Выкладываю подборку задач на тему Аксиома полуплоскостей для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока

Жёлтый квадрат

Если одна симметричная фигура вписана в другую, оси их симметрий могут совпадать. Однако так бывает не всегда: на рисунке вы можете видеть квадрат, косо вписанный в другую симметричную фигуру, образованную кругом и равнобедренным треугольником. Площадь такого квадрата чуть больше 48, и она — рациональное число.
Каким оно может быть?

Осенний марафон
Эта ссылка будет интересна как учителям, так и одиннадцатиклассникам. Как известно, геометрию на профильном ЕГЭ решают пока довольно плохо, а с задачами второй части вообще справляется не больше 1% абитуриентов. Многие ребята, запустившие геометрию в 7—9 классах, за эти две задачи просто не берутся.
Есть хороший выход: на канале Профиматика в этом октябре стартовал геометрический марафон по подготовке к ЕГЭ. Каждый день там выкладывают блок теории и несколько задач на ее закрепление. При этом идут от простого к сложному: от первых геометрических задач теста до тех самых сложных задач второй части. Все совершенно бесплатно в течение этого месяца.
Вот ссылка для регистрации.
Ударим осенним марафоном по геометрической безграмотности!

Юрий Деточкин тоже любил детей…

Дорогие учителя, сегодня я поздравляю вас с нашим профессиональным праздником!
Мы не угоняем автомобилей и не уезжаем в бесконечные командировки к родственникам. Просто работа в школе тоже похожа на погоню — погоню за знаниями или на преследование отстающих…

Давайте сегодня сбросим скорость - ведь даже Юрий Деточкин, уходя от милиции, затормозил перед знаком ДЕТИ. А в качестве маленького музыкального подарка будет вальс Андрея Петрова из фильма Берегись автомобиля :)

Ладовая постоянная. Решение

Человеческое ухо, как и другие органы чувств, воспринимает повышение звука по логарифмической шкале. Это значит, что умножение внешнего воздействия в одно и то же число раз мы ощущаем как увеличение его на одну ступень.
Поэтому, когда мы слышим, что звук стал выше на один полутон, на самом деле его частота умножилась в одно и то же число раз. Это позволяет рассчитать лады на грифе гитары и выразить ладовую постоянную через корень 12 степени из двойки.

УРА!

Вчера подписчиков нашего канала стало больше 3000.
Это круглое число имеет горизонтальную ось симметрии, и образовалось оно всего за месяц. Спасибо вам за интерес и активное участие!

Такое событие я решил отметить задачей на три весёлые буквы. Не подумайте плохого – на заборе их писать не надо, из этих букв нужно сложить геометрическую фигуру, которая также имеет ось симметрии. А нарисовать их можно по клеточкам и вырезать из бумаги. Как это сделать, показано на рисунке.
В ответ напишите, скольким клеточкам равен периметр полученной вами фигуры.

Треугольник на равные части. Решение

Любой прямоугольный треугольник можно высотой разбить на два подобных меньших треугольника. Коэффициент их подобия равен отношению гипотенуз.
Если катеты исходного треугольника относятся как 1:2, один из этих треугольников будет в 2 раза больше другого. Разрежем его на 4 равных треугольника по средним линиям — тогда исходный треугольник окажется разрезан на 5 равных.

Если катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, поступим так же: разобьем его высотой на два подобных треугольника и больший из них разрежем на 9 равных. Тогда исходный треугольник окажется разбит на 10 равных частей. Аналогично можно разрезать прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 на 13 равных треугольников.

На правом рисунке вы можете видеть равносторонний треугольник, который разбит на 5 равных частей. Правда, эти части не треугольники, и даже не связаны — каждая из них покрашена своим цветом.
Условие задачи здесь

Вот раздаточные материалы по теме Углы для 7 класса. В основном, это задачи из новой версии нашего учебника.
Материал рассчитан примерно на три урока.

Длина отрезка

Вот одна из самых красивых задач новой версии учебника за 9 класс.

Через точку пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника параллельно одной его стороне провели прямую. Часть этой прямой внутри четырехугольника делится данной точкой на отрезки с длинами
3 и 5.
Чему равен отрезок этой прямой вне четырехугольника до пересечения с продолжением его третьей стороны?

В чат пишите ответы, а не решения!

С этой красивой задачей многие справились! В новом учебнике 9 класса она стоит в теме подобие, как использование свойства гомотетии. Удивительно, что в ней хватает данных для ответа, хотя четырехугольник совершенно произвольный!

Придумал я эту задачу когда-то из соображений проективной геометрии, а потом уже увидел это красивое и простое решение — его вы можете прочитать на данном рисунке.
Это как раз тот случай, когда дополнительное построение решает все :)

Желтый квадрат. Решение

Рисунок к условию этой задачи выглядел вполне правдоподобно, но искомый желтый квадрат расположен не так: две его вершины попадают на продолжение боковых сторон зеленого треугольника. В комментах к условию можно посмотреть отличную анимацию.

Многие верно заметили, что две вершины желтого квадрата лежат на равных расстояниях от вершин В и С зеленого треугольника АВС. Правда, этого соображения не хватает, чтобы быстро получить ответ. А как это сделать, можно прочесть на рисунке к решению.
По классификации нашего учебника эта задача на три звезды.

Сюжет с кругами

Предлагаю вам мой сюжет для кружка по геометрии в трех частях. Он рассчитан на 9 класс.

Два круга вписаны в один полукруг и касаются друг друга.
А) Докажите, что диаметр полукруга из точки касания кругов всегда виден под углом 135 градусов.
Б) Радиусы кругов равны 8 и 9. Чему равен диаметр полукруга? Ответ при данных радиусах будет рациональным числом.
В) Радиусы касающихся кругов не могут сильно различаться. Оказывается, их отношение всегда меньше 6. А где проходит граница этого отношения?
То есть в каких пределах может меняться отношение радиусов таких кругов?

Комментарий:
Часть А) хорошо известна и красива.
Части Б) и В) новые.
Пишите ответы, а не решения!

Выкладываю листки для 9 класса по тригонометрии для работы на уроках и дома. Материалы в основном взяты из нашего учебника.

Листки для 7 класса по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры

Сюжет с кругами. Решение

Эта конфигурация с кругами хороша тем, что наглядно показывает, как в одном решении работают сразу несколько важных геометрических фактов: лемма Архимеда об окружностях, вписанных в сегмент круга, их радикальная ось, вписанные углы, японская формула внешней касательной и подобие треугольников. Схему самого решения можно прочитать на рисунках выше. Условие задачи ищите здесь.

Ограничение на отношение радиусов вписанных кругов кажется сначала удивительным, но в предельном случае оно становится естественным: когда круги приближаются к точкам А или В, дуга полукруга превращается в вертикальную касательную, и пара таких кругов оказывается вписанной в прямой угол.

Контрольные по тригонометрии

Выкладываю свои контрольные по тригонометрии для 9 класса. Первые два варианта подходят для классов Матвертикали, 3 и 4 для физмат классов.
Эти работы пишутся еще до прохождения теорем синусов и косинусов. Они рассчитаны примерно на 60 минут.
Можно сделать короткий вариант на 1 урок без одной задачи.

Сюжет с центрами масс

Многие знают, что центр трех равных масс, расположенных в вершинах треугольника, находится на пересечении его медиан. В курсе нашего учебника это обсуждается в 8 и 9 классах сначала по правилу рычага, а потом с помощью группировки векторов.
Можно легко доказать, что точка пересечения медиан является также центром масс однородной треугольной пластины.
Для произвольного четырехугольника это не так: центр масс четырехугольной пластины не всегда совпадает с центром равных масс, расположенных в ее вершинах. На рисунках к этому посту вы можете видеть, что центр О масс пластины лежит между центрами масс треугольников, на которые пластину разбивает ее диагональ. На другом рисунке этот центр лежит на на отрезке КЕ. Почему это так и в каком отношении точка О делит данный отрезок?
На последнем рисунке показан способ нахождения центра масс пятиугольной пластины. Попробуйте объяснить этот способ и докажите связанный с ним интересный факт о пятиугольниках.

Выкладываю работы по тригонометрии для классов Матвертикали. Они рассчитаны примерно на 60 минут. Без одной задачи работу можно дать на 1 урок.

Формат ЕГЭ +

Вот моя новая задача, которая сформулирована в формате профильного экзамена ЕГЭ: доказательство + вычисление.
Правда, из-за своей сложности для единого экзамена она не подходит, а для читателей нашего канала в самый раз. Предлагаю вам над ней подумать!
Пишите ответы, а не решения :)

К последнему посту

Так как было много вопросов к условию вчерашней задачи, выкладываю анимацию к ней.
На ней все видно.

50 на 50

Вчера в лицее Вторая школа я провел необычный открытый урок со своим 7 классом. Половины его учеников не было - они уехали на разные турниры по математике, зато оставшуюся часть класса составили пришедшие на урок учителя.
С ребятами мы учились кратко записывать условия задач на равенство треугольников и оформлять их решения - в 7 классе это нужно обязательно делать. А проверять такое оформление я попросил пришедших к нам учителей. Большое спасибо им всем за это!
К посту я прикладываю свои листки на равенство фигур и признаки равенства треугольников. Все задачи взяты из новой версии нашего учебника. Вчера мы осваивали  последний из этих листков.