جا گر F را یک جبر فون نویمان گوییم هرگاه F خودالحاق باشد .

۱۳-یک *c زیر جبر F از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه F با جا به جا گر دوم، خود برابر باشد .

۱۴-نکته ۳ تعریف توپولوژیکی و نکته ۱۳ تعریف جبری از یک جبر فون نویمان میباشد .

۱۵-فرض کنید F زیرمجموعه خودالحاق (B(H باشد در این صورت جا به جا گر دوم F، کوچکترین جبر فون نویمان شامل F است .

۱۶-جا به جا گر جبر فون نویمان (B(H فقط متشکل از مضارب ثابت همانی است .

۱۷-فرض کنیم F یک جبر فون نویمان باشد.در این صورت یک عملگر در (B(H متعلق به A است اگر و تنها اگر با هر تصویر در جا به جا گر A، جا به جا شود .

۱۸_یک *c زیر جبر F از (B(H یک جبر فون نویمان آبلی ماکسیمال است اگر و تنها اگر F با جا به جا گرش، برابر باشد .

۱۹-هر *c - یکریختی، sup را حفظ میکند .

۲۰-جبر فون نویمان A را فاکتور نامیم هرگاه مرکزش بدیهی باشد.

۲۱-ساده ترین فاکتور جبر کامل (B(H میباشد.

۲۲-یک فاکتور لزوما غیر جا به جایی است مگر اینکه جبر یک بعدی باشد.

نکاتی از آنالیز

فضای متریک R را با متر قدرمطلق و (6,9) y= {2} U را به عنوان زیر فضای آن در نظر میگیریم. موارد زیر را داریم :

۱-بازه (6,9) در y بسته است و نقاط حدی و بستار آن برابر است با (6,9)
۲_بازه (6,9) در y باز است و نقاط درونی آن برابر است با (6,9)

۳-مجموعه {2} در y هم باز و هم بسته است .

۴-بازه [۶،۷ )در y بسته است.

۵-مرز (6,9) در y برابر است با تهی.

۶- باز و بسته بودن مجموعه های تک عضوی {6} , {9}نمیتوان در y بررسی کرد .

۷-مرز y برابر است مجموعه
{ 2,6, 9}

8-نقاط حدی y برابر است با مجموعه (6,9)

۹_مجموعه y، بسته نمیباشد .

۱۰- مجموعه y یک مجموعه perfect نمیباشد.

۱۲-بازه (۶,9) در y یک مجموعه perfect است.

۱۲-مجموعه y یک مجموعه complete و همبند نمیباشد.

۱۳-بازه (6,9) در y فشرده نمیباشد.

۱۴-هیچ مجموعه متناهی در R یک مجموعه petfect نمیباشد .

۱۵-بازه (6,9) و مجموعه {۲}جداساز y اند.

نکاتی راجع به پیوستگی یکنواخت

۱-هر تابع پیوسته یکنواخت، پیوسته است ولی عکس مطلب الزاما برقرار نیست .

۲-پیوستگی یکنواخت هم به ضابطه تابع و هم به قلمرو آن بستگی دارد .

۳-اگر تابع f بر E به طور یکنواخت پیوسته باشد آنگاه تحدید f بر هر زیر مجموعه E نیز به طور یکنواخت پیوسته است .

۴-هرتابع از یک فضای متریک گسسته به یک فضای متریک دلخواه به طور یکنواخت پیوسته است .

۵-هر تابع لیپشیتس به طور یکنواخت پیوسته است .

۶-ترکیب دو تابع به طور یکنواخت پیوسته نیز به طور یکنواخت پیوسته است .

۷-اگر E فضای متریک و A زیرمجموعه ناتهی آن باشد تابع
f: E→R
f(a)=d(a,A)
به طور یکنواخت پیوسته است .

۸-تابع به طور یکنواخت پیوسته دنباله کوشی را به کوشی میبرد (تابع پیوسته الزاما این خاصیت رو ندارد) .

۹-اگر f و g به طور یکنواخت پیوسته و a عددی مختلط باش آنگاه :
الف : f+g و af نیز به طور یکنواخت پیوسته اند
ب: اگر f و g کراندار باشند آنگاه fg نیز به طور یکنواخت پیوسته اند (اگر حداقل یکیشون کراندار نباشد حکم الزاما برقرار نیست.
ج: اگر g دور از صفر باشد تابع
1/g
نیز به طور یکنواخت پیوسته است .

