🔺️ سری قبل درمورد فراکتال‌ها و مثلث سرپینسکی صحبت کردیم و دیدیم که یکی از روش‌های جالبی‌ که مارو به مثلث سرپینسکی می‌رسونه استفاده از مثلث خیام–پاسکال هست

📝 مثلث خیام - پاسکال توسط دانشمندان مختلفی از هند و ایران و چین و ... و حتی بعدها در اروپا بررسی شده، این مثلث در زبان‌های گوناگون نام‌های مختلفی داره، در زبان انگلیسی مثلث پاسکال، ایتالیایی مثلث تارتالیا و در زبان فارسی ‌هم مثلث خیام نام داره

👀 مثلث خیام به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله‌ای گفته می‌شه و از هر جهت که بهش نگاه کنین شگفت‌زده می‌شین

🌀 هر قطر و سطر این مثلث روابط جالبی رو به نمایش می‌ذاره، مثلا:

• اعداد روی قطر دوم اعداد طبیعی رو تشکیل میدن (...1,2,3,4,5,6)

• اعداد روی قطر سوم اعداد مثلثی رو تشکیل میدن (...1,3,10,15)

• اعداد روی قطر چهارم اعداد تتراهدرال (Tetrahedral) هرم مثلث القاعده رو می سازن (...,1,4,10,20)

• مجموع اعداد قطری دنباله معروف فیبوناچی را می سازه و ...

🧠 برای دیدن بقیه ویژگی‌های‌ این مثلث شگفت‌انگیز وارد لینک زیر بشین💢

🎬 مشاهده ویدئو


📎منبع: مجله‌ی برهان‌دانش‌ و تفکر ریاضی

🆔 https://t.me/MathPlore

#دانستنی
#دانستنی‌ها
#دانستنی_ریاضی
#ریاضیات_پیشرفته
#مثلث_پاسکال
#مثلث_خیام
#اعداد_فیبوناچی
#اعداد_مثلثی

💡 پاسخ معمای‌ امروز 👇

کیسه‌ها را از 1 تا 10 شماره گذاری میکنیم از داخل کیسه شماره 1، یک سکه بیرون می آوریم، از کیسه شماره 2، دو سکه بیرون می آوریم و... از کیسه شماره 10 هم ده سکه بیرون می آوریم.

تعداد کل سکه ها برابر خواهد بود با :

1+2+3+...+10 = 550

اگر همه سکه ها سالم بودند، وزن این مجموعه 550 گرم میشد

حال اگر وزن این 55 سکه 549 گرم شود، معلوم میشود که حاوی یک سکه تقلبی است، یعنی کیسه شماره 1 شامل سکه های تقلبی است

اگر وزن این 55 سکه ، 548 گرم شود، معلوم میشود که کیسه شماره 2 حاوی سکه های تقلبی است و ..‌.



🆔 https://t.me/MathPlore

#چالش_ریاضی
#معما
#متوسطه_دوم
#متوسطه_اول

امروز اومدیم با یه چالش هندسی دیگه😎

آیا میتونید مساحت بخش سبزرنگ رو بدست بیارید؟🤔

🆔 https://t.me/MathPlore

#هندسه
#معما
#ریاضیات_و_خلاقیت
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم

💢 خب امروز می‌خوایم به کمک مثلثی که درموردش صحبت کردیم یه سوال حل کنیم 🤔

یکی از مواردی که مورد توجه ریاضی‌دانان بوده استفاده از مثلث خیام در محاسبه مسائلی هست که یه نمونه از اون در ادامه اومده ↙️

👨‍👩‍👧‍👦 در یک خانواده ۵ فرزندی، پیشامد آن که خانواده از ۳ دختر و ۲ پسر تشکیل شده باشد چقدر است؟

🌀 اگر دختر ها رو y و پسر ها رو x در نظر بگیریم :
و حالا بسط دوجمله‌ای از (x + y) با توانی از مجموع تعداد فرزند‌ها (5) ایجاد کنیم

نسب ضریب جمله متناسب با تعداد دختران و پسران به مجموع ضرایب میشه پیشامد خواسته شده

برای اینکه بهتر متوجه بشین راه‌حل زیر رو دنبال کنین

👧 سه تا دختر داریم –> y³
👦 دو تا پسر داریم –> x²

پس جمله مورد نظر در بسط دوجمله‌ای ⁵(x+y) میشه y³x² و اگر این بسط رو کامل بنویسیم ضریب جمله مورد نظر پیدا میشه

