🌱
این متن جذاب رو در این رابطه از دست ندید
👇
این متن جذاب رو در این رابطه از دست ندید
👇
🌱
چرا هیچ‌وقت نمی‌توانی یک کاغذ را بیش از ۷ بار تا کنی؟
📄 ۱. یک قانون ساده که همه شنیده‌اند
حتماً شنیده‌اید که «هیچ کاغذی را نمی‌توان بیش از ۷ بار تا کرد.» اما آیا واقعاً همین‌طور است؟ پاسخ این سوال ما را به دنیای توان‌های دو می‌برد؛ جایی که رشد نمایی، مرزهای فیزیکی را به چالش می‌کشد.
📐 ۲. راز توان‌های دو؛ وقتی اعداد منفجر می‌شوند
هر بار تا کردن کاغذ، ضخامت آن را دو برابر می‌کند. اگر ضخامت اولیه ۰.۱ میلی‌متر باشد، بعد از ۷ بار به ۱۲.۸ میلی‌متر می‌رسد. اما اگر ادامه دهیم:
۱۰ بار: حدود ۱۰ سانتی‌متر
۲۰ بار: حدود ۱۰۵ متر (یک ساختمان ۳۰ طبقه)
۳۰ بار: حدود ۱۰۷ کیلومتر
۴۲ بار: بیش از ۴۳۹,۸۰۴ کیلومتر؛ یعنی فاصله زمین تا ماه!
۵۱ بار: از خورشید هم عبور می‌کند.
این قدرت خارق‌العاده توان‌های دو است.
🧪 ۳. پس چرا در واقعیت نمی‌شود؟ (مرزهای فیزیکی)
سه مانع اصلی وجود دارد:
۱. اندازه کاغذ کوچک می‌شود: بعد از ۷ بار، کاغذ A4 به ابعاد ۲.۳ در ۱.۶ سانتی‌متر می‌رسد و بعد از ۸ بار از یک تمبر هم کوچک‌تر می‌شود.
۲. ضخامت مانع می‌شود: نیروی لازم برای تا کردن به شدت افزایش می‌یابد و کاغذ سخت و غیرقابل تا کردن می‌شود.
۳. لبه‌ها باز می‌شوند: کاغذ در لبه‌ها به دلیل خاصیت ارتجاعی باز می‌شود.
در سال ۲۰۰۲، بریتنی گالیوان با یک رول کاغذ توالت بزرگ و غلتک صنعتی، رکورد ۱۱ بار تا کردن را ثبت کرد. اما همه رکوردها با کاغذهای بسیار بزرگ و ابزار صنعتی بوده، نه با دست.
📌 حرف آخر:
تا کردن کاغذ، مثالی ساده از قدرت رشد نمایی است. ریاضیات می‌گوید ۴۲ بار تا کردن ما را به ماه می‌رساند، اما فیزیک می‌گوید در عمل امکان‌پذیر نیست. دفعه بعد که کاغذی را تا می‌کنید، بدانید با یک معادله نمایی بازی می‌کنید.
#ریاضی_ولی_جذاب
#فیزیک
@FromZeroToIntegral
چرا هیچ‌وقت نمی‌توانی یک کاغذ را بیش از ۷ بار تا کنی؟
📄 ۱. یک قانون ساده که همه شنیده‌اند
حتماً شنیده‌اید که «هیچ کاغذی را نمی‌توان بیش از ۷ بار تا کرد.» اما آیا واقعاً همین‌طور است؟ پاسخ این سوال ما را به دنیای توان‌های دو می‌برد؛ جایی که رشد نمایی، مرزهای فیزیکی را به چالش می‌کشد.
📐 ۲. راز توان‌های دو؛ وقتی اعداد منفجر می‌شوند
هر بار تا کردن کاغذ، ضخامت آن را دو برابر می‌کند. اگر ضخامت اولیه ۰.۱ میلی‌متر باشد، بعد از ۷ بار به ۱۲.۸ میلی‌متر می‌رسد. اما اگر ادامه دهیم:
۱۰ بار: حدود ۱۰ سانتی‌متر
۲۰ بار: حدود ۱۰۵ متر (یک ساختمان ۳۰ طبقه)
۳۰ بار: حدود ۱۰۷ کیلومتر
۴۲ بار: بیش از ۴۳۹,۸۰۴ کیلومتر؛ یعنی فاصله زمین تا ماه!
۵۱ بار: از خورشید هم عبور می‌کند.
این قدرت خارق‌العاده توان‌های دو است.