۱۰_تحدید هر تابع پیوسته به یک فضای متریک فشرده به طور یکنواخت پیوسته است .

۱۱_تابع پیوسته بر یک بازه باز (a, b ) به طور یکنواخت پیوسته است اگر وتنها اگر توسیع پیوسته ای به بازه [a, b] یا R داشته باشیم.

نکاتی در مورد همگرایی

۱-هر دنباله که به طور یکنواخت همگرا باشد، نقطه به نقطه نیز همگراست .

۲-هر دنباله که نقطه به نقطه همگرا باشد، آنگاه تقریبا همه جا نیز همگراست .

۳-عکس گزاره های ۱ و ۲ الزاما برقرار نیست.

۴-اگر دنباله شامل تعداد متناهی نقاط باشد یا مجموعه با اندازه صفر آن تهی باشد آنگاه همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا معادل میشوند .

۵-در همگرایی یکنواخت N انتخابی فقط به اپسیلون وابسته است .

۶-در همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا، N انتخابی به اپسیلون و x وابسته است .

۷- اگر دنباله fⁿ ، به f در L¹، همگرا باشد آنگاه دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه میگردد.

۸-عکس نکته ۷ الزاما برقرار نیست.

۹- اگر دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه باشد آنگاه زیر دنباله ای از دنباله fⁿ، هست که به f تقریباً همه جا همگرا میگردد.

۱۰- در فضای اندازه دار متناهی همگرایی نقطه به نقطه ، همگرایی در اندازه را ایجاد میکند .

۱۱-دنباله ای از توابع اندازه پذیر موجودند که در اندازه همگرا میباشند ،ولی در هیچ نقطه ای همگرا نمیباشند .

۱۲-در فضای اندازه متناهی البعد همگرا در اندازه دنباله fⁿ ، به f معادل است با اینکه که هر زیر دنباله ی، دنباله fⁿ ، تقریباً همه جا به f همگرا باشد .

۱۳-همگرایی یکنواخت ، همگرایی در اندازه را نتیجه میدهد .

۱۴-اگر دنباله fⁿ به f، و دنباله gⁿ به g همگرا در اندازه باشند ، آنگاه fⁿ+gⁿبه f+g همگراست ولی fⁿgⁿالزاما به f. g همگرا نمیباشد .

۱۵-برای اندازه شمارشی روی N، همگرایی یکنواخت و همگرایی در اندازه معادل میگردند.

نکاتی از آنالیز

۱-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد، آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میگردند.

۲-اگر دنباله Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد ، آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست .

۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند .

نکاتي در مورد انتگرال پذيری

۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .

۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.

۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .

۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .

۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.

۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.

۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.

۸-اگر f انتگرال پذير باشد قدرمطلق f الزاما انتگرال پذير نيست.

۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.

۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.

۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.

نکاتي در مورد انتگرال پذيری

۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .

۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.

۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .

۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .

۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.

۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.

۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.

۸-اگر f انتگرال پذير باشد l f l الزاما انتگرال پذير نيست.

۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.

۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.

۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.

نکاتی از آنالیز
مجموعه حدود زیر دنباله ای cos n دقیقا ۱۸۱ عضو دارد .(n بر حسب درجه)

۲_زیر مجموعه E از فضای متریک X، در X چگال است هرگاه هر نقطه X یک نقطه حدی E یا یک نقطه E باشد .

۳-در مجموعه عداد طبیعی با متریک معمولی تک عضوی ها هم بازند و هم بسته .

۴-اگر A زیر مجموعه ناتهی فضای اقلیدسی R باشد آنگاه supA و infA به بستار A تعلق دارند .

۵-مجموعه عداد گویا با متر اقلیدسی perfect و countable است ولی complete نیست.

۶-در فضای اقلیدسی Rⁿ، قطر هر گوی باز دو برابر شعاع است.

۷-با تعریف متر مناسب، مجوعه اعداد حقیقی را میتوان در فضای متریک کراندار کرد.

