Прямоугольник в секторе

Предлагаю свою новую задачу на расположение прямоугольника в секторе круга. Интересно, как вы ее решите без особых расчетов. Свои решения пишите под спойлерами. Скажу только, что ответ этой задачи — рациональное число.

Методичка

Выкладываем методические указания ко второму параграфу 8 класса «Дополнительные построения, связанные с параллелограммом». Эти несколько стандартных построений очень важны для умения решать задачи и хорошо воспроизводятся школьниками.

Квадрат в треугольнике

Предлагаю задачу на конфигурацию квадрата в треугольнике. Для ее решения потребуется знание подобия, теоремы Пифагора и немного сообразительности. В ответе должно получится рациональное число.

Подобные прямоугольники

Предлагаю задачу на подобие и вписанные углы. Данная конфигурация наверняка таит в себе немало и других интересных свойств. Например, прямая, соединяющая оставшиеся вершины прямоугольников, проходит через точку пересечения двух данных прямых. Попробуйте поискать и другие свойства!

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические указания к урокам 7 класса. Стоит сказать, что Евклид под прямой понимал отрезок между двумя точками, и для древних греков он был еще абстрактной моделью натянутой между ними веревки. Бесконечная же прямая была для них неограниченно продолженным (или повешенным) за оба конца отрезком. Поэтому здесь возникает интересная аналогия с плоскостью: бесконечная прямая содержит в себе все отрезки между своими точками, а бесконечная плоскость содержит в себе все прямые между любыми точками на ней.
Параграф завершается дополнительным разделом о геодезических линиях на Земле и знакомством с кванторами. Здесь полезно будет с ребятами натянуть веревку на глобусе между Москвой и Нью-Йорком и записать с помощью кванторов аксиому прямой линии.

Решение задач

Выкладываем решение двух задач о квадратах и прямоугольнике в секторе круга. Вторая задача не требует расчетов и даже теоремы Пифагора.
Так же отмечу, что диагонали такого прямоугольника равны радиусу окружности. Попробуйте это получить тоже без расчетов!

Методичка

Продолжаем выкладывать методические материалы к урокам нашего учебника. В этом параграфе 7 класса даются определения отрезка и луча, связанные с аксиомой порядка точек на прямой и понятием «лежать между». Часто задают вопрос: «Принадлежат ли отрезку его концы?» Мы считаем, что принадлежат - это не противоречит понятию отрезка на числовой прямой и соответствует идеализации натянутой веревки между двумя точками.

Большое внимание отводится историческим мерам длины и практическим задачам на отношение отрезков. Здесь я рекомендую задачу с ладами гитары, можно посмотреть видео моего поста. Завершает параграф знакомство с работой штангенциркуля и объяснение метода двух шкал.

Методичка

Продолжаем выкладывать методические материалы к нашим учебникам. На этот раз они касаются темы о прямоугольниках, ромбах и квадратах. Материал параграфа большой, там много рассказов, свойств и признаков этих фигур. Есть дополнительные материалы для сильных учеников. Самые сложные задачи связаны с конфигурациями нескольких квадратов.

Отношение сторон

Предлагаю новую задачу на вычисление и тригонометрию. Понятно, что ее ответ - это тангенс угла между стороной и диагональю прямоугольника. Сразу скажу, что искомое число является корнем кубического уравнения с целыми коэффициентами. Какое это уравнение, и чему примерно равен указанный угол?

Поздравляю всех учителей с нашим общим праздником! Здоровья и сил вам, терпения и благодарных учеников! Учитель - это призвание, как сказал ДАМ, дальше продолжать не буду.
Когда-то я начинал работать в школе 710 с Евгением Бунимовичем.
Вот его стихи того времени о школе, осени и России.

Падают доски… Идет общешкольный ремонт.
Он затянулся,
как подобает ремонту.
Я засыпаю во время контрольных работ.
Но подавляю,
как подобает, зевоту.

Падают листья… В класс залетает, кружась,
несколько реплик
прораба откуда-то сверху.
Школы и жизни осуществляется связь.
В третьей задаче
не забывайте проверку.

Осень в России…
В четвертой задаче чертеж
необходим,
и говоря откровенно,
выйдешь из школы —
Бог знает куда попадешь
в хрестоматийной
листве по колено.

