По просьбам учителей выкладываю свою работу для 8 физмат. класса на средние линии, теорему Фалеса, пропорциональные отрезки и медианы треугольника. Эта обобщающая работа перед темой "Подобие". Считаю, что на средние линии треугольника должна быть отдельная работа перед этой.

Интересно, что многие учителя считают, что средние линии треугольника отдельно проходить не обязательно, ведь они являются частным случаем подобия треугольников. Именно так сделано в учебниках под редакцией Атанасяна, которыми многие пользуются. Мое мнение другое.
А вы что об этом думаете?

Выкладываю решение своей задачи в формате Единого Государственного экзамена. В первую очередь оно связано с техникой вписанных углов и методом вспомогательной окружности. Удивительно, что ответ задачи не зависит от вида прямоугольного треугольника.
Решение можно прочесть на рисунке.

Разрезание квадрата

Казимир Малевич нарисовал свой черный квадрат в 1915 году и поставил его на выставке в красный угол вместо иконы. Такой символ оказался пророческим — через два года в России случилась революция.
Впрочем, красный квадрат Малевич тоже нарисовал, однако он больше похож на трапецию и называется Женщина в двух измерениях. Этот не-совсем-квадрат висит в Русском музее Петербурга.

Оставим Малевича с его символами и странными женщинами и будем резать квадраты на части как геометрические фигуры. Могут ли все эти части быть остроугольными треугольниками или, например, пятиугольниками, все углы которых меньше 180 градусов?
Читайте условие на рисунке и пишите свои ответы.

Разрезание квадрата. Решение

Как разрезать квадрат на 6 тупоугольных треугольников, показано на первом рисунке.
На втором показано разрезание квадрата на 8 остроугольных треугольников. Дополнительные окружности здесь нужны лишь для объяснения, что все углы этих треугольников острые. Дело в том, что из точки вне круга его диаметр всегда виден под острым углом.
На третьем рисунке показано разрезание квадрата на 8 выпуклых пятиугольников. Оно вовсе не является очевидным. Интересно, что на выпуклые пятиугольники можно разрезать любой плоский многоугольник.

А вот разрезать квадрат на выпуклые шестиугольники не получится —доказательство этого вы можете прочесть на данном рисунке. Тем же способом можно доказать, что на выпуклые шестиугольники нельзя разрезать никакой многоугольник, число сторон которого меньше некоторого N. Как вы думаете, чему равно это N?

Жаль, что подобные задачи обычно не считают искусством, в отличие от знаменитого Черного квадрата Казимира Малевича :)

Еще раз о Черном Квадрате

Вчера число подписчиков нашего канала перевалило за 4000. Я считаю, что такое круглое событие необходимо отметить.

В самом первом посте я писал, что мой канал посвящен не только геометрии — здесь будут новые задачи, материалы контрольных, разговоры о важном (для меня ) и даже ссылки на мою музыку. Так вот, кроме преподавания и написания учебников я придумываю еще и песни.
А при чем тут Черный квадрат? Именно так будет называться мой новый музыкальный альбом, и трек с его заглавной песней вы можете найти в первом комменте.
Черный квадрат — в некотором смысле символ нашей страны, знак абсурда, дыра в иной мир, супрематическая бездна. Впрочем, зачем пересказывать?

На картинке – одна из иллюстраций Алексея Вайнера к нашему учебнику

Развертка пирамиды

Любой треугольник может быть разверткой треугольной пирамиды. Самый простой способ сделать такую пирамиду - это согнуть треугольник по его средним линиям и склеить края. Интересно, что по данной развертке легко найти как высоту самой пирамиды, так и все ее двугранные углы.

Например, можете ли вы сказать, угол при каком ребре этой пирамиды будет равен 60 градусам?

Середины равных отрезков

Если три равных отрезка соединяют вершины треугольника с точками на его противоположных сторонах, их середины никогда не лежат на одной прямой. Поэтому через них можно провести окружность. Интересно, что центр этой окружности будет одним и тем же для любой тройки таких отрезков.

Как вы думаете, где внутри остроугольного треугольника может находиться этот центр? А еще интереснее понять, как эта задача связана с разверткой треугольной пирамиды, о которой мы говорили в предыдущем посте. Это как раз тот случай, когда в пространстве понять утверждение проще, чем на плоскости.

