نکاتی در مورد عملگر (=تابع =نگاشت=تبدیل) در فضاهای نرمدار
(Operator=Function=Map=Transformation)
۱ -یک عملگر T بین دو فضای نرمدار X,Y کراندار نامیده میشود هر گاه یک ثابت M موجود باشد که برای هر x از X داشته باشیم
llTxll ≤ M llxll
۲-کوچکترین مقدار M در نکته ۱ را نرم T نامیم و با lll T lll نشان داده و به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }
۳-از نکته ۲ داریم:
llTxll ≤ lllTlll llxll
۴-نرم عملگر خطی T را به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll
۵ -فرض کنیم (B(H متشکل از عملگرهای خطی کراندار روی فضای هیلبرت H باشد در این صورت:
الف: (B(H یک فضای برداری است.
ب: (B(H یک جبر است.
ج: (B(H یک فضای نرمدار است.
د: (B(H یک فضای باناخ است.
ه: (B(H یک جبر باناخ است.
م: (B(H یک *c جبر است.
ن: (B(H یک جبر فون نویمان است.
۶- فرض کنیم T: X→Y یک عملگر خطی و X فضای نرمدار متناهی البعد و Y یک فضای نرمدار باشد در این صورت نتایج زیر را داریم:
الف: T کراندار نقطه به نقطه است.
ب : T پیوسته نقطه به نقطه است.
ج : T کراندار یکواخت است.
د : T پیوسته یکنواخت است.
ه : T تابع لیپشیتس است.
۷ -اگر در نکته ۶ بعد X نامتناهی باشد همه موارد نکته ۶ معادل میگردند.
۸-وارون یک عملگر خطی، خود نیز خطی است.
۹ -هیچ فضای باناخی را نمیتوان به صورت اجتماع شمارا از مجموعه های هیچ جا چگال نوشت.
۱۰ -عملگر T:X→Y یکریختی توپولوژیکی نامیم هرگاه T تناظر یک به یک و پیوسته باشد همچنین وارون T نیز باید پیوسته باشد.
۱۱-اگر T نگاشت حافظ نرم باشد آنگاه داریم:
lllTlll=1
۱۲-برای هر نگاشت خطی حافظ نرم موارد زیر را داریم:
الف: یک به یک بودن
ب: لیپشیتس بودن
پ: کرانداری نقطه به نقطه
ت: کرانداری یکنواخت
ث: پیوستگی یکنواخت
ف: پیوستگی نقطه به نقطه
ه: وارن پذیر بودن به شرط آنکه X,Y هم بعد باشند.
۱۳-دو فضای ضرب داخلی را معادل یکانی گوییم هرگاه یک یکریختی، پوشای حافظ ضرب داخلی موجود باشد.
۱۴ -هر نگاشت یکانی U حافط نرم است و lllUlll=1
۱۵ -فرض کنیم U: x→Y یک نگاشت پوشا بین دو فضای ضرب داخلی باشد در این صورت یکانی بودن U معادل است با اینکه U یکریختی طولپا باشد.
۱۶ -در نکته ۱۵ پوشا بودن را نمینوان حذف کرد.
۱۷ -هر فضای برداری حقیقی n بعدی یکریخت است با Rⁿ.
۱۸ -هر فضای n بعدی مختلط معادل یکانی با Cⁿ است.
۱۹ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر معادل یکانی با l² یا Cⁿ است.
۲۰ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر، یکریخت طولپا با l² است.
۲۱ -از نکته ۲۰ داریم که l² یکریخت طولپا با L² است.
۲۲ -فضاهای توابع زوج و فرد در
L² [- ㅠ,ㅠ]
یکریخت طولپایند.
(Operator=Function=Map=Transformation)
۱ -یک عملگر T بین دو فضای نرمدار X,Y کراندار نامیده میشود هر گاه یک ثابت M موجود باشد که برای هر x از X داشته باشیم
llTxll ≤ M llxll
۲-کوچکترین مقدار M در نکته ۱ را نرم T نامیم و با lll T lll نشان داده و به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }
۳-از نکته ۲ داریم:
llTxll ≤ lllTlll llxll
۴-نرم عملگر خطی T را به صورت زیر تعریف میکنیم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll
۵ -فرض کنیم (B(H متشکل از عملگرهای خطی کراندار روی فضای هیلبرت H باشد در این صورت:
الف: (B(H یک فضای برداری است.
ب: (B(H یک جبر است.
ج: (B(H یک فضای نرمدار است.
د: (B(H یک فضای باناخ است.
ه: (B(H یک جبر باناخ است.
م: (B(H یک *c جبر است.
ن: (B(H یک جبر فون نویمان است.
۶- فرض کنیم T: X→Y یک عملگر خطی و X فضای نرمدار متناهی البعد و Y یک فضای نرمدار باشد در این صورت نتایج زیر را داریم:
الف: T کراندار نقطه به نقطه است.
ب : T پیوسته نقطه به نقطه است.
ج : T کراندار یکواخت است.
د : T پیوسته یکنواخت است.
ه : T تابع لیپشیتس است.
۷ -اگر در نکته ۶ بعد X نامتناهی باشد همه موارد نکته ۶ معادل میگردند.
۸-وارون یک عملگر خطی، خود نیز خطی است.
۹ -هیچ فضای باناخی را نمیتوان به صورت اجتماع شمارا از مجموعه های هیچ جا چگال نوشت.
۱۰ -عملگر T:X→Y یکریختی توپولوژیکی نامیم هرگاه T تناظر یک به یک و پیوسته باشد همچنین وارون T نیز باید پیوسته باشد.
۱۱-اگر T نگاشت حافظ نرم باشد آنگاه داریم:
lllTlll=1
۱۲-برای هر نگاشت خطی حافظ نرم موارد زیر را داریم:
الف: یک به یک بودن
ب: لیپشیتس بودن
پ: کرانداری نقطه به نقطه
ت: کرانداری یکنواخت
ث: پیوستگی یکنواخت
ف: پیوستگی نقطه به نقطه
ه: وارن پذیر بودن به شرط آنکه X,Y هم بعد باشند.
۱۳-دو فضای ضرب داخلی را معادل یکانی گوییم هرگاه یک یکریختی، پوشای حافظ ضرب داخلی موجود باشد.
۱۴ -هر نگاشت یکانی U حافط نرم است و lllUlll=1
۱۵ -فرض کنیم U: x→Y یک نگاشت پوشا بین دو فضای ضرب داخلی باشد در این صورت یکانی بودن U معادل است با اینکه U یکریختی طولپا باشد.
۱۶ -در نکته ۱۵ پوشا بودن را نمینوان حذف کرد.
۱۷ -هر فضای برداری حقیقی n بعدی یکریخت است با Rⁿ.
۱۸ -هر فضای n بعدی مختلط معادل یکانی با Cⁿ است.
۱۹ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر معادل یکانی با l² یا Cⁿ است.
۲۰ -هر فضای هیلبرت تفکیک پذیر، یکریخت طولپا با l² است.
۲۱ -از نکته ۲۰ داریم که l² یکریخت طولپا با L² است.
۲۲ -فضاهای توابع زوج و فرد در
L² [- ㅠ,ㅠ]
یکریخت طولپایند.
تور تعمیمی از دنباله است.
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.
یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند
نکاتی راجع به تورها (Nets )
۱-اگر به مجموعه X که با رابطه > مجهز شده که دارای ویژگی انعکاسی، و ترایایی می باشد شرط زیر را اضافه کنید مجموعه سودار به دست میآید :
به ازای هر جفت از عضوهای a, b در X عضوی مانند c در X باشد که a<c و b<c.
۲- مجموعه های N و Z و R با رابطه کوچکتر مساوی یک مجموعه سودار هستند.
۳-یک تور در یک فضای توپولوژیک(X, T) یک نگاشت از یک مجموعه سودار E به توی X میباشد و با χ اندیس α نشان میدهیم که αㅌE.
۴-در نکته ۳ اگر مجموعه سودار را با N جایگزین کنیم دنباله به دست میآید.
۵-در یک فضای توپولوژیک ممکن است دنباله برای اثبات همگرایی کارایی نداشته باشد در این صورت باید از تور استفاده کنیم
۶-از ۴ نتیجه میگیریم که دنباله حالت خاصی از تورهاست .
۷-یک تور x اندیس α( روی مجموعه سودار E) در فضای توپولوژیک X همگراست هرگاه مجموعه بازی مانند U و βㅌE موجود باشد به طوری که x اندیس α متعلق به U باشد(برای همه β≤α)
۸-فرض کنیم A زیر مجموعه از فضای توپولوژیک X باشد. a متعلق به بستار A است اگر وتنها اگر توری از نقاط A موجود باشد که به a همگرا باشد.
۹-بنابراین بستار مجموعه A شامل تمام حدهایی از تورها در A است.
۱۰-مجموعه A در فضای توپولوژیک X بسته است اگر و تنها اگر هیچ توری در A همگرا به یک نقطه در متمم A نباشد.
۱۱-اگر X یک فضای توپولوژیک شمارای نوع اول و نوع دوم باشد ۸ و ۹ و ۱۰ به جای تور از دنباله استفاده می کنیم.
۱۲-فضا هاسدورف است اگر وتنها اگر هر تور حداکثر به یه نقطه همگرا باشد.
۱۳-در یک فضای T وان، یک تور ممکن است به بیش از یک نقطه همگرا باشد.
۱۴-یک تابع F بین دو فضای توپولوژیک X, Y پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر تور S که به نقطه x همگراه باشد یعنی
S→x
آنگاه
FoS→F (x)
۱۵-یک فضای توپولوژیک فشرده است اگر وتنها اگر هر تور در این فضا زیر تور همگرا داشته باشد.
۱۶-هر تور در یک فضای فشرده زیر توری همگرا دارد.
۱۷-اگر تور صعودی باشد همگرایی زیر تور، همگرایی کل تور را نتیجه میدهد.
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.
یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند
نکاتی راجع به تورها (Nets )
۱-اگر به مجموعه X که با رابطه > مجهز شده که دارای ویژگی انعکاسی، و ترایایی می باشد شرط زیر را اضافه کنید مجموعه سودار به دست میآید :
به ازای هر جفت از عضوهای a, b در X عضوی مانند c در X باشد که a<c و b<c.
۲- مجموعه های N و Z و R با رابطه کوچکتر مساوی یک مجموعه سودار هستند.
۳-یک تور در یک فضای توپولوژیک(X, T) یک نگاشت از یک مجموعه سودار E به توی X میباشد و با χ اندیس α نشان میدهیم که αㅌE.
۴-در نکته ۳ اگر مجموعه سودار را با N جایگزین کنیم دنباله به دست میآید.
۵-در یک فضای توپولوژیک ممکن است دنباله برای اثبات همگرایی کارایی نداشته باشد در این صورت باید از تور استفاده کنیم
۶-از ۴ نتیجه میگیریم که دنباله حالت خاصی از تورهاست .
۷-یک تور x اندیس α( روی مجموعه سودار E) در فضای توپولوژیک X همگراست هرگاه مجموعه بازی مانند U و βㅌE موجود باشد به طوری که x اندیس α متعلق به U باشد(برای همه β≤α)
۸-فرض کنیم A زیر مجموعه از فضای توپولوژیک X باشد. a متعلق به بستار A است اگر وتنها اگر توری از نقاط A موجود باشد که به a همگرا باشد.
۹-بنابراین بستار مجموعه A شامل تمام حدهایی از تورها در A است.
۱۰-مجموعه A در فضای توپولوژیک X بسته است اگر و تنها اگر هیچ توری در A همگرا به یک نقطه در متمم A نباشد.
۱۱-اگر X یک فضای توپولوژیک شمارای نوع اول و نوع دوم باشد ۸ و ۹ و ۱۰ به جای تور از دنباله استفاده می کنیم.
۱۲-فضا هاسدورف است اگر وتنها اگر هر تور حداکثر به یه نقطه همگرا باشد.
۱۳-در یک فضای T وان، یک تور ممکن است به بیش از یک نقطه همگرا باشد.
۱۴-یک تابع F بین دو فضای توپولوژیک X, Y پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر تور S که به نقطه x همگراه باشد یعنی
S→x
آنگاه
FoS→F (x)
۱۵-یک فضای توپولوژیک فشرده است اگر وتنها اگر هر تور در این فضا زیر تور همگرا داشته باشد.
۱۶-هر تور در یک فضای فشرده زیر توری همگرا دارد.
۱۷-اگر تور صعودی باشد همگرایی زیر تور، همگرایی کل تور را نتیجه میدهد.
نکته ای از آنالیز
اگر x یک فضای نرمدار باشد که یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد میتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است. (🤔🤔)
پاسخ:
فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر است که x یکریخت طولپا با **x میباشد، ولی غیر بازتابی است.
نتیجه:
فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural embedding ) باشد.
اگر x یک فضای نرمدار باشد که یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد میتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است. (🤔🤔)
پاسخ:
فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر است که x یکریخت طولپا با **x میباشد، ولی غیر بازتابی است.