🧪 ۳. پس چرا در واقعیت نمی‌شود؟ (مرزهای فیزیکی)
سه مانع اصلی وجود دارد:
۱. اندازه کاغذ کوچک می‌شود: بعد از ۷ بار، کاغذ A4 به ابعاد ۲.۳ در ۱.۶ سانتی‌متر می‌رسد و بعد از ۸ بار از یک تمبر هم کوچک‌تر می‌شود.
۲. ضخامت مانع می‌شود: نیروی لازم برای تا کردن به شدت افزایش می‌یابد و کاغذ سخت و غیرقابل تا کردن می‌شود.
۳. لبه‌ها باز می‌شوند: کاغذ در لبه‌ها به دلیل خاصیت ارتجاعی باز می‌شود.
در سال ۲۰۰۲، بریتنی گالیوان با یک رول کاغذ توالت بزرگ و غلتک صنعتی، رکورد ۱۱ بار تا کردن را ثبت کرد. اما همه رکوردها با کاغذهای بسیار بزرگ و ابزار صنعتی بوده، نه با دست.
📌 حرف آخر:
تا کردن کاغذ، مثالی ساده از قدرت رشد نمایی است. ریاضیات می‌گوید ۴۲ بار تا کردن ما را به ماه می‌رساند، اما فیزیک می‌گوید در عمل امکان‌پذیر نیست. دفعه بعد که کاغذی را تا می‌کنید، بدانید با یک معادله نمایی بازی می‌کنید.
#ریاضی_ولی_جذاب
#فیزیک
@FromZeroToIntegral
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
از صفر تا انتگرال! | دکتر حسین لطفی نیا
🌱 اما تکلیف این هفته: ■ مرور مثلثات با ویدیوهای این کانال ■ مرور ۴ گام اول از مینی دوره انتگرال در ده گام ■ مطالعه مثالها و درس فصل اول ■ تحویل تمرینات شماره فرد فصل اول(مختصات قطبی) #تکلیف_ریاضی۲_ترم_مهر۱۴۰۵ تکلیف اول 🌸
🌱
(دانشجوهای خودم😊)
فردا آخرین مهلت تحویل تمرینات فصل اول ریاضی۲ هستش...
تمرینات شماره فرد فصل مختصات قطبی...
🌸
(دانشجوهای خودم😊)
فردا آخرین مهلت تحویل تمرینات فصل اول ریاضی۲ هستش...
تمرینات شماره فرد فصل مختصات قطبی...
🌸
❤2
به نظرتون مشکل اصلی دانشجو ها در یادگیری انتگرال چیه؟
Anonymous Poll
14%
ذهنیت سخت بودن انتگرال
43%
پیش نیاز ها رو بلد نیستن
20%
آموزش درست ارائه نمیشه
46%
هر سه مورد
🌱
تکلیف این هفته:
■ حل تمرینات فرد فصل دوم کتاب ریاضی۲
■ آخرین مهلت برای دانشجویانی که تمرینات فصل اول رو تحویل ندادن و یا اینکه ناقص انجام دادن
■ جلسه روز یکشنبه آینده مخصوص رفع اشکال و حل تمرین دو فصل اول کتابه پس هر ایراد درسی و یا سوالی از تمرینات دارید در این جلسه بپرسید
#تکلیف_ریاضی۲_ترم_مهر۱۴۰۵
تکلیف دوم
🌸
تکلیف این هفته:
■ حل تمرینات فرد فصل دوم کتاب ریاضی۲
■ آخرین مهلت برای دانشجویانی که تمرینات فصل اول رو تحویل ندادن و یا اینکه ناقص انجام دادن
■ جلسه روز یکشنبه آینده مخصوص رفع اشکال و حل تمرین دو فصل اول کتابه پس هر ایراد درسی و یا سوالی از تمرینات دارید در این جلسه بپرسید
#تکلیف_ریاضی۲_ترم_مهر۱۴۰۵
تکلیف دوم
🌸
👍1
🌱
■ آکادمی از صفر تا انتگرال: دانشگاهی برای یادگیری ریاضی از پایه تا اوج!
دانشجویان دانشگاههای دیگه هم که دوست دارن درس ریاضی۲ یا معادلات دیفرانسیل و یا حتی درس ریاضی۱ رو با برنامه ریزی آکادمی جلو ببرن و در نهایت ازشون امتحانات ارزشیابی هم گرفته بشه و با آمادگی کامل برن برای امتحانات پایانترمشون و نمره عالی بگیرن میتونن به ادمین پیام بدن و برنامه درسی تحویل بگیرن...
@FROMZERO_admin2
🌸
■ آکادمی از صفر تا انتگرال: دانشگاهی برای یادگیری ریاضی از پایه تا اوج!
دانشجویان دانشگاههای دیگه هم که دوست دارن درس ریاضی۲ یا معادلات دیفرانسیل و یا حتی درس ریاضی۱ رو با برنامه ریزی آکادمی جلو ببرن و در نهایت ازشون امتحانات ارزشیابی هم گرفته بشه و با آمادگی کامل برن برای امتحانات پایانترمشون و نمره عالی بگیرن میتونن به ادمین پیام بدن و برنامه درسی تحویل بگیرن...
@FROMZERO_admin2
🌸
👍1
🌱
ریاضیات پشت ترافیک؛ چرا همیشه لاین دیگر سریع‌تر است؟
🚗 ۱. یک توهم که Nature آن را اثبات کرد
سال ۱۹۹۹، دونالد ریدلمایر و رابرت تیبشیرانی در مجله Nature نشان دادند «لاین دیگر همیشه سریع‌تر به نظر می‌رسد» یک خطای ادراکی است. آن‌ها دو لاین با سرعت میانگین یکسان شبیه‌سازی کردند و نتیجه گرفتند: راننده‌ها زمان بیشتری را صرف «سبقت گرفته شدن» می‌کنند تا «سبقت گرفتن».
چرا؟ وقتی ماشین‌ها کند می‌روند، فاصله‌شان کم است و یک ماشین در یک ثانیه از چند ماشین عبور می‌کند. اما وقتی سریع می‌روند، فاصله زیاد است و عبور زمان بیشتری می‌برد. پس مغز ما نتیجه می‌گیرد لاین دیگر سریع‌تر است، در حالی که این‌طور نیست.
📐 ۲. ریاضیات موج ترافیک؛ مدل LWR
مدل LWR (لایت‌هیل-ویتهام-ریچاردز) ترافیک را مانند یک سیال تراکم‌پذیر مدل می‌کند. سه متغیر اصلی دارد:
چگالی (ρ): تعداد ماشین در واحد طول
شار (q): تعداد ماشینی که در واحد زمان از یک نقطه عبور می‌کند
سرعت (v): سرعت متوسط ماشین‌ها
رابطه بین این سه:
q = ρ × v
قانون بقا (حفظ تعداد ماشین‌ها):
∂ρ/∂t + ∂q/∂x = 0
این معادله می‌گوید تغییر چگالی در یک نقطه، برابر است با تفاوت شار ورودی و خروجی. اگر ماشین‌ها در یک نقطه جمع شوند، چگالی بالا می‌رود و ترافیک شکل می‌گیرد.
⚡ ۳. موج ضربه‌ای؛ چرا ترافیک در خلاف جهت حرکت می‌کند
مدل LWR پیش‌بینی می‌کند ترافیک به شکل موج ضربه‌ای حرکت می‌کند و این موج در خلاف جهت حرکت ماشین‌ها منتشر می‌شود.
فرض کنید ماشینی ناگهان ترمز می‌کند. ماشین پشتی کمی بیشتر ترمز می‌کند و این «ترمز اضافه» به ماشین بعدی منتقل می‌شود و هر بار بزرگ‌تر می‌شود. نتیجه: یک موج ترافیک که از انتهای صف به ابتدای صف حرکت می‌کند.
سرعت انتشار این موج:
c = Δq / Δρ
که در آن Δq تغییر شار و Δρ تغییر چگالی است.
🧠 ۴. سوگیری ادراکی؛ چرا مغز ما فریب می‌خورد
ریدلمایر نشان داد ۷۰٪ راننده‌ها لاین دیگر را سریع‌تر می‌بینند، حتی وقتی نیست. دلیل ریاضی:
زمان سبقت گرفتن: وقتی ماشین‌ها سریع‌اند، فاصله زیاد است. عبور از ۳ ماشین ممکن است ۱۰ ثانیه طول بکشد.
زمان سبقت گرفته شدن: وقتی ماشین‌ها کند می‌روند، فاصله کم است. یک ماشین در ۱ ثانیه از ۳ ماشین شما عبور می‌کند.
📌 حرف آخر:
ترافیک فقط یک مشکل شهری نیست؛ یک سیستم دینامیکی است که با معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف می‌شود.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
ریاضیات پشت ترافیک؛ چرا همیشه لاین دیگر سریع‌تر است؟
🚗 ۱. یک توهم که Nature آن را اثبات کرد
سال ۱۹۹۹، دونالد ریدلمایر و رابرت تیبشیرانی در مجله Nature نشان دادند «لاین دیگر همیشه سریع‌تر به نظر می‌رسد» یک خطای ادراکی است. آن‌ها دو لاین با سرعت میانگین یکسان شبیه‌سازی کردند و نتیجه گرفتند: راننده‌ها زمان بیشتری را صرف «سبقت گرفته شدن» می‌کنند تا «سبقت گرفتن».