نکاتی در مورد سری ها
1-هر سری یک دنباله است
2-هر سری یک تابع است
3-هر سری یک مجموعه است
4-هر سری یک رابطه است
5-دامنه یک سری N یا زیر مجموعه ای از N میباشد
6-چون سری یک تابع است لذا جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، دامنه، برد، حد، مشتق .......برای سری ها برقرار است
7-یک مجموعه الزاما یک سری نیست
8-از یک مجموعه نمیتوان یک سری ساخت
9-از هر مجموعه شمارا میتوان یک سری ساخت
10 -اگر دنباله مجموع جزئی یک سری همگرا باشد آن سری همگراست
11 -اگر دنباله مجموع جزئی سری کوشی باشد آنگاه سری همگراست
12 -اگر دنباله مجموع های جزئی یک سری نامنفی، کراندار باشد آنگاه سری همگراست
13 -سری با جملات نامنفی یا همگراست و یا واگرا به مثبت بینهایت.
14 -اگر دنباله جزئی مرتبه n ام یک سری نامنفی، زیر دنباله ای همگرا داشته باشد آنگاه سری همگراست
16 -جمع سری واگرا، با یک سری همگرا، یک سری
واگراست
17 -با ضرب هر عدد غیر صفر در یک سری واگرا، یک سری واگرا به دست میاید
18 -با ضرب صفر در یک سری واگرا یک سری همگرا به دست میاید
19 -جمع دو سری واگرا، لزوما واگرا نیست
20 -جمع و تفاضل دو سری همگرا، یک سری همگراست
21 -افزودن تعداد متناهی جمله به یک سری در واگرایی و همگرایی سری بی تأثیر است، ولی مقدار سری را تغییر میدهد
22 -با ضرب یک عدد در یک سری واگرا لزوما یک سری واگرا حاصل نمیگردد
23 -هر سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
24 -اگر یک سری مطلقا همگرا نباشد ممکن است همگرا یا واگرا باشد
25 -در یک فضای نرمدار یک فضای مطلقا همگرا، الزاما همگرا نمیباشد
26 -در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
27 -اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X کامل است
28 -اگر سری نامنفی a اندیس i همگرا باشد آنگاه سری a² اندیس i، نیز همگراست
29 - اگر سری ² a اندیس i همگرا باشد آنگاه در مورد همگرایی یا واگرایی سری a اندیس i، نمیتوان چیزی گفت
30 -هر تجدید آرایش یک سری مطلقا همگرا با مجموع s، نیزیک سری مطلقا همگرا با مجموع s است.
31 -اگر از یک دنباله با جملات نامنفی سری همگرا به دست آید آنگاه از هر زیر دنباله آن نیز یک سری همگرا حاصل میگردد
32 -درج پرانتز، همگرایی سری را به هم نمیزند
33-حذف پرانتز ممکن است همگرایی سری را تخریب کند
34 -آزمون ریشه از آزمون نسبت قویتر است یعنی اگر آزمون ریشه همگرایی یا واگرایی را نتیجه ندهد آزمون نسبت هم نتیجه نمیدهد

نکاتی در مورد عملگر (=تابع =نگاشت=تبدیل) در فضاهای نرمدار
(Operator=Function=Map=Transformation)

۱ -یک عملگر T بین دو فضای نرمدار X,Y کراندار نامیده میشود هر گاه یک ثابت M موجود باشد که برای هر x از X داشته باشیم
llTxll ≤ M llxll

۲-کوچکترین مقدار M در نکته ۱ را نرم T نامیم و با lll T lll نشان داده و به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }

۳-از نکته ۲ داریم:
llTxll ≤ lllTlll llxll

۴-نرم عملگر خطی T را به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll

۵ -فرض کنیم (B(H متشکل از عملگرهای خطی کراندار روی فضای هیلبرت H باشد در این صورت:
الف: (B(H یک فضای برداری است.
ب: (B(H یک جبر است.
ج: (B(H یک فضای نرمدار است.
د: (B(H یک فضای باناخ است.
ه: (B(H یک جبر باناخ است.
م: (B(H یک *c جبر است.
ن: (B(H یک جبر فون نویمان است.

۶- فرض کنیم T: X→Y یک عملگر خطی و X فضای نرمدار متناهی البعد و Y یک فضای نرمدار باشد در این صورت نتایج زیر را داریم:
الف: T کراندار نقطه به نقطه است.
ب : T پیوسته نقطه به نقطه است.
ج : T کراندار یکواخت است.
د : T پیوسته یکنواخت است.
ه : T تابع لیپشیتس است.

