Сюжет с центрами масс

Многие знают, что центр трех равных масс, расположенных в вершинах треугольника, находится на пересечении его медиан. В курсе нашего учебника это обсуждается в 8 и 9 классах сначала по правилу рычага, а потом с помощью группировки векторов.
Можно легко доказать, что точка пересечения медиан является также центром масс однородной треугольной пластины.
Для произвольного четырехугольника это не так: центр масс четырехугольной пластины не всегда совпадает с центром равных масс, расположенных в ее вершинах. На рисунках к этому посту вы можете видеть, что центр О масс пластины лежит между центрами масс треугольников, на которые пластину разбивает ее диагональ. На другом рисунке этот центр лежит на на отрезке КЕ. Почему это так и в каком отношении точка О делит данный отрезок?
На последнем рисунке показан способ нахождения центра масс пятиугольной пластины. Попробуйте объяснить этот способ и докажите связанный с ним интересный факт о пятиугольниках.

Выкладываю работы по тригонометрии для классов Матвертикали. Они рассчитаны примерно на 60 минут. Без одной задачи работу можно дать на 1 урок.

Формат ЕГЭ +

Вот моя новая задача, которая сформулирована в формате профильного экзамена ЕГЭ: доказательство + вычисление.
Правда, из-за своей сложности для единого экзамена она не подходит, а для читателей нашего канала в самый раз. Предлагаю вам над ней подумать!
Пишите ответы, а не решения :)

К последнему посту

Так как было много вопросов к условию вчерашней задачи, выкладываю анимацию к ней.
На ней все видно.

50 на 50

Вчера в лицее Вторая школа я провел необычный открытый урок со своим 7 классом. Половины его учеников не было - они уехали на разные турниры по математике, зато оставшуюся часть класса составили пришедшие на урок учителя.
С ребятами мы учились кратко записывать условия задач на равенство треугольников и оформлять их решения - в 7 классе это нужно обязательно делать. А проверять такое оформление я попросил пришедших к нам учителей. Большое спасибо им всем за это!
К посту я прикладываю свои листки на равенство фигур и признаки равенства треугольников. Все задачи взяты из новой версии нашего учебника. Вчера мы осваивали  последний из этих листков.

Сюжет с центрами масс. Решение

Центр масс О однородной четырехугольной пластины обычно не совпадает с центром четырех равных масс, расположенных в ее вершинах.

Если вырезать четырехугольник из картона и в точке О поставить его на острие иглы, он будет находиться в равновесии. А как найти такую точку О, читайте на рисунке выше. Условие задачи здесь.

Формат ЕГЭ +. Решение

Утверждение задачи не использует то, что отрезок АВ — диаметр окружности. Оно верно для любой хорды АВ и любой точки С на стягивающей ее дуге.

Элементарное решение, не опирающиеся на двойные отношения пучка прямых, основано на замечательном свойстве точек прямой, которая проходит через основания двух биссектрис треугольника. А в чем оно состоит, можно прочесть на рисунке выше.

Жесткие конструкции.

Если из трех досок сколотить треугольник, то нельзя будет изменить ни один его угол, не сломав этих досок. Это означает, что треугольник является жесткой фигурой, и образующие его отрезки однозначно определяют все
его углы.
В то же время четырехугольник, сколоченный из четырех досок, не будет жестким: можно легко менять его углы, не меняя сторон.

Как понять, что конструкция, собранная из нескольких реек, будет жесткой? Первое, что приходит в голову, - провести эксперимент. А можно ли это сказать, просто глядя на рисунок? Оказывается, ответ на такой вопрос дает элементарная геометрия.
На рисунках показаны шесть конструкций из реек, которые между собой закрепили винтами. Какие из этих конструкций будут жесткими?

Формат ЕГЭ +

Вот еще одна задача, которую я придумал в формате Единого государственного экзамена: доказательство + вычисление. Она немного сложнее тех задач, которые обычно предлагают на ЕГЭ, зато красиво и коротко решается. Предлагаю вам над ней подумать!
Как обычно, в комменты пишите ответы, а не решения:)

Жесткие конструкции. Решение.

Как известно, треугольник можно построить по длинам всех его сторон.
Любую трапецию так же можно построить циркулем и линейкой, зная ее боковые стороны основания — ведь такое построение можно свести к построению треугольника, отрезав от трапеции параллелограмм.
Косая рейка ЕF конструкции Г разбивает параллелограмм АВСD на две трапеции с фиксированными сторонами. Поэтому эта конструкция не может менять углы между своими рейками.
Если же рейка EF будет закреплена параллельно стороне параллелограмма, это не придаст ему жесткости, так как при этом не образуется трапеции. Поэтому конструкция Д будет подвижной.

Итак, жесткими будут конструкции Б, В, Г, Е.

Выкладываю свою контрольную работу для 7 класса на равенство фигур и 1 и 2 признаки равенства треугольников. Как обычно, она дана в двух вариантах и рассчитана на 1 или 2 урока в зависимости от силы класса.

Формат ЕГЭ +

Вот еще одна моя задача в стиле Единого Государственного Экзамена: доказательство + вычисление. На этот раз она сложнее предыдущей и по уровню скорее подходит для олимпиады. Вот ее условие:

Вписанная в прямоугольный треугольник АВС окружность касается его гипотенузы АВ в точке Е. Через точки касания ее с катетами треугольника провели прямую, которая пересекает описанную вокруг него окружность в точках М и К.
А) Докажите, что треугольники МКЕ и АВС подобны;
Б) Найдите отношение площадей этих треугольников.

