Треугольник на клетках

После летнего перерыва снова начинаем радовать читателей нашего канала новыми материалами:) Вот первая задача на клетчатой бумаге — она хороша для повторения знаний учеников 8 и 9 классов, хотя для решения первых двух ее пунктов хватит знаний и семиклассника.
В комментах, как обычно, пишите пока только ответы:)

Прощание с летом

Сегодня последний день лета — жаркий, солнечный, зеленый и голубой. Каким он и должен быть… Завтра уже осень, заштрихованная дождями, засыпанная опавшими листьями. И так повторяется из года в год, из века в век. В XVlll веке японский художник и поэт Бусон написал свое знаменитое хокку о бабочке:

Грузный колокол.
А на самом его краю
дремлет бабочка.

Этот образ я взял за основу своей музыкальной композиции, которую переложил на русский сказочный мотив о звонаре и басовых колоколах — огромных и тяжелых, от звука которых дрожат камни и на глазах выступают слезы. Пусть эта песня о колоколе прозвучит в нашем канале как прощание с летом.
Трек с ней можно послушать в первом комменте.

Об учебниках

Поздравляю всех причастных к образованию с началом учебного года!
В августе я провел две конференции для учителей ВШЭ об особенностях курса геометрии проекта математической вертикали. Кроме общих тезисов и обзора курса я рассказал об отличиях новых изданий наших учебников от первого, на обложке которого нарисован университет. Отличия, надеюсь, оказались в лучшую сторону:) Первая лекция была посвящена 7 и 8 классам. Ее запись можно посмотреть по ссылке:

https://disk.360.yandex.ru/i/PjlXHl6kTHoY9A

Угол в треугольнике

Простые конфигурации известных фигур по-прежнему хранят в себе много загадок. Вот одна из них - угол в правильном треугольнике, куда вписали квадрат. Эта моя задача рассчитана на учеников 8 класса и будет хороша для повторения вписанных углов в начале девятого. Как обычно, в комментах пишите только ответы:)

Методичка

В помощь учителям, которые работают по нашим учебникам в проекте Математической вертикали, мы начинаем выкладывать в канале методические рекомендации к проведению уроков и домашним заданиям. Сегодня первый такой пост - к первому параграфу 8 класса Параллелограмм ( он рассчитан на 5 уроков).
Методичка включает "дорожную карту" - краткий и минимальный перечень необходимого материала, общие пояснения, указания к упражнениям и задачам, а также математический диктант и проверочную работу на готовых рисунках.
Эту методичку сделала замечательный учитель Ю.В.Е. Она с успехом работает по нашим учебникам вот уже 5 лет.

Угол в треугольнике. Решение

Выкладываю решение задачи об угле в правильном треугольнике. Оно опирается на теорию вписанных углов. Интересно, что эту задачу можно решить и методами 7 класса - попробуйте это сделать!
В следующем посте я прикрепляю решение той же задачи от чата ИИ DeepSeek. Искусственный интеллект решил ее за 7 минут чистой аналитикой и векторным методом. Это было возможно, поскольку все фигуры в задаче правильные, и они легко считаются в координатах.
Замечу, что некоторые учителя учат школьников, ровно так же. Что можно тут сказать! Добавлю только, что подобное решение, данное учеником, должно сразу вызвать подозрение в использовании им ИИ.
Слава Богу, очень многие задачи элементарной геометрии не по зубам таким чатам!

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к урокам по геометрии проекта Математическая вертикаль. На этот раз они касаются первых уроков в 7 классе. Это рекомендации к параграфам Первые ученые и Геометрические фигуры. Урок «Первые ученые» важен для общего развития, урок «Геометрические фигуры» в первую очередь важен для повторения знаний, полученных в 5—6 классах и развития мозгов на понятном детям материале. Не стоит начинать курс геометрии классически : сразу с аксиом и простейших выводов из них — для этого у школьников 7 класса еще недостаточно мотивации. Делая так, есть риск их потерять.

Квадраты в секторе

Предлагаю задачу на конфигурацию фигур с хорошим ответом. Для неё, скорее всего, потребуется знание теоремы Пифагора и умение решить квадратное уравнение. Задача подойдет для школьников во второй половине 8 класса или для повторения в 9 —11 классах.

Об учебниках

Продолжаем обсуждать особенности преподавания геометрии в проекте Математическая вертикаль. На этот раз разговор пойдет о преподавании в начале 9 или 10 классов. В девятом - это геометрический подход к началам тригонометрии и второй заход на подобие фигур, гомотетию + теоремы Чевы и Менелая. В первую очередь я показываю здесь отличия новой версии учебников от первого издания.
В десятом - это построение сечений, параллельное проектирование, перпендикулярность прямых и плоскостей.
Вот ссылка на запись летней моей лекции с учителями ВШЭ:
https://disk.360.yandex.ru/i/ioV0x8bBFoY8eg

Прямоугольник в секторе

Предлагаю свою новую задачу на расположение прямоугольника в секторе круга. Интересно, как вы ее решите без особых расчетов. Свои решения пишите под спойлерами. Скажу только, что ответ этой задачи — рациональное число.

Методичка

Выкладываем методические указания ко второму параграфу 8 класса «Дополнительные построения, связанные с параллелограммом». Эти несколько стандартных построений очень важны для умения решать задачи и хорошо воспроизводятся школьниками.

Квадрат в треугольнике

Предлагаю задачу на конфигурацию квадрата в треугольнике. Для ее решения потребуется знание подобия, теоремы Пифагора и немного сообразительности. В ответе должно получится рациональное число.

Подобные прямоугольники

Предлагаю задачу на подобие и вписанные углы. Данная конфигурация наверняка таит в себе немало и других интересных свойств. Например, прямая, соединяющая оставшиеся вершины прямоугольников, проходит через точку пересечения двух данных прямых. Попробуйте поискать и другие свойства!