۷ -اگر در نکته ۶ بعد X نامتناهی باشد همه موارد نکته ۶ معادل میگردند.

۸-وارون یک عملگر خطی، خود نیز خطی است.

۹ -هیچ فضای باناخی را نمیتوان به صورت اجتماع شمارا از مجموعه های هیچ جا چگال نوشت.

۱۰ -عملگر T:X→Y یکریختی توپولوژیکی نامیم هرگاه T تناظر یک به یک و پیوسته باشد همچنین وارون T نیز باید پیوسته باشد.

۱۱-اگر T نگاشت حافظ نرم باشد آنگاه داریم:
lllTlll=1

۱۲-برای هر نگاشت خطی حافظ نرم موارد زیر را داریم:
الف: یک به یک بودن
ب: لیپشیتس بودن
پ: کرانداری نقطه به نقطه
ت: کرانداری یکنواخت
ث: پیوستگی یکنواخت
ف: پیوستگی نقطه به نقطه
ه: وارن پذیر بودن به شرط آنکه X,Y هم بعد باشند.

۱۳-دو فضای ضرب داخلی را معادل یکانی گوییم هرگاه یک یکریختی، پوشای حافظ ضرب داخلی موجود باشد.

۱۴ -هر نگاشت یکانی U حافط نرم است و lllUlll=1

۱۵ -فرض کنیم U: x→Y یک نگاشت پوشا بین دو فضای ضرب داخلی باشد در این صورت یکانی بودن U معادل است با اینکه U یکریختی طولپا باشد.

۱۶ -در نکته ۱۵ پوشا بودن را نمینوان حذف کرد.

۱۷ -هر فضای برداری حقیقی n بعدی یکریخت است با Rⁿ.

۱۸ -هر فضای n بعدی مختلط معادل یکانی با Cⁿ است.

۱۹ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر معادل یکانی با l² یا Cⁿ است.

۲۰ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر، یکریخت طولپا با l² است.

۲۱ -از نکته ۲۰ داریم که l² یکریخت طولپا با L² است.

۲۲ -فضاهای توابع زوج و فرد در
L² [- ㅠ,ㅠ]
یکریخت طولپایند.

تور تعمیمی از دنباله است.
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.

یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند

نکاتی راجع به تورها (Nets )


۱-اگر به مجموعه X که با رابطه > مجهز شده که دارای ویژگی انعکاسی، و ترایایی می باشد شرط زیر را اضافه کنید مجموعه سودار به دست میآید :
به ازای هر جفت از عضوهای a, b در X عضوی مانند c در X باشد که a<c و b<c.

۲- مجموعه های N و Z و R با رابطه کوچکتر مساوی یک مجموعه سودار هستند.

۳-یک تور در یک فضای توپولوژیک(X, T) یک نگاشت از یک مجموعه سودار E به توی X میباشد و با χ اندیس α نشان میدهیم که αㅌE.

۴-در نکته ۳ اگر مجموعه سودار را با N جایگزین کنیم دنباله به دست میآید.

۵-در یک فضای توپولوژیک ممکن است دنباله برای اثبات همگرایی کارایی نداشته باشد در این صورت باید از تور استفاده کنیم

۶-از ۴ نتیجه میگیریم که دنباله حالت خاصی از تورهاست .

۷-یک تور x اندیس α( روی مجموعه سودار E) در فضای توپولوژیک X همگراست هرگاه مجموعه بازی مانند U و βㅌE موجود باشد به طوری که x اندیس α متعلق به U باشد(برای همه β≤α)

۸-فرض کنیم A زیر مجموعه از فضای توپولوژیک X باشد. a متعلق به بستار A است اگر وتنها اگر توری از نقاط A موجود باشد که به a همگرا باشد.

۹-بنابراین بستار مجموعه A شامل تمام حدهایی از تورها در A است.

۱۰-مجموعه A در فضای توپولوژیک X بسته است اگر و تنها اگر هیچ توری در A همگرا به یک نقطه در متمم A نباشد.

۱۱-اگر X یک فضای توپولوژیک شمارای نوع اول و نوع دوم باشد ۸ و ۹ و ۱۰ به جای تور از دنباله استفاده می کنیم.

۱۲-فضا هاسدورف است اگر وتنها اگر هر تور حداکثر به یه نقطه همگرا باشد.

۱۳-در یک فضای T وان، یک تور ممکن است به بیش از یک نقطه همگرا باشد.

۱۴-یک تابع F بین دو فضای توپولوژیک X, Y پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر تور S که به نقطه x همگراه باشد یعنی
S→x
آنگاه
FoS→F (x)

۱۵-یک فضای توپولوژیک فشرده است اگر وتنها اگر هر تور در این فضا زیر تور همگرا داشته باشد.

۱۶-هر تور در یک فضای فشرده زیر توری همگرا دارد.

۱۷-اگر تور صعودی باشد همگرایی زیر تور، همگرایی کل تور را نتیجه میدهد.

نکته ای از آنالیز

اگر x یک فضای نرمدار باشد که یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد میتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است. (🤔🤔)

پاسخ:
فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر است که x یکریخت طولپا با **x میباشد، ولی غیر بازتابی است.

نتیجه:

فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural embedding ) باشد.

نکاتی راجع به طیف

1_مقدار منظم :فرض کنیم:
T: Domain(T)→X
عملگری خطی باشد ،اسکالر مختلط k را مقدار منظم T نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کند:
الف :وارون T-kl موجود باشد ( I عملگر همانی است)
ب: وارون T-kl کراندار باشد.
ج:بستار
Domain((T-kl)-¹)
تمام X گردد.

2-فرض کنیم T یک عملگر خطی روی فضای نرمدار X باشد طیف T را به سه مجموعه مجزای زیر تقسیم میکنیم:
اا:طیف نقطه ای یا گسسته :
طیف T را نقطه ای گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق نکند .
ااا: طیف پیوسته :
طیف T را پیوسته گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف و ج صدق کند ولی در شرط ب صدق نکند .
اااا:طیف مانده ای :
طیف T را مانده ایگوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق کند و در شرط ج صدق نکند.

۳-در حالت متناهی طیف مانده ای و طیف پیوسته برابر صفرند یعنی طیف T برابر است با مقادیر ویژه عملگر T.

۴-در حالتی که بعد X نامتناهی باشد طیف نقطه ای زیر مجموعه ای از طیف T است.

۵-عکس ۴ الزاما برقرار نیست.

۶-اگر T عملگر خطی و کراندار روی فضای باناخ مختلط X باشد آنگاه طیف T، فشرده است.

نکته ای از آنالیز

هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند.

نکاتی از آنالیز

۱ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند، عملگر T: X→Y را یکریختی(isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.

۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا (isometirc isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد.

۳-در نکته ۲، بیان یک به یک بودن نیازی نیست. (🤔)

۴--فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی(homeomorphism)گوییم هرگاه T خطی، پوشا، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد.

۵-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکانی (unitary) گوییم هرگاه T یکریختی طولپا و حافظ ضرب داخلی باشد.

۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد.

book_chapter_7.pdf

نکاتی راجع به ماتریس های متشابه

۱-دو ماتریس n در n روی میدان F را متشابه گوییم هرگاه ماتریس های یک عملگر خطی روی فضای برداری Fⁿ باشند.

۲- تشابه نکته ۱ رابطه هم ارزی روی همه ماتریس های n در n بر روی میدان F میباشد.

۳-اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند ترانهاده A و ترانهاده B نیز متشابه اند.

۴- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند وارون A و وارون B نیز متشابه اند.

۵- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند برای هر n طبیعی Aⁿ, Bⁿنیز متشابه اند.

۶-تنها ماتریس متشابه با ماتریس همانی، خود ماتریس همانی است.

۷-تنها ماتریس متشابه با ماتریس صفر،خود ماتریس صفر است.

۸-اگر A ماتریس مربعی باشد که تنها با خودش متشابه است در این صورت A یک ماتریس اسکالر است.

۹-ماتریس های متشابه دارای مقادیر ویژه یکسانند.

۱۰- ماتریس های متشابه دارای trace یکسانند.

۱۱- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مشخصه یکسانند .

۱۲- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مینیمال یکسانند.

۱۳- ماتریس های متشابه دارای دترمینان یکسانند.

اعضای توپولوژی متری

فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / d(x,y)< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r>0}.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند.
همچنین توپولوژی که این پایه تولید میکند توپولوژی متری است.