نتیجه:
فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural embedding ) باشد.
نکاتی راجع به طیف
1_مقدار منظم :فرض کنیم:
T: Domain(T)→X
عملگری خطی باشد ،اسکالر مختلط k را مقدار منظم T نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کند:
الف :وارون T-kl موجود باشد ( I عملگر همانی است)
ب: وارون T-kl کراندار باشد.
ج:بستار
Domain((T-kl)-¹)
تمام X گردد.
2-فرض کنیم T یک عملگر خطی روی فضای نرمدار X باشد طیف T را به سه مجموعه مجزای زیر تقسیم میکنیم:
اا:طیف نقطه ای یا گسسته :
طیف T را نقطه ای گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق نکند .
ااا: طیف پیوسته :
طیف T را پیوسته گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف و ج صدق کند ولی در شرط ب صدق نکند .
اااا:طیف مانده ای :
طیف T را مانده ایگوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق کند و در شرط ج صدق نکند.
۳-در حالت متناهی طیف مانده ای و طیف پیوسته برابر صفرند یعنی طیف T برابر است با مقادیر ویژه عملگر T.
۴-در حالتی که بعد X نامتناهی باشد طیف نقطه ای زیر مجموعه ای از طیف T است.
۵-عکس ۴ الزاما برقرار نیست.
۶-اگر T عملگر خطی و کراندار روی فضای باناخ مختلط X باشد آنگاه طیف T، فشرده است.
1_مقدار منظم :فرض کنیم:
T: Domain(T)→X
عملگری خطی باشد ،اسکالر مختلط k را مقدار منظم T نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کند:
الف :وارون T-kl موجود باشد ( I عملگر همانی است)
ب: وارون T-kl کراندار باشد.
ج:بستار
Domain((T-kl)-¹)
تمام X گردد.
2-فرض کنیم T یک عملگر خطی روی فضای نرمدار X باشد طیف T را به سه مجموعه مجزای زیر تقسیم میکنیم:
اا:طیف نقطه ای یا گسسته :
طیف T را نقطه ای گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق نکند .
ااا: طیف پیوسته :
طیف T را پیوسته گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف و ج صدق کند ولی در شرط ب صدق نکند .
اااا:طیف مانده ای :
طیف T را مانده ایگوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق کند و در شرط ج صدق نکند.
۳-در حالت متناهی طیف مانده ای و طیف پیوسته برابر صفرند یعنی طیف T برابر است با مقادیر ویژه عملگر T.
۴-در حالتی که بعد X نامتناهی باشد طیف نقطه ای زیر مجموعه ای از طیف T است.
۵-عکس ۴ الزاما برقرار نیست.
۶-اگر T عملگر خطی و کراندار روی فضای باناخ مختلط X باشد آنگاه طیف T، فشرده است.
نکته ای از آنالیز
هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند.
هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند.
نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند، عملگر T: X→Y را یکریختی(isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا (isometirc isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد.
۳-در نکته ۲، بیان یک به یک بودن نیازی نیست. (🤔)
۴--فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی(homeomorphism)گوییم هرگاه T خطی، پوشا، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد.
۵-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکانی (unitary) گوییم هرگاه T یکریختی طولپا و حافظ ضرب داخلی باشد.
۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد.
۱ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند، عملگر T: X→Y را یکریختی(isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا (isometirc isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد.
۳-در نکته ۲، بیان یک به یک بودن نیازی نیست. (🤔)
۴--فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی(homeomorphism)گوییم هرگاه T خطی، پوشا، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد.
۵-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکانی (unitary) گوییم هرگاه T یکریختی طولپا و حافظ ضرب داخلی باشد.
۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد.
نکاتی راجع به ماتریس های متشابه
۱-دو ماتریس n در n روی میدان F را متشابه گوییم هرگاه ماتریس های یک عملگر خطی روی فضای برداری Fⁿ باشند.
۲- تشابه نکته ۱ رابطه هم ارزی روی همه ماتریس های n در n بر روی میدان F میباشد.
۳-اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند ترانهاده A و ترانهاده B نیز متشابه اند.
۴- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند وارون A و وارون B نیز متشابه اند.
۵- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند برای هر n طبیعی Aⁿ, Bⁿنیز متشابه اند.
۶-تنها ماتریس متشابه با ماتریس همانی، خود ماتریس همانی است.
۷-تنها ماتریس متشابه با ماتریس صفر،خود ماتریس صفر است.
۸-اگر A ماتریس مربعی باشد که تنها با خودش متشابه است در این صورت A یک ماتریس اسکالر است.
۹-ماتریس های متشابه دارای مقادیر ویژه یکسانند.
۱۰- ماتریس های متشابه دارای trace یکسانند.
۱۱- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مشخصه یکسانند .
۱۲- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مینیمال یکسانند.
۱۳- ماتریس های متشابه دارای دترمینان یکسانند.
۱-دو ماتریس n در n روی میدان F را متشابه گوییم هرگاه ماتریس های یک عملگر خطی روی فضای برداری Fⁿ باشند.
۲- تشابه نکته ۱ رابطه هم ارزی روی همه ماتریس های n در n بر روی میدان F میباشد.
۳-اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند ترانهاده A و ترانهاده B نیز متشابه اند.
۴- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند وارون A و وارون B نیز متشابه اند.
۵- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند برای هر n طبیعی Aⁿ, Bⁿنیز متشابه اند.
۶-تنها ماتریس متشابه با ماتریس همانی، خود ماتریس همانی است.
۷-تنها ماتریس متشابه با ماتریس صفر،خود ماتریس صفر است.
۸-اگر A ماتریس مربعی باشد که تنها با خودش متشابه است در این صورت A یک ماتریس اسکالر است.
۹-ماتریس های متشابه دارای مقادیر ویژه یکسانند.
۱۰- ماتریس های متشابه دارای trace یکسانند.
۱۱- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مشخصه یکسانند .
۱۲- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مینیمال یکسانند.
۱۳- ماتریس های متشابه دارای دترمینان یکسانند.
اعضای توپولوژی متری
فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / d(x,y)< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r>0}.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند.
همچنین توپولوژی که این پایه تولید میکند توپولوژی متری است.
فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / d(x,y)< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r>0}.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند.
همچنین توپولوژی که این پایه تولید میکند توپولوژی متری است.
نکاتی از جبر خطی
۱-فرض کنیم T عملگر خطی روی فضای متناهی البعد V باشد در این صورت گزاره های زیر معادلند :
الف: عملگر T وارون پذیر است
ب: عملگر T نامنفرد است
پ: عملگر T یک به یک است
ت: عملگر T برو است
ث: تمام مقادیر ویژه T مخالف صفر است .
۲-نکته فوق برای فضاهای نامتناهی البعد لزومأ بررار نمیباشد .
۳- تبدیل خطی T بردار صفر دامنه را به بردار صفر برد تصویر میکند.
۴-اگر T عملگری خطی باشد که T²=0 آنگاه الزامأ T=0 نمیباشد.
۵-اگر T, S دو عملگر خطی باشند که TS=0 آنگاه الزامأ ST=0 نمیباشد.
۶-در نکته ۳ و ۴ منظور از صفر، بردار صفر میباشد.
۷-فرض کنیم T عملگری خطی از فضای متناهی البعد U به فضای متناهی البعد V باشد در این صورت موارد زیر را داریم:
الف: اگر T پوشا باشد dim V کوچکتر مساوی dim U میگردد.
ب: اگر T یک به یک باشد dim U کوچکتر مساوی dim V میگردد.
پ: یک به یک بودن T معادل است با ( d im U = dim T(U
ث: پوشا بودن T معادل است با dim T(U) =dim V
۸-اگر عملگر خطی T پوچ توان باشد آنگاه عملگر I±T وارون پذیر است.
۹-عملگر مشتق یک عملگر پوچ توان، پوشا و غیر به یک میباشد.
۱۰ -عملگر انتگرال یک عملگر یک به یک غیر پوشاست.
۱۱-نکته های ۹ و ۱۰ نشان میدهد که نکته فوق الزامأ برای فضاهای نامتناهی البعد برقرار نمیباشد.
۱۲ -اگر A,B دو ماتریس متشابه باشند آنگاه ماتریس های زیر نیز متشابه میباشند:
الف -A وارون و B وارون
ب: ترانهاده A و ترانهاده B
پ: Aⁿ و Bⁿ
۱۲-اگر A ماتریس قطری شدنی باشد آنگاه ماتریس های زیر نیز قطری شدنی میباشند:
الف: adj A
ب: وارون A
پ: ترانهاده A
ت: Aⁿ
۱۳-رتبه هر ماتریس قطری برابر است با تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی
۱۴- دتر مینان یک ماتریس پادمتقارن برابر است با حاصل ضرب مقادیر ویژه آن
۱-فرض کنیم T عملگر خطی روی فضای متناهی البعد V باشد در این صورت گزاره های زیر معادلند :
الف: عملگر T وارون پذیر است
ب: عملگر T نامنفرد است
پ: عملگر T یک به یک است
ت: عملگر T برو است
ث: تمام مقادیر ویژه T مخالف صفر است .
۲-نکته فوق برای فضاهای نامتناهی البعد لزومأ بررار نمیباشد .
۳- تبدیل خطی T بردار صفر دامنه را به بردار صفر برد تصویر میکند.
۴-اگر T عملگری خطی باشد که T²=0 آنگاه الزامأ T=0 نمیباشد.
۵-اگر T, S دو عملگر خطی باشند که TS=0 آنگاه الزامأ ST=0 نمیباشد.
۶-در نکته ۳ و ۴ منظور از صفر، بردار صفر میباشد.
۷-فرض کنیم T عملگری خطی از فضای متناهی البعد U به فضای متناهی البعد V باشد در این صورت موارد زیر را داریم:
الف: اگر T پوشا باشد dim V کوچکتر مساوی dim U میگردد.
ب: اگر T یک به یک باشد dim U کوچکتر مساوی dim V میگردد.
پ: یک به یک بودن T معادل است با ( d im U = dim T(U
ث: پوشا بودن T معادل است با dim T(U) =dim V
۸-اگر عملگر خطی T پوچ توان باشد آنگاه عملگر I±T وارون پذیر است.
۹-عملگر مشتق یک عملگر پوچ توان، پوشا و غیر به یک میباشد.
۱۰ -عملگر انتگرال یک عملگر یک به یک غیر پوشاست.
۱۱-نکته های ۹ و ۱۰ نشان میدهد که نکته فوق الزامأ برای فضاهای نامتناهی البعد برقرار نمیباشد.
۱۲ -اگر A,B دو ماتریس متشابه باشند آنگاه ماتریس های زیر نیز متشابه میباشند:
الف -A وارون و B وارون
ب: ترانهاده A و ترانهاده B
پ: Aⁿ و Bⁿ
۱۲-اگر A ماتریس قطری شدنی باشد آنگاه ماتریس های زیر نیز قطری شدنی میباشند:
الف: adj A
ب: وارون A
پ: ترانهاده A
ت: Aⁿ
۱۳-رتبه هر ماتریس قطری برابر است با تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی
۱۴- دتر مینان یک ماتریس پادمتقارن برابر است با حاصل ضرب مقادیر ویژه آن
نکته ای از آنالیز
جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند که به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
جبرهای فون نویمان را میتوان به صورت جبری محض به صورت زیر میتوان تعریف کرد👇
فرض کنید H یک فضای هیلبرت و F زیرمجوعه ای از (H)B باشد.مجموعه 'F را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F'={T∈B(H): TS=ST ㅂS∈F}
در این صورت 'F را جابه جاگر F نامیم.
در این صورت یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان نامیم هرگاه با دوگان دوم خود برابر باشد، یعنی
F=F"
جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند که به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
جبرهای فون نویمان را میتوان به صورت جبری محض به صورت زیر میتوان تعریف کرد👇
فرض کنید H یک فضای هیلبرت و F زیرمجوعه ای از (H)B باشد.مجموعه 'F را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F'={T∈B(H): TS=ST ㅂS∈F}
در این صورت 'F را جابه جاگر F نامیم.
در این صورت یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان نامیم هرگاه با دوگان دوم خود برابر باشد، یعنی
F=F"
درسته آرمین جان دقیقا برابر میشه با انتگرال معمولی.😳
برا مثال تابع ضابطه ای زیر را در بازه [۰،۱] نظر بگیر
0 xㅌQ
√x xㅌQ'
این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست ولی انتگرال لبگش دقیقا برابر انتگرال معمولی x√ در بازه مذکور است یعنی انتگرال لبگش میشه ۲/۳🤔
برا مثال تابع ضابطه ای زیر را در بازه [۰،۱] نظر بگیر
0 xㅌQ
√x xㅌQ'
این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست ولی انتگرال لبگش دقیقا برابر انتگرال معمولی x√ در بازه مذکور است یعنی انتگرال لبگش میشه ۲/۳🤔