Расстояние между основаниями высот

Предлагаю свою задачу, которую можно красиво решить без тригонометрии. Она рассчитана на учеников 8 класса, и ее ответ линейно (и рационально) зависит от длин сторон данного треугольника.
А те, кто читал два моих предыдущих поста, сразу заметит общую идею решения таких задач:)

Задачи с турнира

В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)

Отрезки в правильном треугольнике

В начале 2000 гг задачи по геометрии на письменном экзамене на мехмат МГУ были такого типа: они состояли из двух пунктов на вычисление, причем первый (более легкий) служил своеобразной подсказкой для второго. Мне кажется, что такой тип задач очень подходит для письменного экзамена - он позволяет оценить даже небольшое продвижение в задаче и удобен для проверки.
Предлагаю вам задачу, которую я составил по такой же схеме. Как вы думаете: лучше она или хуже подходит для задач профильного ЕГЭ?

Решения задач

Выкладываю решение трех задач, которые связывает одна идея решения — отражение треугольника относительно его сторон. Их можно использовать на кружке по такой же теме. К третьей задаче интересно поставить обратный вопрос: для какого равнобедренного треугольника отрезок между основаниями высот равен полуразности его сторон? Тогда решения через теорему косинусов и подобие приведут к кубическим уравнениям и будут трудны для учеников 8 и 9 классов.

Отрезок пополам

Предлагаю свою задачу формата Единого Государственного экзамена, которую можно решить методами 7 класса. При этом ее сложность вполне соответствует экзаменам последних лет.

Третья сторона

Предлагаю еще одну задачу на доказательство + вычисление. Для Единого Государственного экзамена она немного трудна, а для читателей нашего канала будет в самый раз. Пишите свои ответы в комментах.

На выпуклые части

Выкладываю две свои задачи «без возраста» на разбиение треугольника и тетраэдра. Первая из них предлагалась этим летом на турнире Савина школьникам 7-8 классов. Вторая — пространственный аналог первой. Понятно, что на каждый из этих вопросов есть всего три ответа: да, нет и не знаю. Поэтому в комментах пишите не только свои ответы, но и их обоснование:)

Красные отрезки

Предлагаю свою задачу на исследование. Само собой, если данный факт окажется верным, было бы интересно найти его обоснование без утомительных вычислений. Пока не буду говорить, знаю ли я такой способ. И поэтому жду ваших решений:)

Третья сторона. Решение.

Многие легко справились с пунктом А этой задачи — оказалось, что данный факт был обнаружен раньше Сережей Маркеловым. В пункте Б также легко было получить ответ 3 с помощью теоремы Чевы. Неладное сначала заподозрил Вячеслав Самусев, а разобрался с этой ситуацией потом Игорь. Оказалось, что в поставленной формулировке задача не имеет решения, я этого тоже сначала не заметил и, только прочитав комментарии, понял, в чем дело.
Тогда правильное условие пункта Б должно быть такое: Найдите отношение сторон треугольника АВС. Либо можно задать длину только одной стороны АС и попросить найти длину перпендикуляра МН. От этого задача станет еще интереснее. В любом случае, я выражаю свою благодарность Игорю и Вячеславу за их ценные комментарии и упорство!

На выпуклые части. Решение.

Выкладываю решение своих задачек без возраста. При всей простоте рисунка догадаться до этих конструкций не так просто — перед ними равны и взрослые, и дети. В первом комменте я выложу разбиение треугольника на 25 выпуклых пятиугольников — оно первое пришло мне в голову. Разбиение тетраэдра на выпуклые шестигранники можно получить с помощью пятиугольных пирамид с общей вершиной.
Возникают несколько открытых вопросов: можно ли разбить треугольник на меньшее число выпуклых пятиугольников? Можно ли разбить его на выпуклые шестиугольники? Можно ли разбить тетраэдр на выпуклые семигранники или на меньшее число выпуклых шестигранников?
Пишите свои соображения в комментах:)

Треугольник на клетках

После летнего перерыва снова начинаем радовать читателей нашего канала новыми материалами:) Вот первая задача на клетчатой бумаге — она хороша для повторения знаний учеников 8 и 9 классов, хотя для решения первых двух ее пунктов хватит знаний и семиклассника.
В комментах, как обычно, пишите пока только ответы:)

Прощание с летом

Сегодня последний день лета — жаркий, солнечный, зеленый и голубой. Каким он и должен быть… Завтра уже осень, заштрихованная дождями, засыпанная опавшими листьями. И так повторяется из года в год, из века в век. В XVlll веке японский художник и поэт Бусон написал свое знаменитое хокку о бабочке:

Грузный колокол.
А на самом его краю
дремлет бабочка.

Этот образ я взял за основу своей музыкальной композиции, которую переложил на русский сказочный мотив о звонаре и басовых колоколах — огромных и тяжелых, от звука которых дрожат камни и на глазах выступают слезы. Пусть эта песня о колоколе прозвучит в нашем канале как прощание с летом.
Трек с ней можно послушать в первом комменте.

Об учебниках

Поздравляю всех причастных к образованию с началом учебного года!
В августе я провел две конференции для учителей ВШЭ об особенностях курса геометрии проекта математической вертикали. Кроме общих тезисов и обзора курса я рассказал об отличиях новых изданий наших учебников от первого, на обложке которого нарисован университет. Отличия, надеюсь, оказались в лучшую сторону:) Первая лекция была посвящена 7 и 8 классам. Ее запись можно посмотреть по ссылке:

https://disk.360.yandex.ru/i/PjlXHl6kTHoY9A

Угол в треугольнике

Простые конфигурации известных фигур по-прежнему хранят в себе много загадок. Вот одна из них - угол в правильном треугольнике, куда вписали квадрат. Эта моя задача рассчитана на учеников 8 класса и будет хороша для повторения вписанных углов в начале девятого. Как обычно, в комментах пишите только ответы:)

Методичка

В помощь учителям, которые работают по нашим учебникам в проекте Математической вертикали, мы начинаем выкладывать в канале методические рекомендации к проведению уроков и домашним заданиям. Сегодня первый такой пост - к первому параграфу 8 класса Параллелограмм ( он рассчитан на 5 уроков).
Методичка включает "дорожную карту" - краткий и минимальный перечень необходимого материала, общие пояснения, указания к упражнениям и задачам, а также математический диктант и проверочную работу на готовых рисунках.
Эту методичку сделала замечательный учитель Ю.В.Е. Она с успехом работает по нашим учебникам вот уже 5 лет.

Угол в треугольнике. Решение

Выкладываю решение задачи об угле в правильном треугольнике. Оно опирается на теорию вписанных углов. Интересно, что эту задачу можно решить и методами 7 класса - попробуйте это сделать!
В следующем посте я прикрепляю решение той же задачи от чата ИИ DeepSeek. Искусственный интеллект решил ее за 7 минут чистой аналитикой и векторным методом. Это было возможно, поскольку все фигуры в задаче правильные, и они легко считаются в координатах.
Замечу, что некоторые учителя учат школьников, ровно так же. Что можно тут сказать! Добавлю только, что подобное решение, данное учеником, должно сразу вызвать подозрение в использовании им ИИ.
Слава Богу, очень многие задачи элементарной геометрии не по зубам таким чатам!