Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические указания к урокам 7 класса. Сегодня они будут к параграфу о полуплоскостях. Аксиомы полуплоскостей не было у Евклида, она появилась лишь во второй половине lXX века в работах Морица Паша как аксиома про треугольник, который пересекает прямая. Интересно отметить, что к этому времени уже был разработан математический анализ, была доказана теорема Больцано, вовсю использовались комплексные числа и была открыта геометрия Лобачевского. Видно, раньше формулировать такие очевидные свойства плоскости ученым просто не приходило в голову.
Сейчас эту аксиому принято формулировать через половины плоскости, которые разделяет прямая, и отрезок, пересекающий или не пересекающий эту прямую. Немного забегая вперед, стоит сказать, что эту же аксиому можно сформулировать короче: любая прямая разбивает плоскость на две выпуклые части — полуплоскости.

Шар в призме

Предлагаю задачу на доказательство в стереометрии. Зная несколько фактов, его можно провести даже устно. Попробуйте это сделать!
Сначала похожее утверждение я сформулировал для пирамиды - к сожалению, оно оказалось неверно. Первым ошибку заметил Николай @kosovnn - спасибо ему большое за это!

Методичка

В помощь учителям проекта «Математическая вертикаль» продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по нашему учебнику. Сегодня это тема 7 класса «Углы». Понятие угла, как и понятие отрезка, очень важно для геометрии и жизни. С помощью углов находят расстояния до недоступных предметов, отношения сторон треугольника, определяют время по стрелкам часов, а в древности — по движению тени от палки. Для учеников 7 класса понятие угла — это еще и хорошая работа с определениями, обозначениями, свойствами углов, часами и сложением бумаги. Так же важно понятие плоского угла как части плоскости. Без него трудно будет работать с углами многоугольников или центральными углами в окружности. Завершает параграф текст об астролябии — прибору, которым многие века мореплаватели определяли широту, на которой находятся. Файл с методичкой в первом комменте.

Треугольники в полукруге

Предлагаю вашему вниманию свою задачу о конфигурации двух правильных треугольников в половине круга. По своему формату она похожа на задачи второй части ЕГЭ. Попробуйте найти красивое объяснение пункта А этой задачи. Анимацию к ней сделал Леонид Иванов. Статичное условие читайте во втором комменте к посту.

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по геометрии. На этот раз это параграф 8 класса Трапеция.
В переводе с языка греков трапеция — это стол. От этого греческого стола произошли церковно-славянские слова трапеза, трапезная и другие.
Но главное — трапеция является самым естественным и простым изображением обычного прямоугольника в перспективе. Поэтому продолжения ее боковых сторон должны пересекаться на линии горизонта перспективы и не будут параллельными. Вот почему параллелограмм не является частным случаем трапеции, хотя так считают некоторые учителя. Кроме того, если бы параллелограмм был трапецией, то пришлось бы считать его равнобокой трапецией, так как у него равны противоположные стороны. Тогда у него будут равны диагонали, и он должен быть прямоугольником. А это уже ни в какие ворота не лезет.
Важно, что трапеция однозначно определяется длинами своих оснований и боковых сторон. На этом основана жесткость некоторых простых фигур. А чтобы увидеть обычную прямоугольную книгу, лежащую на столе, как трапецию, достаточно посмотреть на неё через камеру своего мобильного телефона, держа его низко над столом. Соответствующее фото есть в нашем параграфе. Кстати, а какая там лежит книга?

ЕГЭ+

Предлагаю задачу в стиле ЕГЭ, хотя она и сложнее тех, что дают на экзаменах. Решить ее можно разными способами, в том числе с помощью выхода в пространство. Попробуйте это сделать!

ЕГЭ+ Решение

Выкладываю решение задачи про треугольник, составленный из трех отрезков. Оно интересно тем, что быстро решается с помощью выхода в трехмерное пространство. Попутно я доказываю полезное утверждение: боковая высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот ее боковой грани. Это утверждение полезно для многих задач с правильными пирамидами.
Чисто планиметрическое решение разобранной задачи вы можете прочитать в комментарии к ее условию.

10 000

Вчера число подписчиков нашего канала перевалило за 10 тысяч.
Этот рубеж я решил отметить своей песней о молодом шкипере, который под парусом впервые выходит в открытое море с его могучими волнами, белой пеной и штормовым ветром. А живое ее исполнение вы можете услышать на моем концерте в конце ноября.

Отрезки в четырехугольнике

Предлагаю свою новую задачу
о двух параллельных отрезках
в любом четырехугольнике. Если четырехугольник - параллелограмм, такие отрезки лежат на одной прямой.
У меня есть довольно сложное доказательство этого красивого факта в общем случае. Возможно, кто-нибудь из читателей нашего канала найдет для него короткое и желательно геометрическое доказательство. Пишите свои идеи в комментариях к этому посту:)

Методичка

Продолжаем в помощь учителями выкладывать методические рекомендации к урокам по нашему учебнику. Сегодня это тема 7 класса Ломаная и многоугольник. В этой теме много конструкций и есть комбинаторика - все это обычно вызывает интерес у школьников. Понятие ломаной не так просто, как кажется на первый взгляд. Ломаная - фигура, состоящая из отрезков, а последовательность ее вершин только задает фигуру. В этом смысле, обратный порядок вершин задает ту же ломаную. По той же логике точки А, В или В, А задают один отрезок АВ. Многоугольник - это простая замкнутая ломаная или, говоря образно, забор вокруг участка земли. В этом смысле важно понятие плоского многоугольника и его угла. Кроме того нужно понимать, что несколько точек могут являться вершинами нескольких разных многоугольников.

Равные площади

Предлагаю свою новую задачу о площадях и средних линиях в выпуклом четырехугольнике. Ее частные случаи легко проверяются для трапеции. Пишите свои комментарии и доказательства. Верно ли это утверждение для невыпуклых четырехугольников?

Шесть кругов в четырехугольнике

Вот новая задача Федора Нилова. Она кажется сложной, однако ее легко может решить ученик 8 класса. Впрочем, сам Федор такие задачи решал уже в седьмом - я это помню как его учитель. Попробуйте доказать данный красивый факт, просто глядя на этот рисунок!

В углы описанного четырехугольника вписали (зеленые) окружности. К каждой паре зеленых окружностей, касающихся одной стороны, провели вторую внешнюю касательную. Докажите, что данные прямые касаются одной окружности.

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к нашему учебнику. В этот раз это тема 7 класса «Равные фигуры». Понятие равенства очень важно как для геометрии Евклида, так и для деятельности человека. Печати на документах, одинаковые монеты или здания, детали машин и механизмов - все это равные фигуры.
Понятие равенства прямо связано с движением твердого тела, при котором сохраняются все расстояния между его точками. Неоднократно делались попытки в образовании равные фигуры называть конгруэнтными, так как равенство в теории множеств означает совпадение их всех элементов. Однако эта терминология оказалась слишком формальной и не прижилась в школе.
Существует много прекрасных задач, в которых нужно данную фигуру разрезать на равные части. С ними школьники часто справляются лучше учителей. Это лишний раз показывает, что интуиция в геометрии значит не меньше логики.