Диагностические работы января для 7 и 8 класса

14 января пройдет диагностическая работа по геометрии для 7 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/geom-7-14-01/

20 января пройдет диагностическая работа по алгебре, теории вероятностей и статистике для 8 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/alg-stat-8-20-01/

27 января пройдет диагностическая работа по геометрии для 8 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/geom-8-27-01/

#диагностики #7_класс #8_класс

Апельсины в ящике

Чебурашка нашел на дне ящика 12 одинаковых круглых апельсинов. Все они касались друг друга и стенок ящика - только один чуть помялся с одного боку. Чебурашка измерил расстояния между точками касания апельсинов со стенками и углами ящика и получил 16, 17, 19,2 и 21 см. Помогите ему ответить на вопросы:
А) Какой диаметр у апельсина?
Б) Чему равны стороны ящика?
В) Правда ли, что один апельсин касается стенки ящика в ее середине?
Г) Сколько апельсинов можно положить на дно?

Отрезок в трапеции

Если прямая не параллельна основаниям трапеции и делит ее боковые стороны в одном отношении, она не может проходить через точку пересечения диагоналей трапеции. Кстати, данное утверждение — простая хорошая задача для учеников 8 класса. В связи с этим возникает естественный вопрос: каков минимальный отрезок такой прямой может лежать между диагоналями трапеции? Ответ на него можно получить для любой трапеции, но в данной задаче ее размеры подобраны так, чтобы ответ был хороший, а решение — довольно коротким.

Доклад о проекции

Параллельное проектирование в геометрии — одна из моих любимых тем. Она еще не столь сложна и абстрактна, как классическая проективная геометрия, основанная на перспективе. Поэтому этот материал доступен многим школьникам — он отлично подходит для кружковых занятий, я же давал его на уроках.
В этот четверг 29 января в МЦНМО мне предложили сделать доклад на эту тему и кратко рассказать об ее жемчужинах: теоремах Дезарга и Ньютона, прямой Гаусса, сжатии окружности, эллипсах Штейнера, форме месяца на небе, о проекциях высот треугольника и вписанного в круга, о построениях короткой линейкой, о невозможности некоторых построений. Кроме этого, метод параллельного проектирования может эффективно использоваться для решения обычных задач стереометрии — примеры такие тоже будут. Приходите на доклад в столовую МЦНМО. Начало в 19 часов.
А для иллюстрации самого подхода предлагаю всем желающим решить мою задачу на рисунке к этому посту. Ее решение я расскажу в четверг.

Семинар в МЦНМО

Вчера на семинаре в Московском центре непрерывного математического образования я рассказывал о параллельном проектировании на уроках геометрии в школе, аффинных преобразованиях, теоремах Ньютона и Дезарга, построениях короткой линейкой и т. д. Кроме того, мы разобрали решение красивой новой задачи, выложенной в предыдущем посте. Некоторые утверждения, о которых шла речь, — кладезь таких задач. На семинаре был аншлаг, несмотря на снежный коллапс, накрывший вчера столицу. Спасибо всем, кто пришел! Презентацию к своему докладу я выкладываю в следующем посте. Видео тоже будет — оно появится немного позже.

Диагностика

На этой неделе 8 классы школ проекта «Математическая вертикаль» писали диагностику по геометрии, к составлению которой я имел прямое отношение. Учителя просили меня выложить условие этой работы и для других школ, так как она показалась им удачной. Что я и делаю:)

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, выкладываем методические рекомендации к параграфу 8 класса "Площадь". Площадь - очень естественная вещь. По словам Геродота именно с измерения площадей наделов вдоль Нила в Древнем Египте и началось землемерное искусство, которое потом было перенесено в Элладу. Эта тема начинается с обсуждения единиц площади, потом с задач на клетчатой бумаге, и только потом проходятся ее основные свойства (аксиомы) и формулы для многоугольников. Также обсуждаются методы дополнительной площади, разбиения фигур на равновеликие треугольники, свойство и признак трапеции. Завершает параграф теорема о равносоставленности многоугольников равной площади.

