🌱
گئورگ کانتور؛ مردی که بی‌نهایت را از تخت پایین کشید
📜 ۱. پسری که پدرش او را مهندس می‌خواست
گئورگ کانتور در ۱۸۴۵ در سن‌پترزبورگ روسیه به دنیا آمد. پدرش آرزو داشت او مهندس شود، اما گئورگ از نوجوانی عاشق ریاضیات بود. پس از سال‌ها مخالفت، بالاخره در ۱۸۶۲ تحصیل ریاضیات را در زوریخ آغاز کرد و بعد از مرگ پدر، در برلین زیر نظر وایرشتراس و کرونکر درس خواند. در ۱۸۶۹ به دانشگاه هاله رفت و تمام عمر حرفه‌ای خود را همان‌جا گذراند.
♾️ ۲. انقلابی که هیچ‌کس آماده‌اش نبود
کانتور بی‌نهایت را به موضوعی دقیق ریاضی تبدیل کرد و نشان داد همه بی‌نهایت‌ها یکسان نیستند. او ثابت کرد مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی هر دو بی‌نهایت‌اند، اما بی‌نهایت اعداد حقیقی بزرگ‌تر است. وقتی این نتیجه را در ۱۸۷۷ به دوستش ددکیند نوشت، گفت: «می‌بینمش، اما باورش نمی‌کنم.»
⚔️ ۳. جنگ با کرونکر؛ وقتی همکاران، دشمن می‌شوند
بزرگ‌ترین مخالف کانتور، لئوپولد کرونکر بود که معتقد بود تنها اعداد صحیح واقعیت دارند و جمله معروفش این بود: «خدا اعداد صحیح را آفرید؛ بقیه ساخته انسان است.» کرونکر سال‌ها اجازه نداد کانتور جایگاه شایسته‌اش را به دست آورد. پوانکاره بعدها گفت نظریه مجموعه‌ها «بیماری‌ای است که ریاضیات از آن بهبود خواهد یافت.» اما دیوید هیلبرت در مقابل گفت: «هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور آفریده بیرون کند.»
🏥 ۴. سایه‌ای که بر زندگی‌اش افتاد
فشارهای علمی و مخالفت‌های مداوم بر سلامت روان کانتور اثر گذاشت. از ۱۸۸۴ دچار بحران‌های روحی شدید شد و چندین بار بستری گردید. پزشکان او را مبتلا به اختلال دوقطبی تشخیص دادند، هرچند مورخان امروزی معتقدند بیماری او ریشه ژنتیکی داشت. در ۱۸۹۹ پسر ۱۳ ساله‌اش رودولف درگذشت و بحران‌های او عمیق‌تر شد. سال‌های آخر عمرش در فقر و بیماری گذشت. کانتور در ۶ ژانویه ۱۹۱۸ در آسایشگاهی در هاله درگذشت، در حالی که اروپا در آتش جنگ جهانی اول می‌سوخت.
📌 حرف آخر:
امروز کمتر شاخه‌ای از ریاضیات را می‌توان یافت که بر نظریه مجموعه‌های کانتور استوار نباشد. آنالیز، توپولوژی، منطق ریاضی و علوم کامپیوتر، همگی از ایده‌هایی بهره می‌برند که او بیش از یک قرن پیش مطرح کرد. مردی که در زمان حیاتش با تمسخر روبه‌رو شد، امروز یکی از بنیان‌گذاران ریاضیات مدرن شناخته می‌شود.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
گئورگ کانتور؛ مردی که بی‌نهایت را از تخت پایین کشید
📜 ۱. پسری که پدرش او را مهندس می‌خواست
گئورگ کانتور در ۱۸۴۵ در سن‌پترزبورگ روسیه به دنیا آمد. پدرش آرزو داشت او مهندس شود، اما گئورگ از نوجوانی عاشق ریاضیات بود. پس از سال‌ها مخالفت، بالاخره در ۱۸۶۲ تحصیل ریاضیات را در زوریخ آغاز کرد و بعد از مرگ پدر، در برلین زیر نظر وایرشتراس و کرونکر درس خواند. در ۱۸۶۹ به دانشگاه هاله رفت و تمام عمر حرفه‌ای خود را همان‌جا گذراند.
♾️ ۲. انقلابی که هیچ‌کس آماده‌اش نبود
کانتور بی‌نهایت را به موضوعی دقیق ریاضی تبدیل کرد و نشان داد همه بی‌نهایت‌ها یکسان نیستند. او ثابت کرد مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی هر دو بی‌نهایت‌اند، اما بی‌نهایت اعداد حقیقی بزرگ‌تر است. وقتی این نتیجه را در ۱۸۷۷ به دوستش ددکیند نوشت، گفت: «می‌بینمش، اما باورش نمی‌کنم.»
