На три части. Решение.

Как разрезать любой треугольник на три части и сложить из них прямоугольный треугольник, показано на первом рисунке. Этот способ универсальный, так как проекция одной из средних линий любого треугольника лежит на его основании.

Вторым способом можно разрезать на нужные три части лишь тупоугольный треугольник. Подумайте, почему здесь важно, чтобы у треугольника был тупой угол.
Третий способ пройдет для любого равнобедренного треугольника. Он интересен тем, что все нужные части — это треугольники.

Все три способа были предложены в комментариях к условию этой задачи.

Сентябрь подходит к концу, и восьмиклассникам пора писать работу на параллелограммы и прямоугольники.
Вот примерный вариант такой работы, она рассчитана на 45-60 минут.

Геометрия и Пушкин

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», - писал Александр Сергеевич Пушкин, цитируя Жана Деламбера…
К чему это я? На этой неделе в лицее «Вторая школа» прошел Пушкинский день, и меня попросили выступить на нем с музыкальной программой, посвященной XIX веку.
Лицеисты нашего времени слушали Дорожные жалобы Пушкина, Снегиря Державина, Старого гусара Дениса Давыдова. Также я аранжировал для них песни Булата Окуджавы, Юлия Кима и Александра Городницкого.

Здравствуй, время гордых планов,
пылких клятв и долгих встреч!
Свято дружеское пламя,
да непросто уберечь.

Еще контрольные

По просьбе учителей выкладываю 2 варианта контрольной работы на параллелограммы и прямоугольники для простых классов Матвертикали и еще два варианта только на параллелограммы для физмат. классов.

Треугольник на равные части

Каждый треугольник на верхних рисунках можно разрезать на 3 равные части. Можно доказать, что треугольники другой формы этим свойством не обладают.
На двух нижних рисунках показано, как разрезать любой треугольник на 4 равные части и как равносторонний - на 6 равных частей.
А можно ли какой-то треугольник разрезать на 5 равных частей?
Есть ли треугольник, который можно разрезать на 10 или даже 13 равных частей? Особый интерес представляет случай, когда все части - треугольники:)

Пишите, на какое число равных частей вы можете разрезать треугольник и каким он должен для этого быть.

Вот вариант простой контрольной работы для 7 класса

Плечи Герасима. Решение

Если вы разведете в стороны руки, не вытягивая их, то расстояние между кончиками пальцев будет равно вашему росту. Леонардо да Винчи знал, что совершенного человека можно вписать в квадрат - он сделал такой рисунок на полях трактата римского архитектора Витрувия, поэтому его и называют витрувианским человеком.

Допустим, Герасим был сложен пропорционально.Тогда его можно вписать в квадрат, одна одна сторона которого равна росту, а другая - размаху рук или маховой сажени.Такая сажень складывается из двух аршинов и ширины плеч.
По словам Тургенева Герасим был 12 вершков росту, а на Руси считали рост взрослого человека от двух аршинов. Аршин равен 71 см, а вершок — 4,5 см. Поэтому рост Герасима равен 71*2 + 4,5*12 = 196 см. Он и правда был богатырем!
Ширина его плеч - это рост без двух аршинов, т.е.12 вершков или 54 см. Получается, что рост человека на Руси определяли по ширине его плеч!

P.S. Однако все не так просто: в плечах Герасим был меньше - загляните в комменты к посту!

Выкладываю подборку задач на тему Аксиома полуплоскостей для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока

Жёлтый квадрат

Если одна симметричная фигура вписана в другую, оси их симметрий могут совпадать. Однако так бывает не всегда: на рисунке вы можете видеть квадрат, косо вписанный в другую симметричную фигуру, образованную кругом и равнобедренным треугольником. Площадь такого квадрата чуть больше 48, и она — рациональное число.
Каким оно может быть?

Осенний марафон
Эта ссылка будет интересна как учителям, так и одиннадцатиклассникам. Как известно, геометрию на профильном ЕГЭ решают пока довольно плохо, а с задачами второй части вообще справляется не больше 1% абитуриентов. Многие ребята, запустившие геометрию в 7—9 классах, за эти две задачи просто не берутся.
Есть хороший выход: на канале Профиматика в этом октябре стартовал геометрический марафон по подготовке к ЕГЭ. Каждый день там выкладывают блок теории и несколько задач на ее закрепление. При этом идут от простого к сложному: от первых геометрических задач теста до тех самых сложных задач второй части. Все совершенно бесплатно в течение этого месяца.
Вот ссылка для регистрации.
Ударим осенним марафоном по геометрической безграмотности!

Юрий Деточкин тоже любил детей…

Дорогие учителя, сегодня я поздравляю вас с нашим профессиональным праздником!
Мы не угоняем автомобилей и не уезжаем в бесконечные командировки к родственникам. Просто работа в школе тоже похожа на погоню — погоню за знаниями или на преследование отстающих…

Давайте сегодня сбросим скорость - ведь даже Юрий Деточкин, уходя от милиции, затормозил перед знаком ДЕТИ. А в качестве маленького музыкального подарка будет вальс Андрея Петрова из фильма Берегись автомобиля :)

Ладовая постоянная. Решение

Человеческое ухо, как и другие органы чувств, воспринимает повышение звука по логарифмической шкале. Это значит, что умножение внешнего воздействия в одно и то же число раз мы ощущаем как увеличение его на одну ступень.
Поэтому, когда мы слышим, что звук стал выше на один полутон, на самом деле его частота умножилась в одно и то же число раз. Это позволяет рассчитать лады на грифе гитары и выразить ладовую постоянную через корень 12 степени из двойки.

УРА!

Вчера подписчиков нашего канала стало больше 3000.
Это круглое число имеет горизонтальную ось симметрии, и образовалось оно всего за месяц. Спасибо вам за интерес и активное участие!

Такое событие я решил отметить задачей на три весёлые буквы. Не подумайте плохого – на заборе их писать не надо, из этих букв нужно сложить геометрическую фигуру, которая также имеет ось симметрии. А нарисовать их можно по клеточкам и вырезать из бумаги. Как это сделать, показано на рисунке.
В ответ напишите, скольким клеточкам равен периметр полученной вами фигуры.

Треугольник на равные части. Решение

Любой прямоугольный треугольник можно высотой разбить на два подобных меньших треугольника. Коэффициент их подобия равен отношению гипотенуз.
Если катеты исходного треугольника относятся как 1:2, один из этих треугольников будет в 2 раза больше другого. Разрежем его на 4 равных треугольника по средним линиям — тогда исходный треугольник окажется разрезан на 5 равных.

Если катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, поступим так же: разобьем его высотой на два подобных треугольника и больший из них разрежем на 9 равных. Тогда исходный треугольник окажется разбит на 10 равных частей. Аналогично можно разрезать прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 на 13 равных треугольников.

На правом рисунке вы можете видеть равносторонний треугольник, который разбит на 5 равных частей. Правда, эти части не треугольники, и даже не связаны — каждая из них покрашена своим цветом.
Условие задачи здесь

Вот раздаточные материалы по теме Углы для 7 класса. В основном, это задачи из новой версии нашего учебника.
Материал рассчитан примерно на три урока.

Длина отрезка

Вот одна из самых красивых задач новой версии учебника за 9 класс.

Через точку пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника параллельно одной его стороне провели прямую. Часть этой прямой внутри четырехугольника делится данной точкой на отрезки с длинами
3 и 5.
Чему равен отрезок этой прямой вне четырехугольника до пересечения с продолжением его третьей стороны?

В чат пишите ответы, а не решения!

С этой красивой задачей многие справились! В новом учебнике 9 класса она стоит в теме подобие, как использование свойства гомотетии. Удивительно, что в ней хватает данных для ответа, хотя четырехугольник совершенно произвольный!

Придумал я эту задачу когда-то из соображений проективной геометрии, а потом уже увидел это красивое и простое решение — его вы можете прочитать на данном рисунке.
Это как раз тот случай, когда дополнительное построение решает все :)

Желтый квадрат. Решение

Рисунок к условию этой задачи выглядел вполне правдоподобно, но искомый желтый квадрат расположен не так: две его вершины попадают на продолжение боковых сторон зеленого треугольника. В комментах к условию можно посмотреть отличную анимацию.

Многие верно заметили, что две вершины желтого квадрата лежат на равных расстояниях от вершин В и С зеленого треугольника АВС. Правда, этого соображения не хватает, чтобы быстро получить ответ. А как это сделать, можно прочесть на рисунке к решению.
По классификации нашего учебника эта задача на три звезды.

Сюжет с кругами

Предлагаю вам мой сюжет для кружка по геометрии в трех частях. Он рассчитан на 9 класс.

Два круга вписаны в один полукруг и касаются друг друга.
А) Докажите, что диаметр полукруга из точки касания кругов всегда виден под углом 135 градусов.
Б) Радиусы кругов равны 8 и 9. Чему равен диаметр полукруга? Ответ при данных радиусах будет рациональным числом.
В) Радиусы касающихся кругов не могут сильно различаться. Оказывается, их отношение всегда меньше 6. А где проходит граница этого отношения?
То есть в каких пределах может меняться отношение радиусов таких кругов?

Комментарий:
Часть А) хорошо известна и красива.
Части Б) и В) новые.
Пишите ответы, а не решения!

Выкладываю листки для 9 класса по тригонометрии для работы на уроках и дома. Материалы в основном взяты из нашего учебника.

Листки для 7 класса по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры