В основе современных криптографических систем лежит не только арифметика, но и элегантная геометрия эллиптических кривых.

Эллиптическая кривая задаётся уравнением вида:
y^2 = x^3 + ax + b.
при этом важно, чтобы дискриминант не обращался в ноль — это гарантирует гладкость кривой.

сама кривая есть на первой картинке

Здесь операция сложения точек на кривой определяется весьма своеобразно: для сложения двух разных точек P и Q проводится прямая через них, а затем найденная третья точка отражается относительно оси x.
На картинке показано как получается результат P+Q=R’

При удвоении точки применяется касательная, которая пересекается с кривой, и аналогично выполняется отражение.
На картинке 2*P=S’

Для криптографических применений, таких как формирование ключей, вычисления ведутся не над вещественными числами, а в конечных полях (например, GF(p)).

Если кратко, то конечное поле, это штука, где все операции выполняются по модулю p. То есть уравнение будет вида:
y^2 mod p = (x^3 + ax + b) mod p.

Точек в кадрате p*p будет p-1 или около того (я забыл если честно).

На второй картинке показан пример такого поля. И тут тоже есть геометрическая интерпретация для сложения.

Нахера нам эти поля и кривые?
В криптографии важно, чтобы все вычисления были дискретными (то есть, с целыми числами) и имели ограниченное число вариантов. Это позволяет избежать проблем с точностью и сделать вычисления эффективными.

Конечные поля позволяют нам выполнять операции по модулю, которые позволяют нам производить вычисления достаточно легко в одну сторону и почти не обратимо в обратную.

Вот пример:
3^3 mod 17 = 27 mod 17 = 10

При этом, если мы не знаем степень, то получить x можно только перебрав кучу не верных кандидатов:
3^x mod 17 = 12 — найдите x…

Если что, ответ 29 🙂

Аналогично, в эллиптических кривых используется операция, которая записывается как
Q = d * G,
где G — базовая точка, а d — приватный ключ (по сути тот самый x, который нереально найти при наших вычислительных ресурсах).

Эта операция представляет собой повторное сложение точки G с собой d раз и является аддитивным аналогом возведения в степень.

То есть у нас есть операция, которую легко выполнить в одну сторону, но почти не реально в другую сторону (при больших d и p (прям оооочень больших))

Эти операции лежат в основе ECDSA — алгоритма цифровой подписи на эллиптических кривых. При генерации ключей выбирается базовая точка G с большим простым порядком p. Приватный ключ d — случайное число, а публичный вычисляется как Q = d * G

пример на картинке 3.

Задача восстановления d по Q сводится к поиску дискретного логарифма — математической проблеме, которую решить практически невозможно без перебора (то что описано выше).

От криптографических примитивов мы переходим к тому, как всё это используется для создания целостных систем хранения данных.

А вот здесь тыц можно поиграть с элиптическими кривыми и посмотреть как появляются точки P, Q и R.

[4/8]

В децентрализованной сети нет центрального управляющего органа, поэтому все узлы должны прийти к единому решению о состоянии блокчейна. Для этого используются алгоритмы консенсуса. Два наиболее популярных подхода — Proof-of-Work (PoW) и Proof-of-Stake (PoS).

Proof-of-Work (PoW) на картинке 1.
Узлы, называемые майнерами, соревнуются в решении сложной математической задачи (например, нахождение подходящего nonce, чтобы хэш блока начинался с определённого количества нулей). Эта задача требует огромных вычислительных мощностей, что обеспечивает безопасность сети, но в то же время требует больших энергетических затрат. Представьте, что тысячи участников одновременно ищут иголку в стоге сена — тот, кто первым её найдёт, получает вознаграждение.

Proof-of-Stake (PoS) на картинке 2.
Здесь право на создание нового блока распределяется среди участников пропорционально количеству замороженных монет (stake). Шансы, как в лотерее, зависят от «ставки». Этот метод значительно снижает энергопотребление, но требует сложных механизмов защиты от некоторых специфических атак.

В обоих алгоритмах участники, которые создают валидные блоки и остальная часть сети их принимаем, получают «чаевые» за проделанную работу.

Алгоритмы консенсуса — это важный звено, связывающее криптографические методы с реальным функционированием блокчейна, и далее мы рассмотрим, как это применяется в известных криптовалютах.

Можете еще в комменты написать какой из этих алгоритмов консенсуса применяется в блокчейн демо из предыдущей части лонгрида.

[6/8]