چرا؟ وقتی ماشین‌ها کند می‌روند، فاصله‌شان کم است و یک ماشین در یک ثانیه از چند ماشین عبور می‌کند. اما وقتی سریع می‌روند، فاصله زیاد است و عبور زمان بیشتری می‌برد. پس مغز ما نتیجه می‌گیرد لاین دیگر سریع‌تر است، در حالی که این‌طور نیست.
📐 ۲. ریاضیات موج ترافیک؛ مدل LWR
مدل LWR (لایت‌هیل-ویتهام-ریچاردز) ترافیک را مانند یک سیال تراکم‌پذیر مدل می‌کند. سه متغیر اصلی دارد:
چگالی (ρ): تعداد ماشین در واحد طول
شار (q): تعداد ماشینی که در واحد زمان از یک نقطه عبور می‌کند
سرعت (v): سرعت متوسط ماشین‌ها
رابطه بین این سه:
q = ρ × v
قانون بقا (حفظ تعداد ماشین‌ها):
∂ρ/∂t + ∂q/∂x = 0
این معادله می‌گوید تغییر چگالی در یک نقطه، برابر است با تفاوت شار ورودی و خروجی. اگر ماشین‌ها در یک نقطه جمع شوند، چگالی بالا می‌رود و ترافیک شکل می‌گیرد.
⚡ ۳. موج ضربه‌ای؛ چرا ترافیک در خلاف جهت حرکت می‌کند
مدل LWR پیش‌بینی می‌کند ترافیک به شکل موج ضربه‌ای حرکت می‌کند و این موج در خلاف جهت حرکت ماشین‌ها منتشر می‌شود.
فرض کنید ماشینی ناگهان ترمز می‌کند. ماشین پشتی کمی بیشتر ترمز می‌کند و این «ترمز اضافه» به ماشین بعدی منتقل می‌شود و هر بار بزرگ‌تر می‌شود. نتیجه: یک موج ترافیک که از انتهای صف به ابتدای صف حرکت می‌کند.
سرعت انتشار این موج:
c = Δq / Δρ
که در آن Δq تغییر شار و Δρ تغییر چگالی است.
🧠 ۴. سوگیری ادراکی؛ چرا مغز ما فریب می‌خورد
ریدلمایر نشان داد ۷۰٪ راننده‌ها لاین دیگر را سریع‌تر می‌بینند، حتی وقتی نیست. دلیل ریاضی:
زمان سبقت گرفتن: وقتی ماشین‌ها سریع‌اند، فاصله زیاد است. عبور از ۳ ماشین ممکن است ۱۰ ثانیه طول بکشد.
زمان سبقت گرفته شدن: وقتی ماشین‌ها کند می‌روند، فاصله کم است. یک ماشین در ۱ ثانیه از ۳ ماشین شما عبور می‌کند.
📌 حرف آخر:
ترافیک فقط یک مشکل شهری نیست؛ یک سیستم دینامیکی است که با معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف می‌شود.
#ریاضی_ولی_جذاب
@FromZeroToIntegral
❤3🔥1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🌱
تا الان به این فکر کردید که پشت هر فرمول یا روش انتگرالگیری چه دانشمندان بزرگی قرار دارن؟
🧐
تا الان به این فکر کردید که پشت هر فرمول یا روش انتگرالگیری چه دانشمندان بزرگی قرار دارن؟
🧐
👍2
🌱
● تاریخچه انتگرالگیری از کسرهای گویای سینوس و کسینوس
از نظر تاریخی، پاسخ دقیق‌تر این است که لئونارد اویلر دست‌کم در سال ۱۷۶۸ از این جایگذاری استفاده کرده بود؛ آدرین-ماری لژاندر نیز در سال ۱۸۱۷ روش عمومی آن را شرح داد. این روش بعدها به نام ریاضی‌دان آلمانی کارل وایراشتراس (Karl Weierstrass) مشهور شد، اما انتساب اختراع آن به وایراشتراس قطعی نیست.
🌸
● تاریخچه انتگرالگیری از کسرهای گویای سینوس و کسینوس
از نظر تاریخی، پاسخ دقیق‌تر این است که لئونارد اویلر دست‌کم در سال ۱۷۶۸ از این جایگذاری استفاده کرده بود؛ آدرین-ماری لژاندر نیز در سال ۱۸۱۷ روش عمومی آن را شرح داد. این روش بعدها به نام ریاضی‌دان آلمانی کارل وایراشتراس (Karl Weierstrass) مشهور شد، اما انتساب اختراع آن به وایراشتراس قطعی نیست.
🌸
❤2