Желтый квадрат. Решение

Рисунок к условию этой задачи выглядел вполне правдоподобно, но искомый желтый квадрат расположен не так: две его вершины попадают на продолжение боковых сторон зеленого треугольника. В комментах к условию можно посмотреть отличную анимацию.

Многие верно заметили, что две вершины желтого квадрата лежат на равных расстояниях от вершин В и С зеленого треугольника АВС. Правда, этого соображения не хватает, чтобы быстро получить ответ. А как это сделать, можно прочесть на рисунке к решению.
По классификации нашего учебника эта задача на три звезды.

Сюжет с кругами

Предлагаю вам мой сюжет для кружка по геометрии в трех частях. Он рассчитан на 9 класс.

Два круга вписаны в один полукруг и касаются друг друга.
А) Докажите, что диаметр полукруга из точки касания кругов всегда виден под углом 135 градусов.
Б) Радиусы кругов равны 8 и 9. Чему равен диаметр полукруга? Ответ при данных радиусах будет рациональным числом.
В) Радиусы касающихся кругов не могут сильно различаться. Оказывается, их отношение всегда меньше 6. А где проходит граница этого отношения?
То есть в каких пределах может меняться отношение радиусов таких кругов?

Комментарий:
Часть А) хорошо известна и красива.
Части Б) и В) новые.
Пишите ответы, а не решения!

Выкладываю листки для 9 класса по тригонометрии для работы на уроках и дома. Материалы в основном взяты из нашего учебника.

Листки для 7 класса по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры

Сюжет с кругами. Решение

Эта конфигурация с кругами хороша тем, что наглядно показывает, как в одном решении работают сразу несколько важных геометрических фактов: лемма Архимеда об окружностях, вписанных в сегмент круга, их радикальная ось, вписанные углы, японская формула внешней касательной и подобие треугольников. Схему самого решения можно прочитать на рисунках выше. Условие задачи ищите здесь.

Ограничение на отношение радиусов вписанных кругов кажется сначала удивительным, но в предельном случае оно становится естественным: когда круги приближаются к точкам А или В, дуга полукруга превращается в вертикальную касательную, и пара таких кругов оказывается вписанной в прямой угол.

Контрольные по тригонометрии

Выкладываю свои контрольные по тригонометрии для 9 класса. Первые два варианта подходят для классов Матвертикали, 3 и 4 для физмат классов.
Эти работы пишутся еще до прохождения теорем синусов и косинусов. Они рассчитаны примерно на 60 минут.
Можно сделать короткий вариант на 1 урок без одной задачи.

Сюжет с центрами масс

Многие знают, что центр трех равных масс, расположенных в вершинах треугольника, находится на пересечении его медиан. В курсе нашего учебника это обсуждается в 8 и 9 классах сначала по правилу рычага, а потом с помощью группировки векторов.
Можно легко доказать, что точка пересечения медиан является также центром масс однородной треугольной пластины.
Для произвольного четырехугольника это не так: центр масс четырехугольной пластины не всегда совпадает с центром равных масс, расположенных в ее вершинах. На рисунках к этому посту вы можете видеть, что центр О масс пластины лежит между центрами масс треугольников, на которые пластину разбивает ее диагональ. На другом рисунке этот центр лежит на на отрезке КЕ. Почему это так и в каком отношении точка О делит данный отрезок?
На последнем рисунке показан способ нахождения центра масс пятиугольной пластины. Попробуйте объяснить этот способ и докажите связанный с ним интересный факт о пятиугольниках.

Выкладываю работы по тригонометрии для классов Матвертикали. Они рассчитаны примерно на 60 минут. Без одной задачи работу можно дать на 1 урок.

Формат ЕГЭ +

Вот моя новая задача, которая сформулирована в формате профильного экзамена ЕГЭ: доказательство + вычисление.
Правда, из-за своей сложности для единого экзамена она не подходит, а для читателей нашего канала в самый раз. Предлагаю вам над ней подумать!
Пишите ответы, а не решения :)

К последнему посту

Так как было много вопросов к условию вчерашней задачи, выкладываю анимацию к ней.
На ней все видно.

50 на 50

Вчера в лицее Вторая школа я провел необычный открытый урок со своим 7 классом. Половины его учеников не было - они уехали на разные турниры по математике, зато оставшуюся часть класса составили пришедшие на урок учителя.
С ребятами мы учились кратко записывать условия задач на равенство треугольников и оформлять их решения - в 7 классе это нужно обязательно делать. А проверять такое оформление я попросил пришедших к нам учителей. Большое спасибо им всем за это!
К посту я прикладываю свои листки на равенство фигур и признаки равенства треугольников. Все задачи взяты из новой версии нашего учебника. Вчера мы осваивали  последний из этих листков.