(x + y)⁵ = 1y⁵ + 5y⁴x + 10y³x² + 10y²x³ + 5yx⁴ + 1x⁵

جمع ضرایب :

n(S)=1+5+10+10+5+1=32

ضریب جمله y³x² :

n(A)=10

در نهایت نسبت این دو مورد میشه پاسخ سوال

p(A)=10/32

📎منبع: مجله‌ی برهان‌دانش‌ و تفکر ریاضی

🆔 https://t.me/MathPlore

#دانستنی
#دانستنی‌ها
#دانستنی_ریاضی
#ریاضیات_پیشرفته
#متوسطه_دوم
#متوسطه_اول
#مثلث_پاسکال
#مثلث_خیام
#احتمال
#پیشامد

🧩 پاسخ معمای امروزمون از طریق لینک زیر:👇🏻

مشاهده ویدیو

🆔 https://t.me/MathPlore

#هندسه
#پاسخ_معما
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم

⚙️ موافقین امروز رو با یه سوال باحال فیزیک شروع کنیم🤔

🚗 اونم از مبحث حرکت نسبی...

🚌 اتوبوس واحد خیابان فردوسی با سرعت 360 سانتیمتر بر ثانیه به میدان فردوسی نزدیک می‌شود.

👨‍🦱 یکی از مسافران اتوبوس با سرعت 90 سانتیمتر بر ثانیه نسبت به صندلی‌ها و اشیای داخل اتوبوس به طرف جلو حرکت می‌کند.

🍔 این شخص ساندویچی در دست دارد که با سرعت 5 سانتیمتر بر ثانیه آن را فرو می‌دهد.

🐜 مورچه‌ای روی ساندویچ از طرف نزدیک به دهان با سرعت 2.5 سانتیمتر بر ثانیه به طرف انتهای دیگر ساندویچ در حرکت است.


🖇 برگرفته شده از کتاب:
" Thinking physics is gedanken physics "

🆔 https://t.me/MathPlore

#متوسطه_دوم
#فیزیک

✅ پاسخ سوال امروز:

می‌توان مسئله را به شکل زیر تصور کرد:

• اتوبوس واحد با سرعت 360 سانتی‌متر بر ثانیه به سمت میدان فردوسی در حرکت است.

• مسافر نیز در داخل اتوبوس با سرعت 90 سانتی‌متر بر ثانیه نسبت به اتوبوس به طرف جلو حرکت می‌کند. چون هر دو در یک جهت هستند، سرعتشان با هم جمع می‌شود:

360 + 90 = 450 سانتی‌متر بر ثانیه

• حالا ساندویچ با سرعت 5 سانتی‌متر بر ثانیه در جهت مخالف (به سمت دهان) حرکت می‌کند، پس باید این سرعت را از مجموع کم کنیم:

5 - 450 = 445 سانتی‌متر بر ثانیه

• مورچه هم روی ساندویچ با سرعت 2.5 سانتی‌متر بر ثانیه به سمت جلو (به طرف میدان فردوسی) حرکت می‌کند، بنابراین این سرعت را باید به مقدار به‌دست‌آمده اضافه کنیم:

445 + 2.5 = 447.5 سانتی‌متر بر ثانیه

🌀 در نتیجه:
سرعت اتوبوس = 360 cm/s
سرعت مسافر = 450 cm/s
سرعت ساندویچ = 445 cm/s
سرعت مورچه = 447.5 cm/s

✨ نکته: همین روش را می‌توان برای جمع کردن سرعت‌هایی که در یک راستا نیستند نیز استفاده کرد.
اگر مثلاً مسافر با زاویه‌ای نسبت به اتوبوس حرکت می‌کرد، شکل مسئله فرق می‌کرد و باید با روش برداری (یعنی با استفاده از مؤلفه‌ها) سرعت‌ها را با هم جمع می‌کردیم.

🆔 https://t.me/MathPlore
#متوسطه_دوم
#فیزیک

😎امروز میخوایم باهم دوتا از فرمول هایی رو بررسی کنیم که از دبستان تا حالا خاطرات زیادی باهاشون داریم ولی قبل از اون:

💥چالش: آیا شما میدونید که این فرمول ها رو چجوری میشه از دید هندسی اثباتشون کرد؟

🧮 فرمول‌ها:

1️⃣ مجموع اعداد طبیعی از ۱ تا n: 

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2

یعنی وقتی اعداد ۱ تا n رو جمع کنیم، حاصل برابره با نصف حاصل‌ضرب n در (n + 1).