Квадрат и круг

Предлагаю простую задачу для 8 класса. Для ее решения даже не обязательно знать теорему Пифагора.

На одной прямой

Предлагаю еще одну конструкцию из четырех правильных фигур и одного круга. На глаз кажется, что три отмеченные точки лежат на одной прямой. А что скажет об этом точная геометрия?

Три построения

В нашем канале давно не было построений циркулем и линейкой. Три предлагаемые вам задачи я придумал и специально расположил по принципу «от простого — к сложному». Первая из них доступна любому ученику 8 класса и требует просто немного сообразительности. А вот вторую и особенно третью задачи решить «от печки», скорее всего, не получится. Они требуют некоторых общих знаний, о которых, например, я рассказывал в своем докладе неделю назад. Впрочем, вы можете попробовать обойтись и без них — если один по горам ходит пешком, то другой может подняться по вертикальной стене:)

Параллельная проекция

Появилось видео моей лекции о параллельном проектировании в МЦНМО. Презентация к нему в соответствующем посте выше. Примерно половина этого материала войдет в новый учебник по стереометрии для 10 класса. Остальное можно использовать на занятии кружков по математике https://youtu.be/6COlDaNrsKM

18 параллелограммов

Предлагаю свою новую задачу на хорды окружности. Она подойдет для учеников 8 и 9 классов. Кроме того, такой формат наверняка будет хорош для теста с выбором ответа.

Пять параллелограммов

Предлагаю задачу по следам моего доклада о параллельной проекции. В любой эллипс можно поместить такую «гармошку» из пяти параллелограммов. Интересно, что их площади всегда относятся друг к другу одинаково. Чему равны эти отношения?

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, выкладываем методические рекомендации к параграфу 8 класса «Методы площадей».
Все расчеты частей треугольника, на которые он разбивается своими чевианами, можно находить по отношениям на его сторонах без применения подобия или теоремы Менелая буквально в течение минуты.
С помощью площадей легко доказать свойство биссектрисы треугольника, замечательное свойство трапеции или теорему о пропорциональных отрезках. Именно так поступали древние греки — они использовали площадь постоянно для доказательств и расчетов, даже суммы целых чисел записывали через неё.
Также в параграфе рассматривается отношение площадей подобных фигур и метод суммирования площадей частей четырехугольников.

Центр масс дуги и неравенства

Центр масс половины окружности из однородной проволоки обычно считают через интеграл. Оказывается, его можно найти из соображений симметрии, если применить первый замечательный предел (суть его в том, что синус угла, близкого к нулю, в пределе не отличается от величины самого угла). Аналогично легко получить центр масс дуги окружности.
Интересно, что рассмотрение центров масс таких дуг позволяет доказывать далеко не очевидные неравенства для углов и их синусов. Я предлагаю вам это тоже сделать:)

Круги над квадратом

Предлагаю подумать над такой задачей комбинаторной геометрии: 3 равных круга целиком накрывают единичный квадрат. Каков их наименьший радиус?
Здесь интересно додуматься до оптимального расположения нужных кругов, но и само собой — привести доказательство этой оптимальности.
Аналогичная более простая задача помещена под пунктом А) этого поста.
При желании продвинутые читатели могут подумать над аналогами данной задачи для четырех или пяти кругов, или вообще заменить квадрат на правильный треугольник.

Техника Акварели

Так называется книга моих стихов, многие из которых стали песнями. В некотором смысле так же я работаю с музыкой и словом.
Год назад 10 марта я вышел из больницы, в которой неделю был между жизнью и смертью, можно сказать, заново родился. Теперь 10 марта я приглашаю вас всех на свой концерт в кафе Пушкарев — приходите, не пожалеете. Но должен предупредить: мои песни — это не музыка для ног, скорее они — бальзам для души:)
А вот ссылка на билеты:

https://moscow.qtickets.events/217158-10-marta-maksim-volchkevich-tekhnika-akvareli-pushkarev