Сюжет с центрами масс. Решение

Центр масс О однородной четырехугольной пластины обычно не совпадает с центром четырех равных масс, расположенных в ее вершинах.

Если вырезать четырехугольник из картона и в точке О поставить его на острие иглы, он будет находиться в равновесии. А как найти такую точку О, читайте на рисунке выше. Условие задачи здесь.

Формат ЕГЭ +. Решение

Утверждение задачи не использует то, что отрезок АВ — диаметр окружности. Оно верно для любой хорды АВ и любой точки С на стягивающей ее дуге.

Элементарное решение, не опирающиеся на двойные отношения пучка прямых, основано на замечательном свойстве точек прямой, которая проходит через основания двух биссектрис треугольника. А в чем оно состоит, можно прочесть на рисунке выше.

Жесткие конструкции.

Если из трех досок сколотить треугольник, то нельзя будет изменить ни один его угол, не сломав этих досок. Это означает, что треугольник является жесткой фигурой, и образующие его отрезки однозначно определяют все
его углы.
В то же время четырехугольник, сколоченный из четырех досок, не будет жестким: можно легко менять его углы, не меняя сторон.

Как понять, что конструкция, собранная из нескольких реек, будет жесткой? Первое, что приходит в голову, - провести эксперимент. А можно ли это сказать, просто глядя на рисунок? Оказывается, ответ на такой вопрос дает элементарная геометрия.
На рисунках показаны шесть конструкций из реек, которые между собой закрепили винтами. Какие из этих конструкций будут жесткими?

Формат ЕГЭ +

Вот еще одна задача, которую я придумал в формате Единого государственного экзамена: доказательство + вычисление. Она немного сложнее тех задач, которые обычно предлагают на ЕГЭ, зато красиво и коротко решается. Предлагаю вам над ней подумать!
Как обычно, в комменты пишите ответы, а не решения:)

Жесткие конструкции. Решение.

Как известно, треугольник можно построить по длинам всех его сторон.
Любую трапецию так же можно построить циркулем и линейкой, зная ее боковые стороны основания — ведь такое построение можно свести к построению треугольника, отрезав от трапеции параллелограмм.
Косая рейка ЕF конструкции Г разбивает параллелограмм АВСD на две трапеции с фиксированными сторонами. Поэтому эта конструкция не может менять углы между своими рейками.
Если же рейка EF будет закреплена параллельно стороне параллелограмма, это не придаст ему жесткости, так как при этом не образуется трапеции. Поэтому конструкция Д будет подвижной.

Итак, жесткими будут конструкции Б, В, Г, Е.

Выкладываю свою контрольную работу для 7 класса на равенство фигур и 1 и 2 признаки равенства треугольников. Как обычно, она дана в двух вариантах и рассчитана на 1 или 2 урока в зависимости от силы класса.

Формат ЕГЭ +

Вот еще одна моя задача в стиле Единого Государственного Экзамена: доказательство + вычисление. На этот раз она сложнее предыдущей и по уровню скорее подходит для олимпиады. Вот ее условие:

Вписанная в прямоугольный треугольник АВС окружность касается его гипотенузы АВ в точке Е. Через точки касания ее с катетами треугольника провели прямую, которая пересекает описанную вокруг него окружность в точках М и К.
А) Докажите, что треугольники МКЕ и АВС подобны;
Б) Найдите отношение площадей этих треугольников.

Как обычно, в комменты пишите ответы, а не решения!

Формат ЕГЭ. Решение

Эта красивая задача с трапецией легко решается с помощью стандартного дополнительного построения. Оно хорошо работает в задачах с параллельными прямыми и серединами секущих — с его помощью на чертеже всегда можно получить равные треугольники. Как это сделать, показано на рисунке.

По просьбам учителей выкладываю свою работу для 8 физмат. класса на средние линии, теорему Фалеса, пропорциональные отрезки и медианы треугольника. Эта обобщающая работа перед темой "Подобие". Считаю, что на средние линии треугольника должна быть отдельная работа перед этой.

Интересно, что многие учителя считают, что средние линии треугольника отдельно проходить не обязательно, ведь они являются частным случаем подобия треугольников. Именно так сделано в учебниках под редакцией Атанасяна, которыми многие пользуются. Мое мнение другое.
А вы что об этом думаете?

Выкладываю решение своей задачи в формате Единого Государственного экзамена. В первую очередь оно связано с техникой вписанных углов и методом вспомогательной окружности. Удивительно, что ответ задачи не зависит от вида прямоугольного треугольника.
Решение можно прочесть на рисунке.