2️⃣ مجموع مکعب اعداد طبیعی از ۱ تا n:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n(n + 1) / 2)²

به عبارتی، مجموع مکعب‌ها مساویه با مربع مجموع اعداد طبیعی.

🆔 https://t.me/MathPlore

#معما
#ریاضیات_و_خلاقیت
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم

🌟هیپاتیا یکی از درخشان‌ترین و تأثیرگذارترین چهره‌های تاریخ باستان است. او نماد خرد، دانش و تراژدی به شمار می‌رود.

در ادامه، معرفی کاملی از او ارائه می‌شود:

💁🏻‍♀هیپاتیا که بود؟

هیپاتیا (زادهٔ حدود ۳۵۰–۳۷۰ پس از میلاد، درگذشتهٔ مارس ۴۱۵ پس از میلاد) فیلسوف، ریاضیدان، ستاره‌شناس و معلمی برجسته در اسکندریهٔ مصر بود که در دوران امپراتوری روم شرقی زندگی می‌کرد. او از آخرین چهره‌های بزرگ مکتب فلسفی «افلاطونی نو» و مدیر «موزئون اسکندریه» (که گاهی به آن «کتابخانهٔ اسکندریه» می‌گویند، اگرچه کتابخانهٔ اصلی پیش‌تر تخریب شده بود) به شمار می‌رفت.


🏆زندگی و دستاوردهای شگفت‌انگیز:

۱.  یک دانشمند تمام‌عیار: 
    هیپاتیا در دوران خود در چندین رشته تخصص داشت، که این امر در آن زمان بسیار نادر بود. 
    *   ریاضیات🔢: او بر روی «مقاطع مخروطی» (مانند سهمی و هذلولی) کار کرد و به همراه پدرش، «تئون اسکندریایی»، آثار ریاضیدانان بزرگی مانند اقلیدس و اپولونیوس را تفسیر و ویرایش کرد. این تفسیرها برای قرن‌ها متن استاندارد آموزش ریاضی بودند. 
    *   ستاره‌شناسی🔭: او در اختراع و بهبود ابزارهای نجومی مانند «اسطرلاب» و «طرّاح سیارات» (Planisphere) مشارکت داشت. از این ابزارها برای رصد ستارگان و محاسبات نجومی استفاده می‌شد. 
    *   فلسفه🤲🏻: او در مکتب «افلاطونی نو» تدریس می‌کرد و فلسفه را نه فقط به عنوان یک نظریه، بلکه به عنوان راهی برای زندگی و رسیدن به حقیقت و کمال آموزش می‌داد.

۲.  یک معلم محبوب و کاریزماتیک👩🏻‍🏫: 
    هیپاتیا به خاطر مهارت‌های تدریس بینظیر، منطق قوی و شخصیت گیرایش مشهور بود. او به صورت عمومی تدریس می‌کرد و شاگردانش از سراسر امپراتوری، بدون توجه به مذهب یا قومیت، برای یادگیری نزد او می‌آمدند. در میان شاگردان او، مسیحیان، بت‌پرستان و حتی مقامات بلندپایهٔ حکومتی حضور داشتند.

۳.  نماد عقلانیت و آزادی فکر💡: 
    هیپاتیا به عنوان یک زن در دنیایی کاملاً مردانه، به بالاترین سطوح علمی و اجتماعی دست یافت. او فردی مستقل، عاقل و بی‌طرف بود و هرگز ازدواج نکرد. او تجسم ایده‌های عقلانی، تحقیق آزاد و جست‌وجوی دانش برای خودِ دانش بود.


⚖مرگ تراژیک: نماد پایان یک عصر

مرگ هیپاتیا یکی از نقاط عطف تاریک تاریخ است که به نمادی از درگیری بین علم و تعصب، عقلانیت و جهل تبدیل شده است.

*🏛زمینهٔ سیاسی: 
    اسکندریه در آن زمان شاهد درگیری‌های شدید مذهبی بین مسیحیان (که تازه قدرت گرفته بودند)، یهودیان و پگان‌ها (طرفداران ادیان باستانی) بود. هیپاتیا، با این که به هیچ وجه ضد مسیحیت نبود، به دلیل نفوذ بسیارش بر اشراف شهر و ارتباطش با فرماندار غیرروحانی شهر، مورد خشم «کریلوس» (Cyril)، اسقف قدرتمند و متعصب اسکندریه قرار گرفت.