В пятой задаче пункт А
очевидней, чем Б…
Разве отыщешь ответ
на таком листопаде,
если доказано,
что равносильна судьбе
осень в России….
Звонок.
Соберите тетради.

Площадь прямоугольника

Предлагаю свою задачу на максимум. В сектор круга с прямым углом можно вписать много прямоугольников, две вершины которых лежат на его окружности. Чему равна наибольшая площадь прямоугольника такого вида, если радиус круга равен 1?
Каким должно быть отношение его сторон?
Анимацию к этой задаче сделал Леонид Иванов. Он же автор красивого и сложного макета всех наших учебников по геометрии (вот ссылка на его канал анимаций).
Хотели бы чаще видеть такой формат в нашем канале?

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические указания к урокам 7 класса. Сегодня они будут к параграфу о полуплоскостях. Аксиомы полуплоскостей не было у Евклида, она появилась лишь во второй половине lXX века в работах Морица Паша как аксиома про треугольник, который пересекает прямая. Интересно отметить, что к этому времени уже был разработан математический анализ, была доказана теорема Больцано, вовсю использовались комплексные числа и была открыта геометрия Лобачевского. Видно, раньше формулировать такие очевидные свойства плоскости ученым просто не приходило в голову.
Сейчас эту аксиому принято формулировать через половины плоскости, которые разделяет прямая, и отрезок, пересекающий или не пересекающий эту прямую. Немного забегая вперед, стоит сказать, что эту же аксиому можно сформулировать короче: любая прямая разбивает плоскость на две выпуклые части — полуплоскости.

Шар в призме

Предлагаю задачу на доказательство в стереометрии. Зная несколько фактов, его можно провести даже устно. Попробуйте это сделать!
Сначала похожее утверждение я сформулировал для пирамиды - к сожалению, оно оказалось неверно. Первым ошибку заметил Николай @kosovnn - спасибо ему большое за это!

Методичка

В помощь учителям проекта «Математическая вертикаль» продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по нашему учебнику. Сегодня это тема 7 класса «Углы». Понятие угла, как и понятие отрезка, очень важно для геометрии и жизни. С помощью углов находят расстояния до недоступных предметов, отношения сторон треугольника, определяют время по стрелкам часов, а в древности — по движению тени от палки. Для учеников 7 класса понятие угла — это еще и хорошая работа с определениями, обозначениями, свойствами углов, часами и сложением бумаги. Так же важно понятие плоского угла как части плоскости. Без него трудно будет работать с углами многоугольников или центральными углами в окружности. Завершает параграф текст об астролябии — прибору, которым многие века мореплаватели определяли широту, на которой находятся. Файл с методичкой в первом комменте.

Треугольники в полукруге

Предлагаю вашему вниманию свою задачу о конфигурации двух правильных треугольников в половине круга. По своему формату она похожа на задачи второй части ЕГЭ. Попробуйте найти красивое объяснение пункта А этой задачи. Анимацию к ней сделал Леонид Иванов. Статичное условие читайте во втором комменте к посту.

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по геометрии. На этот раз это параграф 8 класса Трапеция.
В переводе с языка греков трапеция — это стол. От этого греческого стола произошли церковно-славянские слова трапеза, трапезная и другие.
Но главное — трапеция является самым естественным и простым изображением обычного прямоугольника в перспективе. Поэтому продолжения ее боковых сторон должны пересекаться на линии горизонта перспективы и не будут параллельными. Вот почему параллелограмм не является частным случаем трапеции, хотя так считают некоторые учителя. Кроме того, если бы параллелограмм был трапецией, то пришлось бы считать его равнобокой трапецией, так как у него равны противоположные стороны. Тогда у него будут равны диагонали, и он должен быть прямоугольником. А это уже ни в какие ворота не лезет.
Важно, что трапеция однозначно определяется длинами своих оснований и боковых сторон. На этом основана жесткость некоторых простых фигур. А чтобы увидеть обычную прямоугольную книгу, лежащую на столе, как трапецию, достаточно посмотреть на неё через камеру своего мобильного телефона, держа его низко над столом. Соответствующее фото есть в нашем параграфе. Кстати, а какая там лежит книга?