Контрольные на все признаки

По просьбам учителей выкладываю свою контрольную работу на все признаки равенства треугольников. Она рассчитана на 1 или 2 урока в зависимости от уровня класса.
Ее особенность в том, что в половине задач нужно сначала найти равные треугольники, а потом получить ответ, который не сразу очевиден для ученика. Как правило, в таких задачах нужно будет сделать два или три хода.
Р. S. В задачах 4 обоих вариантов контрольной будет корректнее заменить данные в условии числа просто на буквы а и b, так как их соотношение не рационально - его можно найти по теореме синусов, хотя семиклассники этого и не заметят:)

Звезда Рождества 🌟 🎄

Поздравляю всех читателей нашего канала с наступающим Новым 2024! Пусть он принесет то, чего мы все так ждем: перемены к лучшему!
И пусть в темноте ночей вам светит эта Рождественская звезда — её геометрия так проста и завораживает своей красотой. Из лучей и простых отрезков её когда-то сделал мой бывший ученик Александр Даниярходжаев, спасибо ему! Смотреть на эту звезду лучше с большого монитора. Попробуйте догадаться сами, как устроена механика её загадочного мерцания:)

А в первом комментарии я выкладываю запись своего Рождественского романса на прекрасные слова молодого Иосифа Бродского. Такой он увидел Москву тогда — зимним вечером 1962. Впрочем, в этих стихах есть и пророческий смысл, особенно актуальный сейчас. Надеюсь, моя музыка его лишь подчеркнула.

Задачи на каникулы

Чем можно заняться на Новогодней неделе? Доесть праздничный салат, сходить в гости, покататься на коньках… Хотя в такой мороз последнее — это отчаянный поступок. Уж лучше сесть у горящего камина в качающееся кресло и открыть хорошую книгу. А еще лучше порешать хорошие геометрические задачи — это я и предлагаю вам сделать :)

Пять задач на этом новогоднем листке я выдал ученикам своего девятого класса как задание на зимние каникулы. Правда, оно для них необязательное. Там есть и сложные задачи, но главное — все они новые, с ответами и не гуглятся (извините за новомодное слово).

Как обычно, пишите в чат только ответы, а не решения :)
Хорошего вам проведения времени и раздумий!

Наибольшая площадь

Леонард Эйлер говорил, что в основе каждого явления природы лежит какой-то максимум или минимум. Другими словами, сама Природа говорит с нами на языке оптимизации. На нашем канале пока еще не было таких геометрических задач. Вот первая из них.

Расположим на сторонах данного угла ломаную из трех равных отрезков. Как это сделать, чтобы четырехугольник, образованный вершинами такой ломаной, имел наибольшую площадь?

Свести эту задачу к чистой алгебре можно, но очень не хочется. Попробуйте найти чисто геометрическое решение.
И еще один вопрос: при какой величине угла площадь получившегося четырехугольника будет самой большой?
Как обычно, в комментарии пишите свои ответы, а не решения.

Площадь четырехугольника. Решение.

Задача о наибольшей площади четырехугольника с тремя данными сторонами и четырьмя вершинами на сторонах данного угла может быть решена в общем случае. Приведенное решение сводит ее к треугольнику, образованному концами трех данных отрезков, если они выходят из одной точки.

Случай равных отрезков сразу приведет нас к симметричному треугольнику, и тогда искомый четырехугольник будет равнобокой трапецией. В общем случае никакой трапеции уже не будет.

Как это можно сделать, смотрите на рисунках.

Решение задач с новогоднего листка.

Зимние каникулы давно прошли, и пора выкладывать решения задач с новогоднего листка.
Начнем со второй задачи про трапецию — ребята с ней легко справились. В этой задачке есть хорошая идея: признак трапеции по равенству площадей треугольников между ее диагоналями, которые образуют бабочку.
Решение можно посмотреть на рисунке.

Отношение

Предлагаю вашему вниманию две мои задачи, в которых нужно найти отношения отрезков. Правильнее сказать, лишь одно отношение, ведь ответ в этих задачах один и тот же. Можете вы сказать, чему равно это отношение?

Как обычно, в комментариях пишите только ответ, а не решения.

Задача из учебника

По просьбам учителей выкладываю решение типовой задачи на расчет площадей части треугольника. В моем учебнике этот метод проходится в середине 8 класса. В других учебниках такие задачи или вообще не рассматриваются, или их решают в лоб: сначала находят отношения всех отрезков с помощью подобия либо по теореме Менелая, а потом уже переходят к площадям.

Приведенное решение использует только метод площадей и основано на свойстве крыльев дельтаплана: прямая, которая содержит диагональ любого четырехугольника, делит его площадь так же, как и другую диагональ. Невыпуклый четырехугольник немного похож на дельтаплан, отсюда и возникло такое название.

Жёсткие фигуры на уроках

Это маленькое видео со своего урока вчера мне прислал мой коллега, замечательный преподаватель Д.Э. Шноль. На нем можно заметить, что ребята занимаются по нашему учебнику.

Данный урок посвящен третьему признаку равенства треугольников и жёсткости фигур. А начинается он с практической работы — ребята работают в парах и исследуют на жесткость конструкции из полосок бумаги. Их легко сделать, скрепить на концах кнопками и все увидеть собственными глазами.

Это именно то, что нужно: сначала ученики должны накопить опыт, получить мотивацию, а потом уже проходить определения и теоремы. Я называю такой подход индуктивным, в отличие от стандартной дидактики, которой полны большинство учебников. Такие инженерные задачки на жесткие конструкции есть в нашем учебнике в 7 и 8 классах.

Ребята могут и сами придумать похожие примеры и потом объяснить их с помощью элементарной геометрии. А вот пост, где мы исследовали на жёсткость более сложные конструкции из деревянных реек.

Выкладываю решение задачи 3 из новогоднего листка. При желании эту задачу можно легко переформулировать в формат единого государственного экзамена: в первом пункте попросить доказать, что синус угла АМВ равен 0,5376. А во втором пункте найти расстояние от точки М до хорды АВ.
Я считаю, что для ЕГЭ она слишком трудна, так как в первой части нужна идея с симметрией.
А как вы думаете?
Решение можно прочитать на рисунке.

Отношение отрезков в параллелограмме.

Выкладываю решение задачи об отношении отрезков на диагонали параллелограмма. Это несложная задача на подобие треугольников, и решить ее можно без дополнительных построений, глядя на рисунок. Правда, важно выбрать удобные обозначения: принять равные отрезки за 1, а расстояние между ними за неизвестную х. Тогда легко составить уравнение на х и получить ответ.

Интересно, что эта задача связана с золотым сечением и похожий параллелограмм можно увидеть в пентаграмме — символе Пифагорейской школы. Правда, все углы правильного пятиугольника равны 108 градусов, а у произвольного параллелограмма их нет. Зато с помощью линейного преобразования или параллельной проекции данного рисунка на другую плоскость углы правильного пятиугольника можно поменять, а отношение отрезков на его диагоналях при этом сохранится. За это отвечает важное свойство такого пятиугольника: каждая его диагональ параллельна своей стороне.
Решение можно прочесть на рисунке.

Круги в квадрате.

Древние греки не могли решить некоторые задачи с помощью циркуля и линейки. Самыми известными из них были задачи об удвоении куба, деление произвольного угла на три равные части, построение правильного семиугольника и квадратура круга.
Только в XIX веке было доказано, что циркулем и линейкой из единичного отрезка можно построить лишь квадратичные иррациональности, то есть все числа, которые получаются из 1 с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней. Кстати, это доказательство вполне доступно школьникам.
Корни большинства кубических уравнений с целыми коэффициентами нельзя представить в таком виде, поэтому и построить их классическими инструментами не получится.
Вашему вниманию предлагается задача о трех равных кругах в квадрате, которую тоже не решить циркулем и линейкой, ведь радиус нужных кругов - корень кубического уравнения с целыми коэффициентами, которое не имеет рациональных корней.
Какое это должно быть уравнение?

Контрольная на площади

По просьбам учителей выкладываю свою работу на площади. В ней представлены как задачи на использование простейших формул, задачи на клетчатой бумаге, отношение площадей подобных треугольников, так и задачи на расчет частей треугольника.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.