* 🗡قتل وحشیانه: 
    در مارس سال ۴۱۵ پس از میلاد، گروهی از تندروهای مذهبی به رهبری کشیشی به نام «پتروس»، هیپاتیا را در حال بازگشت به خانه‌اش غافلگیر کردند. آن‌ها او را از کالسکه‌اش به پایین کشیدند، به کلیسایی بردند، لباس‌هایش را کندند و با صدف‌های دریایی (Oyster shells) پوست و گوشتش را از استخوان جدا کردند و سپس جسدش را سوزاندند.

مرگ او ضربه‌ای مهلک به حیات فکری و علمی اسکندریه وارد کرد و بسیاری، آن را پایان دوران باستان و آغاز «عصر تاریکی» می‌دانند.


📜میراث هیپاتیا:

*   یک نماد فراموش‌نشدنی: 

    هیپاتیا امروزه به نمادی برای موارد زیر تبدیل شده است: 
    *   فمینیسم (به عنوان زنی که در دنیای مردان به اوج رسید) 
    *   آزادی بیان و تحقیق 
    *   علم در برابر بنیادگرایی 
    *   روشنفکری و عقلانیت 

*   در فرهنگ عامه: 
    زندگی او الهام‌بخش رمان‌ها، شعرها، فیلم‌ها و آثار هنری بسیاری بوده است. معروف‌ترین اثر، فیلم سینمایی «آگورا» (Agora) محصول سال ۲۰۰۹ به کارگردانی «آلخاندرو آمنابار» و با بازی «ریچل وایس» است که داستان زندگی و مرگ او را روایت می‌کند.

📄خلاصهٔ کلام:

هیپاتیا تنها یک ریاضیدان یا فیلسوف نبود؛ او آخرین ستارهٔ درخشان دنیای باستان بود که نور خرد و دانشش با شمشیر تعصب و خشونت خاموش شد. او برای همیشه یادآور این است که ترس از دانش تا چه اندازه می‌تواند ویرانگر باشد.

پ.ن: اگر میخواین بیشتر درباره زندگی این شخصیت تاثیرگذار  بدونین پیشنهاد میکنیم فیلم Agora (2009) رو تماشا کنید!

📎منبع از: Wikipedia

🆔 https://t.me/MathPlore

#هیپاتیا
#زندگی‌نامه_دانشمندان
#ریاضیات_و_خلاقیت

🤓از پس چالش امروز براومدید یا نه؟

📐 تصویر هندسی:

یه مثلث قائم‌الزاویه داریم که از چند مستطیل تشکیل شده، هر مستطیل نشون‌دهنده یکی از اعداد طبیعیه:

مستطیل اول: 1 × 1 
مستطیل دوم: 1 × 2 
مستطیل سوم: 1 × 3 
... 
مستطیل آخر: 1 × n

طول مثلث برابر با n و ارتفاعش n+1 هست. مساحت این مثلث می‌شه:

½ × n × (n + 1)

که دقیقاً همون فرمول مجموع اعداد طبیعیه!

✨ جمع‌بندی:

این مدل هندسی به ما کمک می‌کنه بفهمیم چطور فرمول‌های ریاضی پشت اعداد طبیعی و مکعب‌ها شکل گرفتن، بدون اینکه صرفاً به اعداد نگاه کنیم. واقعاً زیبا و جالب نیست؟!

📎منبع از: اثبات بدون کلام

🆔 https://t.me/MathPlore

#پاسخ_معما
#ریاضیات_و_خلاقیت
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم

💡 به کمک ویدئو امروز که یه انیمیشن باحال و سرراسته، اثبات فرمول «جمع مکعب‌ها» رو به زیبایی‌ درک می‌کنین

با یه تصویر ساده می‌فهمین چرا این رابطه همیشه درسته و دیگه لازم نیست حفظش کنین 🎥✨

🎬 مشاهده ویدئو

منبع از: اثبات بدون کلام

🆔 https://t.me/MathPlore

#پاسخ_معما
#ریاضیات_و_خلاقیت
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم

⚡️آیا می‌توانید به پروفسور کمک کنید تا در تمام طول سفر پرواز کند و به رویای خود برسد؟

🆔https://t.me/MathPlore

#معما
#چالش_فکری
#منطق
#متوسطه_دوم
#متوسطه_اول

♾️ بینهایت یه مفهوم معمولی نیست که فقط بزرگ باشه؛ یه هیولای ریاضیه که قوانین خودشو داره و هر چی فکر میکنین رو به چالش می‌کشه!

🌌 شاید بینهایت ترسناک به نظر برسه، چون ذهن رو به مرز‌های‌جدیدی می‌بره...

🌀 اما همین ویژگیشه که بینهایت رو به یکی از دوستداشتنی‌ترین مفاهیم ریاضی تبدیل کرده و اغراق نیست که بگیم "بهشت ریاضیدانان جاییه که بینهایت در اون حکمرانی میکنه!"

