🔵Топологический анализ данных (TDA) с помощью ландшафтов устойчивости и его применение к временным рядам

TDA на функциях может быть использован для построения представлений признаков при анализе временных рядов. Ландшафты устойчивости особенно полезны в качестве топологических представлений для анализа сходства/несходства временных рядов. В литературе используются различные представления временных рядов, такие как взвешенное преобразование Фурье в Wang et al. (2018) или преобразование Уолша-Фурье в Chen et al. (2019). Я описываю эти ситуации в следующих разделах.

🔵Метод Ванга (Wang et al. (2018))

Ванг и др. (2018) предложили TDA для измерения структурных изменений во временных рядах электроэнцефалограмм (ЭЭГ). Сначала они построили преобразования Фурье временных рядов, затем применили экспоненциальную схему взвешивания к преобразованиям Фурье, чтобы сфокусироваться на более важных низкочастотных компонентах ЭЭГ. Далее они сгладили взвешенное преобразование Фурье, чтобы превратить его в функцию Морзе (Palais, 1963), это будет показано на первой формуле.

Формально, определим множества:

• I₁ = { j = 0, 1, 2, …, k : |aⱼ| > Tᵤ }

• I₂ = { j = 1, 2, …, k : |bⱼ| > Tᵤ }

где:

• Tᵤ = s√(2log(n))

• aⱼ = 2/T ∑ₜ₌₁ᵀ xₜ cos(((2jπ t)/T))

• bⱼ = 2/T ∑ₜ₌₁ᵀ xₜ sin(((2jπ t)/T))

• a₀ = 1/T ∑ₜ₌₁ᵀ xₜ

Здесь k - степень, определяющая самую высокую частоту [k/T], которая должна быть включена в представление (для T=500 используется k=99 ), n - количество точек данных в каждой фазе, а s - медиана абсолютного отклонения (MAD) коэффициентов Фурье(см. формулу 2)

Используя эту конечную сумму взвешенных синусоидальных функций, они утверждали, что полученная функция становится функцией Морзе. Они использовали это представление функции Морзе для построения ландшафтов устойчивости всех порядков в качестве признаков для обнаружения возможных структурных изменений.

Основной вклад данной работы заключается в том, что на основе имитационного моделирования было показано, что предложенная система TDA устойчива к сохраняющим топологию преобразованиям, таким как перевод, масштабирование амплитуды и частоты, и в то же время чувствительна к разрушающим топологию преобразованиям. Они утверждали, что топологическое изменение происходит только при наличии структурных изменений во временном ряду.

🔵Метод Чена (Chen et al. (2019))

Чен и др. (2019) описали TDA категориальных временных рядов с помощью их преобразований Уолша-Фурье (которые не являются функциями Морзе). Они построили ландшафты устойчивости первого порядка на основе преобразований Уолша-Фурье категориальных временных рядов, которые затем использовали в качестве признаков для кластеризации. Они применили этот анализ к большому набору данных о путешествиях и активности, выполняя вычисления параллельно. Они показали, что построение ландшафта устойчивости первого порядка включает в себя только линейное преобразование преобразования Уолша-Фурье.

Учитывая последовательность WFT dT(n,λⱼ) , где j=0, 1, ..., T₂-1 для временного ряда x(n,t) , где n=1,2,...,N , обозначим минимум и максимум значений WFT временного ряда x_(n,t) через:

На рисунке 3 будут обозначены минимальное и максимальное значения WFT для всех N временных рядов:

Ландшафт устойчивости первого порядка для x_(n,t) получается для ℓ = 1, 2,..., L как показано на формуле 4 и 5. Где (a)₊ обозначает положительную часть действительного числа a . Для ℓ = 1, 2,..., L и n=1,...,N , PL(n,ℓ) - это кусочно-линейные функции, которые представляют собой признаки, построенные для каждого из N временных рядов и полезные для кластеризации.