Как обычно, в комменты пишите ответы, а не решения!

Формат ЕГЭ. Решение

Эта красивая задача с трапецией легко решается с помощью стандартного дополнительного построения. Оно хорошо работает в задачах с параллельными прямыми и серединами секущих — с его помощью на чертеже всегда можно получить равные треугольники. Как это сделать, показано на рисунке.

По просьбам учителей выкладываю свою работу для 8 физмат. класса на средние линии, теорему Фалеса, пропорциональные отрезки и медианы треугольника. Эта обобщающая работа перед темой "Подобие". Считаю, что на средние линии треугольника должна быть отдельная работа перед этой.

Интересно, что многие учителя считают, что средние линии треугольника отдельно проходить не обязательно, ведь они являются частным случаем подобия треугольников. Именно так сделано в учебниках под редакцией Атанасяна, которыми многие пользуются. Мое мнение другое.
А вы что об этом думаете?

Выкладываю решение своей задачи в формате Единого Государственного экзамена. В первую очередь оно связано с техникой вписанных углов и методом вспомогательной окружности. Удивительно, что ответ задачи не зависит от вида прямоугольного треугольника.
Решение можно прочесть на рисунке.

Разрезание квадрата

Казимир Малевич нарисовал свой черный квадрат в 1915 году и поставил его на выставке в красный угол вместо иконы. Такой символ оказался пророческим — через два года в России случилась революция.
Впрочем, красный квадрат Малевич тоже нарисовал, однако он больше похож на трапецию и называется Женщина в двух измерениях. Этот не-совсем-квадрат висит в Русском музее Петербурга.

Оставим Малевича с его символами и странными женщинами и будем резать квадраты на части как геометрические фигуры. Могут ли все эти части быть остроугольными треугольниками или, например, пятиугольниками, все углы которых меньше 180 градусов?
Читайте условие на рисунке и пишите свои ответы.

Разрезание квадрата. Решение

Как разрезать квадрат на 6 тупоугольных треугольников, показано на первом рисунке.
На втором показано разрезание квадрата на 8 остроугольных треугольников. Дополнительные окружности здесь нужны лишь для объяснения, что все углы этих треугольников острые. Дело в том, что из точки вне круга его диаметр всегда виден под острым углом.
На третьем рисунке показано разрезание квадрата на 8 выпуклых пятиугольников. Оно вовсе не является очевидным. Интересно, что на выпуклые пятиугольники можно разрезать любой плоский многоугольник.

А вот разрезать квадрат на выпуклые шестиугольники не получится —доказательство этого вы можете прочесть на данном рисунке. Тем же способом можно доказать, что на выпуклые шестиугольники нельзя разрезать никакой многоугольник, число сторон которого меньше некоторого N. Как вы думаете, чему равно это N?

Жаль, что подобные задачи обычно не считают искусством, в отличие от знаменитого Черного квадрата Казимира Малевича :)

Еще раз о Черном Квадрате

Вчера число подписчиков нашего канала перевалило за 4000. Я считаю, что такое круглое событие необходимо отметить.

В самом первом посте я писал, что мой канал посвящен не только геометрии — здесь будут новые задачи, материалы контрольных, разговоры о важном (для меня ) и даже ссылки на мою музыку. Так вот, кроме преподавания и написания учебников я придумываю еще и песни.
А при чем тут Черный квадрат? Именно так будет называться мой новый музыкальный альбом, и трек с его заглавной песней вы можете найти в первом комменте.
Черный квадрат — в некотором смысле символ нашей страны, знак абсурда, дыра в иной мир, супрематическая бездна. Впрочем, зачем пересказывать?

На картинке – одна из иллюстраций Алексея Вайнера к нашему учебнику

Развертка пирамиды

Любой треугольник может быть разверткой треугольной пирамиды. Самый простой способ сделать такую пирамиду - это согнуть треугольник по его средним линиям и склеить края. Интересно, что по данной развертке легко найти как высоту самой пирамиды, так и все ее двугранные углы.

Например, можете ли вы сказать, угол при каком ребре этой пирамиды будет равен 60 градусам?

Середины равных отрезков

Если три равных отрезка соединяют вершины треугольника с точками на его противоположных сторонах, их середины никогда не лежат на одной прямой. Поэтому через них можно провести окружность. Интересно, что центр этой окружности будет одним и тем же для любой тройки таких отрезков.

Как вы думаете, где внутри остроугольного треугольника может находиться этот центр? А еще интереснее понять, как эта задача связана с разверткой треугольной пирамиды, о которой мы говорили в предыдущем посте. Это как раз тот случай, когда в пространстве понять утверждение проще, чем на плоскости.

Контрольные на все признаки

По просьбам учителей выкладываю свою контрольную работу на все признаки равенства треугольников. Она рассчитана на 1 или 2 урока в зависимости от уровня класса.
Ее особенность в том, что в половине задач нужно сначала найти равные треугольники, а потом получить ответ, который не сразу очевиден для ученика. Как правило, в таких задачах нужно будет сделать два или три хода.
Р. S. В задачах 4 обоих вариантов контрольной будет корректнее заменить данные в условии числа просто на буквы а и b, так как их соотношение не рационально - его можно найти по теореме синусов, хотя семиклассники этого и не заметят:)