▫TDA временных рядов с помощью функций частотной области

Пост разделен на две части. В первом разделе обсуждается TDA, начиная с вариаций преобразования Фурье для временных рядов с непрерывным значением, в то время как во втором разделе показано, как строить диаграммы постоянства на основе преобразований Уолша-Фурье для категориальных временных рядов.

▫Часть 1

В этом разделе мы рассмотрим топологические свойства временных рядов через их представления в частотной области, такие как спектры второго порядка. Я строю диаграмму постоянства, используя фильтрацию набора подуровней на основе сглаженной конической оценки спектра второго порядка временного ряда {xₜ, t = 1, …, T}. Модифицированный DFT (Stoffer,1991) и соответствующая периодограмма с сужением представлены на рисунке 1, для t= 1,2,...,T, где ht - функция конусности.

▫Пример: Сглаженная сужающаяся диаграмма спектра второго порядка к устойчивости

Я использую функцию R gridDiag для построения диаграмм постоянства для тех же трех сигналов периодического временного ряда, показанных в предыдущей серии постов. В случае 1 spc.t1 обозначает сглаженную конусообразную периодограмму (конусность = 0.1 по умолчанию в спецификации функции R) и сглаживание с помощью модифицированного окна Даниэля (0.25, 0.5, 0.25) временного ряда ts1.

# Шаг 1: Регрессия и стандартизация
x.1 <- 1:length(ts1)
ts1 <- lm(ts1 ~ x.1)$residuals
ts1 <- ts1 / sd(ts1)

# Шаг 2: Вычисление спектра
spc.t1 <- spec.pgram(ts1, kernel = kernel("modified.daniell", c(1)), plot = FALSE)

# Шаг 3: Построение диаграммы постоянства
PD.t1 <- gridDiag(FUNvalues = spc.t1$spec, location = FALSE, sublevel = TRUE)$diagram

На втором рисунке в верхнем ряду показаны сигналы временных рядов, в среднем ряду — спектры второго порядка, а в нижнем ряду — диаграммы постоянства. Пики в спектрах приходятся на разные частоты и соответствуют вкладам этих частот в общую дисперсию xₜ. Три диаграммы постоянства в нижнем ряду похожи друг на друга, поскольку этот метод нечувствителен к различиям в периодичности временных рядов.

▫Часть 2: Преобразования Уолша-Фурье в диаграммы постоянства

Стоффер предположил, что спектральный анализ Уолша подходит для анализа временных рядов с дискретными и категориальными значениями, а также временных рядов, содержащих резкие разрывы. Построение преобразования Уолша-Фурье использует метод Шанкса для разложения временного ряда {xₜ, t = 1, …, T} на последовательность функций Уолша, каждая из которых представляет собой отличительный бинарный шаблон последовательности.

Если длина временного ряда T не равна 2, пусть T₂ обозначает следующую степень 2. Например, если T = 1440, то T₂ = 2¹¹ = 2048. Я использую заполнение нулем для получения временного ряда длиной T₂, установив значение x(T+1), x(T+2), …, x_(T₂) = 0.

Для j = 0, …, T₂ - 1 пусть λⱼ = j/T₂ обозначает j-ю последовательность. Пусть W(t,j) обозначает t-е значение функции Уолша в последовательности λⱼ. Функции Уолша генерируются итеративно следующим образом (Шанкс, 1969), где [a] обозначает целую часть a. Более подробную информацию о функциях Уолша см. в работе Стоффера (1991).

Преобразование Уолша-Фурье (WFT) временного ряда вычисляется как показано на рисунке 4. Вычислительная сложность равна O(T log(T)) (Шанкс, 1969). В примере я иллюстрирую построение диаграммы постоянства для категориального временного ряда с двумя уровнями.

▫Пример: Преобразование Уолша-Фурье в диаграмму постоянства

На рисунке 5 в первом столбце показан смоделированный категориальный временной ряд длиной T = 120 с двумя уровнями, 0 или 1. Уровень 1 происходит только в период между t = 21 и t = 100. В среднем столбце показан временной интервал, в то время как в третьем столбце показана диаграмма его постоянства. На диаграмме есть одна точка, удаленная от диагональной линии, которая является важной точкой рождения и смерти 0-й гомологической группы. Ниже показан R-код для моделирования временных рядов и преобразования WFT в диаграмму постоянства.

# Создание временного ряда
x.ts <- c(rep(0, 20), rep(1, 80), rep(0, 20))

# WFT 
x.diag <- gridDiag(FUNvalues = x.WFTs, location = FALSE, sublevel = TRUE)$diagram