Угол в треугольнике

Простые конфигурации известных фигур по-прежнему хранят в себе много загадок. Вот одна из них - угол в правильном треугольнике, куда вписали квадрат. Эта моя задача рассчитана на учеников 8 класса и будет хороша для повторения вписанных углов в начале девятого. Как обычно, в комментах пишите только ответы:)

Методичка

В помощь учителям, которые работают по нашим учебникам в проекте Математической вертикали, мы начинаем выкладывать в канале методические рекомендации к проведению уроков и домашним заданиям. Сегодня первый такой пост - к первому параграфу 8 класса Параллелограмм ( он рассчитан на 5 уроков).
Методичка включает "дорожную карту" - краткий и минимальный перечень необходимого материала, общие пояснения, указания к упражнениям и задачам, а также математический диктант и проверочную работу на готовых рисунках.
Эту методичку сделала замечательный учитель Ю.В.Е. Она с успехом работает по нашим учебникам вот уже 5 лет.

Угол в треугольнике. Решение

Выкладываю решение задачи об угле в правильном треугольнике. Оно опирается на теорию вписанных углов. Интересно, что эту задачу можно решить и методами 7 класса - попробуйте это сделать!
В следующем посте я прикрепляю решение той же задачи от чата ИИ DeepSeek. Искусственный интеллект решил ее за 7 минут чистой аналитикой и векторным методом. Это было возможно, поскольку все фигуры в задаче правильные, и они легко считаются в координатах.
Замечу, что некоторые учителя учат школьников, ровно так же. Что можно тут сказать! Добавлю только, что подобное решение, данное учеником, должно сразу вызвать подозрение в использовании им ИИ.
Слава Богу, очень многие задачи элементарной геометрии не по зубам таким чатам!

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к урокам по геометрии проекта Математическая вертикаль. На этот раз они касаются первых уроков в 7 классе. Это рекомендации к параграфам Первые ученые и Геометрические фигуры. Урок «Первые ученые» важен для общего развития, урок «Геометрические фигуры» в первую очередь важен для повторения знаний, полученных в 5—6 классах и развития мозгов на понятном детям материале. Не стоит начинать курс геометрии классически : сразу с аксиом и простейших выводов из них — для этого у школьников 7 класса еще недостаточно мотивации. Делая так, есть риск их потерять.

Квадраты в секторе

Предлагаю задачу на конфигурацию фигур с хорошим ответом. Для неё, скорее всего, потребуется знание теоремы Пифагора и умение решить квадратное уравнение. Задача подойдет для школьников во второй половине 8 класса или для повторения в 9 —11 классах.

Об учебниках

Продолжаем обсуждать особенности преподавания геометрии в проекте Математическая вертикаль. На этот раз разговор пойдет о преподавании в начале 9 или 10 классов. В девятом - это геометрический подход к началам тригонометрии и второй заход на подобие фигур, гомотетию + теоремы Чевы и Менелая. В первую очередь я показываю здесь отличия новой версии учебников от первого издания.
В десятом - это построение сечений, параллельное проектирование, перпендикулярность прямых и плоскостей.
Вот ссылка на запись летней моей лекции с учителями ВШЭ:
https://disk.360.yandex.ru/i/ioV0x8bBFoY8eg

Прямоугольник в секторе

Предлагаю свою новую задачу на расположение прямоугольника в секторе круга. Интересно, как вы ее решите без особых расчетов. Свои решения пишите под спойлерами. Скажу только, что ответ этой задачи — рациональное число.

Методичка

Выкладываем методические указания ко второму параграфу 8 класса «Дополнительные построения, связанные с параллелограммом». Эти несколько стандартных построений очень важны для умения решать задачи и хорошо воспроизводятся школьниками.

Квадрат в треугольнике

Предлагаю задачу на конфигурацию квадрата в треугольнике. Для ее решения потребуется знание подобия, теоремы Пифагора и немного сообразительности. В ответе должно получится рациональное число.

Подобные прямоугольники

Предлагаю задачу на подобие и вписанные углы. Данная конфигурация наверняка таит в себе немало и других интересных свойств. Например, прямая, соединяющая оставшиеся вершины прямоугольников, проходит через точку пересечения двух данных прямых. Попробуйте поискать и другие свойства!

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические указания к урокам 7 класса. Стоит сказать, что Евклид под прямой понимал отрезок между двумя точками, и для древних греков он был еще абстрактной моделью натянутой между ними веревки. Бесконечная же прямая была для них неограниченно продолженным (или повешенным) за оба конца отрезком. Поэтому здесь возникает интересная аналогия с плоскостью: бесконечная прямая содержит в себе все отрезки между своими точками, а бесконечная плоскость содержит в себе все прямые между любыми точками на ней.
Параграф завершается дополнительным разделом о геодезических линиях на Земле и знакомством с кванторами. Здесь полезно будет с ребятами натянуть веревку на глобусе между Москвой и Нью-Йорком и записать с помощью кванторов аксиому прямой линии.

Решение задач

Выкладываем решение двух задач о квадратах и прямоугольнике в секторе круга. Вторая задача не требует расчетов и даже теоремы Пифагора.
Так же отмечу, что диагонали такого прямоугольника равны радиусу окружности. Попробуйте это получить тоже без расчетов!