Значки и кванторы

Всем хорошего дня!
Выкладываю свой листок, посвященный математическим знакам отношений и кванторам. Их удобно использовать в сильном классе для краткой записи некоторых геометрических определений и аксиом. Обычно ребятам нравится переводить высказывания с обычного русского языка на язык символов.
В новом издании учебника этот материал есть.

Угол в прямоугольном треугольнике-2, решение.

Ответ в этой задаче может удивить: искомый угол всегда больше 63 градусов. Несколько правильных решений было в комментариях. Здесь разобрано лучшее из них.

Три части
Любой равнобедренный треугольник можно разрезать на три части и сложить из них треугольник с прямым углом. Так же можно поступить с тупоугольным треугольником. Попробуйте это сделать!

А можно ли так разрезать остроугольный треугольник, я пока не знаю

Плечи Герасима

В повести Ивана Тургенева сказано, что Герасим был мужчина 12 вершков росту, сложенный богатырем. Вершок на Руси был равен двум фалангам указательного пальца, то есть около 4,5 см. Выходит, это описание противоречит здравому смыслу... Однако никакого противоречия здесь нет, так как рост взрослого мужчины в ХIХ веке считали от двух аршинов. Удивительно, но сейчас этого уже никто не помнит!
В нашем учебнике есть такая задача – найти рост Герасима в сантиметрах. Однако по этому описанию можно оценить и ширину его плеч. Можете ли вы сказать, чему она равна в сантиметрах?

Какие еще вы знаете курьезы, связанные с историческими мерами длины?

Вот отличная работа для 7 класса на исторические меры длины, которую составил мой коллега Дмитрий Эммануилович Шноль. Она рассчитана примерно на 30 минут.

Ладовая постоянная

В новом издании учебника 7 класса есть задача про лады на гитаре. Там она дана как пример на расчет длин отрезков, но интересна и сама по себе, так как лады на гитаре наглядно показывают, как устроен хорошо темперированный музыкальный строй. Двенадцатый лад делит любую струну пополам, и зажатая на нем струна звучит в унисон с открытой, то есть образует с ней октаву.

При хорошо темперированном строе каждый следующий лад повышает звук струны в одно и то же число раз. Поэтому мастера по изготовлению гитар считают расстояние между ладами, деля оставшуюся часть струны на ладовую постоянную, примерно равную 17,817. Это странное число можно вычислить точно - попробуйте это сделать!

На три части. Решение.

Как разрезать любой треугольник на три части и сложить из них прямоугольный треугольник, показано на первом рисунке. Этот способ универсальный, так как проекция одной из средних линий любого треугольника лежит на его основании.

Вторым способом можно разрезать на нужные три части лишь тупоугольный треугольник. Подумайте, почему здесь важно, чтобы у треугольника был тупой угол.
Третий способ пройдет для любого равнобедренного треугольника. Он интересен тем, что все нужные части — это треугольники.

Все три способа были предложены в комментариях к условию этой задачи.

Сентябрь подходит к концу, и восьмиклассникам пора писать работу на параллелограммы и прямоугольники.
Вот примерный вариант такой работы, она рассчитана на 45-60 минут.

Геометрия и Пушкин

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», - писал Александр Сергеевич Пушкин, цитируя Жана Деламбера…
К чему это я? На этой неделе в лицее «Вторая школа» прошел Пушкинский день, и меня попросили выступить на нем с музыкальной программой, посвященной XIX веку.
Лицеисты нашего времени слушали Дорожные жалобы Пушкина, Снегиря Державина, Старого гусара Дениса Давыдова. Также я аранжировал для них песни Булата Окуджавы, Юлия Кима и Александра Городницкого.

Здравствуй, время гордых планов,
пылких клятв и долгих встреч!
Свято дружеское пламя,
да непросто уберечь.

Еще контрольные

По просьбе учителей выкладываю 2 варианта контрольной работы на параллелограммы и прямоугольники для простых классов Матвертикали и еще два варианта только на параллелограммы для физмат. классов.

Треугольник на равные части

Каждый треугольник на верхних рисунках можно разрезать на 3 равные части. Можно доказать, что треугольники другой формы этим свойством не обладают.
На двух нижних рисунках показано, как разрезать любой треугольник на 4 равные части и как равносторонний - на 6 равных частей.
А можно ли какой-то треугольник разрезать на 5 равных частей?
Есть ли треугольник, который можно разрезать на 10 или даже 13 равных частей? Особый интерес представляет случай, когда все части - треугольники:)

Пишите, на какое число равных частей вы можете разрезать треугольник и каким он должен для этого быть.

Вот вариант простой контрольной работы для 7 класса

Плечи Герасима. Решение

Если вы разведете в стороны руки, не вытягивая их, то расстояние между кончиками пальцев будет равно вашему росту. Леонардо да Винчи знал, что совершенного человека можно вписать в квадрат - он сделал такой рисунок на полях трактата римского архитектора Витрувия, поэтому его и называют витрувианским человеком.

Допустим, Герасим был сложен пропорционально.Тогда его можно вписать в квадрат, одна одна сторона которого равна росту, а другая - размаху рук или маховой сажени.Такая сажень складывается из двух аршинов и ширины плеч.
По словам Тургенева Герасим был 12 вершков росту, а на Руси считали рост взрослого человека от двух аршинов. Аршин равен 71 см, а вершок — 4,5 см. Поэтому рост Герасима равен 71*2 + 4,5*12 = 196 см. Он и правда был богатырем!
Ширина его плеч - это рост без двух аршинов, т.е.12 вершков или 54 см. Получается, что рост человека на Руси определяли по ширине его плеч!

P.S. Однако все не так просто: в плечах Герасим был меньше - загляните в комменты к посту!

Выкладываю подборку задач на тему Аксиома полуплоскостей для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока

Жёлтый квадрат

Если одна симметричная фигура вписана в другую, оси их симметрий могут совпадать. Однако так бывает не всегда: на рисунке вы можете видеть квадрат, косо вписанный в другую симметричную фигуру, образованную кругом и равнобедренным треугольником. Площадь такого квадрата чуть больше 48, и она — рациональное число.
Каким оно может быть?

Осенний марафон
Эта ссылка будет интересна как учителям, так и одиннадцатиклассникам. Как известно, геометрию на профильном ЕГЭ решают пока довольно плохо, а с задачами второй части вообще справляется не больше 1% абитуриентов. Многие ребята, запустившие геометрию в 7—9 классах, за эти две задачи просто не берутся.
Есть хороший выход: на канале Профиматика в этом октябре стартовал геометрический марафон по подготовке к ЕГЭ. Каждый день там выкладывают блок теории и несколько задач на ее закрепление. При этом идут от простого к сложному: от первых геометрических задач теста до тех самых сложных задач второй части. Все совершенно бесплатно в течение этого месяца.
Вот ссылка для регистрации.
Ударим осенним марафоном по геометрической безграмотности!

Юрий Деточкин тоже любил детей…

Дорогие учителя, сегодня я поздравляю вас с нашим профессиональным праздником!
Мы не угоняем автомобилей и не уезжаем в бесконечные командировки к родственникам. Просто работа в школе тоже похожа на погоню — погоню за знаниями или на преследование отстающих…

Давайте сегодня сбросим скорость - ведь даже Юрий Деточкин, уходя от милиции, затормозил перед знаком ДЕТИ. А в качестве маленького музыкального подарка будет вальс Андрея Петрова из фильма Берегись автомобиля :)

Ладовая постоянная. Решение

Человеческое ухо, как и другие органы чувств, воспринимает повышение звука по логарифмической шкале. Это значит, что умножение внешнего воздействия в одно и то же число раз мы ощущаем как увеличение его на одну ступень.
Поэтому, когда мы слышим, что звук стал выше на один полутон, на самом деле его частота умножилась в одно и то же число раз. Это позволяет рассчитать лады на грифе гитары и выразить ладовую постоянную через корень 12 степени из двойки.

УРА!

Вчера подписчиков нашего канала стало больше 3000.
Это круглое число имеет горизонтальную ось симметрии, и образовалось оно всего за месяц. Спасибо вам за интерес и активное участие!

Такое событие я решил отметить задачей на три весёлые буквы. Не подумайте плохого – на заборе их писать не надо, из этих букв нужно сложить геометрическую фигуру, которая также имеет ось симметрии. А нарисовать их можно по клеточкам и вырезать из бумаги. Как это сделать, показано на рисунке.
В ответ напишите, скольким клеточкам равен периметр полученной вами фигуры.

Треугольник на равные части. Решение

Любой прямоугольный треугольник можно высотой разбить на два подобных меньших треугольника. Коэффициент их подобия равен отношению гипотенуз.
Если катеты исходного треугольника относятся как 1:2, один из этих треугольников будет в 2 раза больше другого. Разрежем его на 4 равных треугольника по средним линиям — тогда исходный треугольник окажется разрезан на 5 равных.

Если катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, поступим так же: разобьем его высотой на два подобных треугольника и больший из них разрежем на 9 равных. Тогда исходный треугольник окажется разбит на 10 равных частей. Аналогично можно разрезать прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 на 13 равных треугольников.

На правом рисунке вы можете видеть равносторонний треугольник, который разбит на 5 равных частей. Правда, эти части не треугольники, и даже не связаны — каждая из них покрашена своим цветом.
Условие задачи здесь

Вот раздаточные материалы по теме Углы для 7 класса. В основном, это задачи из новой версии нашего учебника.
Материал рассчитан примерно на три урока.