➗️ ریاضیدانان بزرگی روی این مفهوم کار کردن، برای مثال جورج کانتور یکی از جنجالی‌ترین ریاضیدانان تاریخ، که دنیای بینهایت رو برای ما تعریف کرد و بینهایت که تا قبل‌ از تلاش‌های‌او یه مفهوم مبهم و واحد بود رو دسته بندی کرد

📋 طبق دسته‌بندی‌های کانتور بینهایت می‌تونه قابل‌شمارش و یا غیر قابل‌شمارش باشه حتی ممکنه دسته‌ای از بینهایت از بینهایت دیگه‌ای بزرگتر باشه

💢 اما این ایده برای خیلی از ریاضیدانان و فیلسوفان زمان او غیرقابل هضم بود و کانتور به خاطر ایده‌های جنجالی که داشت تحت فشار مخالفت‌های شدیدی قرار گرفت

🌀 دیوید هیلبرت که یه ریاضیدان آلمانی بود، مبلغ و حامی شجاعی برای ایده‌های کانتور به شمار میومد و از ایده‌های کانتور در برابر منتقدانش دفاع می‌کرد

🏨 معمای هتل بینهایت هیلبرت یکی از مشهورترین و زیباترین مثالها برای درک مفهوم بینهایت‌ِقابل‌شمارشه که توسط هیلبرت ابداع شد تا ایده‌های کانتور رو به شکلی ساده و ملموس توضیح بده

🛎 آماده‌این تا باهم وارد یه هتل با بینهایت اتاق بشیم؟ همه‌ی اتاق‌های این هتل پر از مسافره، اما خیالتون راحت همیشه جا برای مهمونای جدید هست

🎬 مشاهده ویدئو

🆔 https://t.me/MathPlore

#دانستنی
#دانستنی‌ها
#دانستنی_ریاضی
#ریاضیات_پیشرفته
#نظریه_مجموعه‌ها
#هتل_هیلبرت
#بینهایت

👀 برای دیدن پاسخ معمای امروز وارد لینک زیر بشین💢

🎬 مشاهده ویدئو

🆔 https://t.me/MathPlore

#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم
#چالش_فکری
#پاسخ_معما
#منطق

🔍 معادله ای که فقط ذهن‌های جسور سراغش می‌رن!
 
🧠 ریاضی اینجا فقط عدد نیست—اینجا منطق، صبر و خلاقیته. 

💬 تو هم اگه تونستی حلش کنی، جوابت رو برامون کامنت کن. 

🆔 https://t.me/MathPlore

#نظریه_اعداد
#متوسطه_دوم
#دانشگاه
#چالش_ریاضی
#معما

✨Transcendental number

📌عدد متعالی یعنی چی؟

تا حالا به عددهایی مثل π یا e فکر کردین؟ این عدد ها فقط عجیب نیستن، بلکه یه ویژگی خاص دارن: متعالی‌ان!

🔍عدد متعالی (یا غیرجبری) عددیه که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح نمی‌تونه اون رو توصیف کنه. یعنی نمی‌تونید با یه معادله مثل x² + 3x - 7 = 0 بهشون برسید.

🎯فرقش با عدد جبری چیه؟

عدد جبری مثل √2 یا 1/3، ریشه یه معادله ساده‌ست.
عدد متعالی مثل π یا e، از این قاعده فرار می‌کنه!


📚جالبه بدونید:

اولین عدد متعالی توسط لیوویل کشف شد.
اثبات متعالی بودن یه عدد، معمولاً خیلی سخت و پیچیده‌ست.
بیشتر عددهای حقیقی، متعالی‌ان... ولی اثباتشون آسون نیست!


🧠پس دفعه بعد که با π یا e برخورد کردید، یادتون باشه دارید با یه عدد سرکش و بی‌قید و بند سروکار دارید!

🆔 https://t.me/MathPlore

#دانستنی‌ها
#ریاضیات_و_خلاقیت
#متوسطه_اول
#متوسطه_دوم
#دانشگاه

👑بیخود نیست که گوس بزرگ میگه ریاضیات ملکه علوم است و نظریه اعداد ملکه ریاضیات!

برای دیدن پاسخ این معادله فوق‌العاده جذاب وارد لینک زیر بشین👇🏻

🎬مشاهده ویدیو

🆔 https://t.me/MathPlore

#نظریه_اعداد
#متوسطه_دوم
#دانشگاه
#پاسخ_معما