⚔️ ۳. جنگ با کرونکر؛ وقتی همکاران، دشمن می‌شوند
بزرگ‌ترین مخالف کانتور، لئوپولد کرونکر بود که معتقد بود تنها اعداد صحیح واقعیت دارند و جمله معروفش این بود: «خدا اعداد صحیح را آفرید؛ بقیه ساخته انسان است.» کرونکر سال‌ها اجازه نداد کانتور جایگاه شایسته‌اش را به دست آورد. پوانکاره بعدها گفت نظریه مجموعه‌ها «بیماری‌ای است که ریاضیات از آن بهبود خواهد یافت.» اما دیوید هیلبرت در مقابل گفت: «هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور آفریده بیرون کند.»
🏥 ۴. سایه‌ای که بر زندگی‌اش افتاد
فشارهای علمی و مخالفت‌های مداوم بر سلامت روان کانتور اثر گذاشت. از ۱۸۸۴ دچار بحران‌های روحی شدید شد و چندین بار بستری گردید. پزشکان او را مبتلا به اختلال دوقطبی تشخیص دادند، هرچند مورخان امروزی معتقدند بیماری او ریشه ژنتیکی داشت. در ۱۸۹۹ پسر ۱۳ ساله‌اش رودولف درگذشت و بحران‌های او عمیق‌تر شد. سال‌های آخر عمرش در فقر و بیماری گذشت. کانتور در ۶ ژانویه ۱۹۱۸ در آسایشگاهی در هاله درگذشت، در حالی که اروپا در آتش جنگ جهانی اول می‌سوخت.
📌 حرف آخر:
امروز کمتر شاخه‌ای از ریاضیات را می‌توان یافت که بر نظریه مجموعه‌های کانتور استوار نباشد. آنالیز، توپولوژی، منطق ریاضی و علوم کامپیوتر، همگی از ایده‌هایی بهره می‌برند که او بیش از یک قرن پیش مطرح کرد. مردی که در زمان حیاتش با تمسخر روبه‌رو شد، امروز یکی از بنیان‌گذاران ریاضیات مدرن شناخته می‌شود.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
❤2
دوست دارید کانال بیشتر روی چه محتوایی تمرکز کنه؟
Anonymous Poll
63%
آموزش دروس دانشگاهی
23%
مطالب جذاب ریاضی
21%
چالش و معما های ریاضی
25%
معرفی کتاب و فیلم
بر اساس نتیجه‌ی نظرسنجی قبلی، حالا می‌خوایم بدونیم:
چه نوع محتوایی برای درس دانشگاهی مورد نظرتون مفیدتره؟
چه نوع محتوایی برای درس دانشگاهی مورد نظرتون مفیدتره؟
Anonymous Poll
65%
آموزش کامل از صفر
15%
حل تمرین های مختلف
15%
جمع بندی و مرور سریع
29%
برسی نمونه سوال های امتحانی
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🌱
پارادوکس راسل؛ وقتی ریاضیات به خودش گیر کرد
✉️ ۱. نامه‌ای که یک عمر تلاش را نابود کرد
سال ۱۹۰۱، برتراند راسل در حال نوشتن کتابی بود تا ریاضیات را از پایه بر منطق بنا کند. او در بررسی نظریه مجموعه‌های کانتور به تناقضی عجیب برخورد و در ۱۹۰۲ نامه‌ای به گوتلوب فرگه نوشت. فرگه تازه جلد دوم کتابش را برای چاپ فرستاده بود و با خواندن نامه، فهمید پایه‌های کارش فرو ریخته است.
📐 ۲. تناقض چیست؟
در آن زمان، ریاضیدانان از «اصل درک» استفاده می‌کردند: برای هر ویژگی، می‌توان مجموعه‌ای ساخت که شامل همه چیزهایی باشد که آن ویژگی را دارند.
راسل پرسید: «مجموعه‌ای بسازیم که شامل همه مجموعه‌هایی باشد که عضو خودشان نیستند.» اسمش را می‌گذاریم R.
حالا: آیا R عضو خودش هست؟
· اگر R عضو خودش باشد، طبق تعریفش نباید عضو خودش باشد. تناقض!
· اگر R عضو خودش نباشد، طبق تعریفش باید عضو خودش باشد. باز هم تناقض!
پس «اصل درک» یک قانون سالم نیست.
✂️ ۳. پارادوکس آرایشگر؛ روایت ساده‌تر
راسل مثال ساده‌تری ساخت: در شهری آرایشگری است که «موی همه کسانی را می‌زند که خودشان موی خودشان را نمی‌زنند، و فقط موی آن‌ها را می‌زند.»
آیا آرایشگر موی خودش را می‌زند؟
· اگر بزند، طبق قانونش نباید بزند.
· اگر نزند، طبق قانونش باید بزند.
این پارادوکس نشان می‌دهد چنین آرایشگری نمی‌تواند وجود داشته باشد؛
🔧 ۴. چگونه ریاضیات از این تله فرار کرد؟
پارادوکس راسل زنگ خطری بود که نشان داد نمی‌توان با خیال راحت هر مجموعه‌ای را تعریف کرد. دو راه‌حل اصلی ارائه شد:
راه اول: نظریه انواع راسل
راسل پیشنهاد داد مجموعه‌ها را در «طبقات» مختلف دسته‌بندی کنیم. یک مجموعه فقط می‌تواند شامل اعضایی از نوع پایین‌تر باشد، نه از نوع خودش. پس یک مجموعه نمی‌تواند عضو خودش باشد و پارادوکس منحل می‌شود.
راه دوم: نظریه مجموعه‌های اصل موضوعی (ZFC)
ارنست زرمیلو گفت به جای اینکه بگوییم هر ویژگی یک مجموعه تعریف می‌کند، بگوییم فقط می‌توانیم زیرمجموعه‌هایی از یک مجموعه‌ی از قبل موجود را جدا کنیم. این محدودیت اجازه نمی‌دهد مجموعه‌ای مثل R ساخته شود، چون R باید از «همه مجموعه‌ها» ساخته شود و «مجموعه همه مجموعه‌ها» خودش یک مجموعه نیست.
📌 حرف آخر:
پارادوکس راسل ریاضیات را نابود نکرد؛ پایه‌های لرزان را فرو ریخت تا پایه‌های محکم‌تری ساخته شوند.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
پارادوکس راسل؛ وقتی ریاضیات به خودش گیر کرد
✉️ ۱. نامه‌ای که یک عمر تلاش را نابود کرد
سال ۱۹۰۱، برتراند راسل در حال نوشتن کتابی بود تا ریاضیات را از پایه بر منطق بنا کند. او در بررسی نظریه مجموعه‌های کانتور به تناقضی عجیب برخورد و در ۱۹۰۲ نامه‌ای به گوتلوب فرگه نوشت. فرگه تازه جلد دوم کتابش را برای چاپ فرستاده بود و با خواندن نامه، فهمید پایه‌های کارش فرو ریخته است.
📐 ۲. تناقض چیست؟
در آن زمان، ریاضیدانان از «اصل درک» استفاده می‌کردند: برای هر ویژگی، می‌توان مجموعه‌ای ساخت که شامل همه چیزهایی باشد که آن ویژگی را دارند.
راسل پرسید: «مجموعه‌ای بسازیم که شامل همه مجموعه‌هایی باشد که عضو خودشان نیستند.» اسمش را می‌گذاریم R.
حالا: آیا R عضو خودش هست؟
· اگر R عضو خودش باشد، طبق تعریفش نباید عضو خودش باشد. تناقض!
· اگر R عضو خودش نباشد، طبق تعریفش باید عضو خودش باشد. باز هم تناقض!
پس «اصل درک» یک قانون سالم نیست.
✂️ ۳. پارادوکس آرایشگر؛ روایت ساده‌تر
راسل مثال ساده‌تری ساخت: در شهری آرایشگری است که «موی همه کسانی را می‌زند که خودشان موی خودشان را نمی‌زنند، و فقط موی آن‌ها را می‌زند.»
آیا آرایشگر موی خودش را می‌زند؟
· اگر بزند، طبق قانونش نباید بزند.
· اگر نزند، طبق قانونش باید بزند.
این پارادوکس نشان می‌دهد چنین آرایشگری نمی‌تواند وجود داشته باشد؛
🔧 ۴. چگونه ریاضیات از این تله فرار کرد؟
پارادوکس راسل زنگ خطری بود که نشان داد نمی‌توان با خیال راحت هر مجموعه‌ای را تعریف کرد. دو راه‌حل اصلی ارائه شد:
راه اول: نظریه انواع راسل
راسل پیشنهاد داد مجموعه‌ها را در «طبقات» مختلف دسته‌بندی کنیم. یک مجموعه فقط می‌تواند شامل اعضایی از نوع پایین‌تر باشد، نه از نوع خودش. پس یک مجموعه نمی‌تواند عضو خودش باشد و پارادوکس منحل می‌شود.
راه دوم: نظریه مجموعه‌های اصل موضوعی (ZFC)
ارنست زرمیلو گفت به جای اینکه بگوییم هر ویژگی یک مجموعه تعریف می‌کند، بگوییم فقط می‌توانیم زیرمجموعه‌هایی از یک مجموعه‌ی از قبل موجود را جدا کنیم. این محدودیت اجازه نمی‌دهد مجموعه‌ای مثل R ساخته شود، چون R باید از «همه مجموعه‌ها» ساخته شود و «مجموعه همه مجموعه‌ها» خودش یک مجموعه نیست.
📌 حرف آخر:
پارادوکس راسل ریاضیات را نابود نکرد؛ پایه‌های لرزان را فرو ریخت تا پایه‌های محکم‌تری ساخته شوند.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
🔥3
🌱
جدیدا متوجه شدم اکثر دانشجوهایی که ریاضی براشون سخته یه مشکل مشترک دارن...
مشکل مشترک!!!
😳
جدیدا متوجه شدم اکثر دانشجوهایی که ریاضی براشون سخته یه مشکل مشترک دارن...
مشکل مشترک!!!
😳
👆👆👆
اینم از مشکل مشترک و راه حلش...
😎🤗🫡
اینم از مشکل مشترک و راه حلش...
😎🤗🫡
آیا شما هم این مشکل رو دارید؟ یعنی ریاضی رو بدون نوشتن، فقط میخونید؟!!!
Anonymous Poll
64%
بله
36%
خیر