Вот мои материалы к параграфу "Точка. Прямая. Плоскость."
Внимание: задача с 25 точками довольно сложная!

Угол в прямоугольном треугольнике.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит пополам отрезок между точкой ее касания с катетом и противоположной вершиной. Какой угол образует этот отрезок с катетом треугольника?

Это моя новая задача на прямоугольный треугольник. Ее может легко решить восьмиклассник, сложнее это будет сделать девятикласснику, а в одиннадцатом классе ее можно вообще не решить… А как она получится у вас?
Присылайте пока ответы, а не решения!

Выкладываю свою подборку задач для занятия на повторение вписанных углов в начале 9 класса.

Вот решение задачи про угол в прямоугольном треугольнике. Для него достаточно только знаний материала 7 класса и свойства касательной.
В комментариях к условию задачи есть и такое же решение, и много других.

Угол в прямоугольном треугольнике - 2

В произвольный прямоугольный треугольник вписали окружность. Точку ее касания с гипотенузой соединили с противоположной вершиной. Полученный отрезок образует с гипотенузой острый угол. Выберите из таблицы его возможные значения.

Значки и кванторы

Всем хорошего дня!
Выкладываю свой листок, посвященный математическим знакам отношений и кванторам. Их удобно использовать в сильном классе для краткой записи некоторых геометрических определений и аксиом. Обычно ребятам нравится переводить высказывания с обычного русского языка на язык символов.
В новом издании учебника этот материал есть.

Угол в прямоугольном треугольнике-2, решение.

Ответ в этой задаче может удивить: искомый угол всегда больше 63 градусов. Несколько правильных решений было в комментариях. Здесь разобрано лучшее из них.

Три части
Любой равнобедренный треугольник можно разрезать на три части и сложить из них треугольник с прямым углом. Так же можно поступить с тупоугольным треугольником. Попробуйте это сделать!

А можно ли так разрезать остроугольный треугольник, я пока не знаю

Плечи Герасима

В повести Ивана Тургенева сказано, что Герасим был мужчина 12 вершков росту, сложенный богатырем. Вершок на Руси был равен двум фалангам указательного пальца, то есть около 4,5 см. Выходит, это описание противоречит здравому смыслу... Однако никакого противоречия здесь нет, так как рост взрослого мужчины в ХIХ веке считали от двух аршинов. Удивительно, но сейчас этого уже никто не помнит!
В нашем учебнике есть такая задача – найти рост Герасима в сантиметрах. Однако по этому описанию можно оценить и ширину его плеч. Можете ли вы сказать, чему она равна в сантиметрах?

Какие еще вы знаете курьезы, связанные с историческими мерами длины?

Вот отличная работа для 7 класса на исторические меры длины, которую составил мой коллега Дмитрий Эммануилович Шноль. Она рассчитана примерно на 30 минут.

Ладовая постоянная

В новом издании учебника 7 класса есть задача про лады на гитаре. Там она дана как пример на расчет длин отрезков, но интересна и сама по себе, так как лады на гитаре наглядно показывают, как устроен хорошо темперированный музыкальный строй. Двенадцатый лад делит любую струну пополам, и зажатая на нем струна звучит в унисон с открытой, то есть образует с ней октаву.

При хорошо темперированном строе каждый следующий лад повышает звук струны в одно и то же число раз. Поэтому мастера по изготовлению гитар считают расстояние между ладами, деля оставшуюся часть струны на ладовую постоянную, примерно равную 17,817. Это странное число можно вычислить точно - попробуйте это сделать!

На три части. Решение.

Как разрезать любой треугольник на три части и сложить из них прямоугольный треугольник, показано на первом рисунке. Этот способ универсальный, так как проекция одной из средних линий любого треугольника лежит на его основании.

Вторым способом можно разрезать на нужные три части лишь тупоугольный треугольник. Подумайте, почему здесь важно, чтобы у треугольника был тупой угол.
Третий способ пройдет для любого равнобедренного треугольника. Он интересен тем, что все нужные части — это треугольники.

Все три способа были предложены в комментариях к условию этой задачи.

Сентябрь подходит к концу, и восьмиклассникам пора писать работу на параллелограммы и прямоугольники.
Вот примерный вариант такой работы, она рассчитана на 45-60 минут.

Геометрия и Пушкин

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», - писал Александр Сергеевич Пушкин, цитируя Жана Деламбера…
К чему это я? На этой неделе в лицее «Вторая школа» прошел Пушкинский день, и меня попросили выступить на нем с музыкальной программой, посвященной XIX веку.
Лицеисты нашего времени слушали Дорожные жалобы Пушкина, Снегиря Державина, Старого гусара Дениса Давыдова. Также я аранжировал для них песни Булата Окуджавы, Юлия Кима и Александра Городницкого.

Здравствуй, время гордых планов,
пылких клятв и долгих встреч!
Свято дружеское пламя,
да непросто уберечь.

Еще контрольные

По просьбе учителей выкладываю 2 варианта контрольной работы на параллелограммы и прямоугольники для простых классов Матвертикали и еще два варианта только на параллелограммы для физмат. классов.

Треугольник на равные части

Каждый треугольник на верхних рисунках можно разрезать на 3 равные части. Можно доказать, что треугольники другой формы этим свойством не обладают.
На двух нижних рисунках показано, как разрезать любой треугольник на 4 равные части и как равносторонний - на 6 равных частей.
А можно ли какой-то треугольник разрезать на 5 равных частей?
Есть ли треугольник, который можно разрезать на 10 или даже 13 равных частей? Особый интерес представляет случай, когда все части - треугольники:)

Пишите, на какое число равных частей вы можете разрезать треугольник и каким он должен для этого быть.

Вот вариант простой контрольной работы для 7 класса

Плечи Герасима. Решение

Если вы разведете в стороны руки, не вытягивая их, то расстояние между кончиками пальцев будет равно вашему росту. Леонардо да Винчи знал, что совершенного человека можно вписать в квадрат - он сделал такой рисунок на полях трактата римского архитектора Витрувия, поэтому его и называют витрувианским человеком.

Допустим, Герасим был сложен пропорционально.Тогда его можно вписать в квадрат, одна одна сторона которого равна росту, а другая - размаху рук или маховой сажени.Такая сажень складывается из двух аршинов и ширины плеч.
По словам Тургенева Герасим был 12 вершков росту, а на Руси считали рост взрослого человека от двух аршинов. Аршин равен 71 см, а вершок — 4,5 см. Поэтому рост Герасима равен 71*2 + 4,5*12 = 196 см. Он и правда был богатырем!
Ширина его плеч - это рост без двух аршинов, т.е.12 вершков или 54 см. Получается, что рост человека на Руси определяли по ширине его плеч!

P.S. Однако все не так просто: в плечах Герасим был меньше - загляните в комменты к посту!

Выкладываю подборку задач на тему Аксиома полуплоскостей для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока