Клетчатая бумага. Решение.

Выкладываю решения трех задач на клетчатой бумаге. В комментариях к посту с их условиями есть верные ответы ко всем задачам, но ни у кого из написавших эти ответы не было трех правильных.
Удивительно, что треугольник на рисунке Б действительно равносторонний! Другое доказательство этого смотрите в комментарии от Дениса Егорова к этому посту:)
Еще одно интересное наблюдение: прямые ВК и СМ на рисунке В пересекаются в точке А данной окружности.
Подумайте, почему так будет!

Шляпа Эйнштейна

Чуть больше года назад в теории паркетов было сделано удивительное открытие: английский любитель математики Дэвид Смит придумал «шляпу Эйнштейна» — единственный камень или плитку, копиями которой без пропусков и наложений можно заполнить всю плоскость. Главное ее свойство в том, что полученный паркет никогда не повторяется, то есть его невозможно никаким сдвигом совместить самим с собой. Раньше самым простым паркетом, не имеющим периода, была мозаика Пенроуза: он составил ее в 1974 году с помощью двух ромбов.
Плитка Смита имеет 13 углов и действительно похожа на фетровую шляпу. А имя Эйнштейна — просто игра слов, ведь в переводе с немецкого фамилия гениального физика значит «один камень». Интересно, что сам Альберт Эйнштейн шляп носить не любил, предпочитая им носовые платки. Может быть, поэтому Роберт Фэтхауэр заменил часть «шляп» на «рубашки» и создал художественный беспорядок бесконечного гардероба — мозаику наподобие Эшера.
Продолжение следует. Ждите задачу о таких плитках!

Кольцо из черепах

После изобретения шляпы Эйнштейна, были найдены другие плитки, которые при любом способе их укладки на плоскость дают мозаику без периода — одна из них, черепаха, показана на фото справа. Для наглядности мы сделали ее из фанеры. Как и шляпа Эйнштейна, черепаха имеет 13 углов, равных 90, 120, 240 и 270 градусов. У черепахи 12 равных сторон, а последняя длиннее их ровно в 2 раза.

Оказалось, что из 12 черепах можно сделать замкнутый круг или «кольцо» — оно показано на фото слева. Периметр нашей Черепахи 35 см. А задача в том, чтобы с точностью до 1 мм найти ширину такого «кольца из черепах», то есть расстояние между любой парой его параллельных сторон.

Геометрия - дочь архитектуры

Завтра с такой лекцией я выступлю для учителей Томска и расскажу о том, что может дать геометрия школьникам, а также о своем опыте преподавания и учебниках.
Это мероприятие организовано СИБУРом, и пройдет оно 21 сентября в 10:00 по адресу Томск, Береговая 6.
После обеда там же запланирован семинар для учителей.
Пока неизвестно, будет ли онлайн-трансляция или запись. Если да, обязательно выложу ссылку.

Стереометрия. Первые уроки

В этом году я начал работать над курсом стереометрии. В комментарии к данному посту выложены материалы к первым урокам геометрии пространства. Предполагается, что в новом пособии будут три уровня его понимания: наглядный, доказательный и даже исследовательский. Курс стереометрии я хочу сделать в стиле учебников по геометрии 7-9 класса – с преамбулами, упражнениями, примерами и задачами трех уровней сложности. А насколько это получается, судить вам.

ЕГЭ ++

Недавно мне понравилась одна задача с конкурса Т—образование, и я придумал свою по ее мотивам. Хотя я оформил эту задачу в стиле ЕГЭ, она гораздо сложнее тех, что обычно предлагают на этом экзамене. Думаю, что такая задача подойдет для тренировки ученикам математических классов или их преподавателям.
В комментарии пишите свои ответы.

Три квадрата

Легко заметить, что эти три задачи имеют много общего. Для решения первой хватит знаний 7 класса, вторая по силам уже восьмикласснику, а третью лучше решать в 9 классе. Получилась вот такая серия задачек «на вырост».
Как обычно, в комментариях пишите свои ответы.

Ко дню учителя

Дорогие школьные учителя, сегодня наш день и я от души поздравляю всех с профессиональным праздником! Я знаю, как трудятся многие, – от рассвета и до заката, по 30-40 часов в неделю. И это не просто работа, это настоящая битва за будущее наших детей. Дети, конечно, бывают разные, но для учителя они как свои.
Помните Юрия Деточкина? Ради детей он даже пошел на преступление!
В прошлом году мое поздравление было музыкальным, а в этом я просто сделаю обзор материалов из нашего канала по темам 2-й четверти – пусть он поможет в вашей нелегкой работе.

Подборка задач на тему Аксиома полуплоскостей
Подборка задач по теме Углы
Листки по тригонометрии для 9 класса
Листки по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры
Контрольные по тригонометрии (варианты для физмат. классов)
Контрольные по тригонометрии (упрощенные)
Листки по признакам равенства треугольников
Контрольная на 1-2 признаки
Контрольная для 8 физмат. класса ( средние линии, теорема Фалеса)
Обобщающая контрольная на признаки равенства

Врать нельзя, а списывать можно?

Еще раз с праздником вас, коллеги!
Вчера в Узбекистане вышло очень интересное интервью о школьном образовании с моим коллегой Дмитрием Шнолем. У кого есть возможность, советую его посмотреть.

Как развить критическое мышление ребенка? Нужны ли трудные задачи на уроках математики? Что делать в школе с мобильными телефонами? Почему в некоторых странах вообще не принято списывать? Эти вопросы актуальны для школ всего мира и, конечно, для России тоже.
А вы что обо всём этом думаете?

https://m.youtube.com/watch?v=EO7yUP964ow&t=81s&pp=2AFRkAIB

Треугольник и угол

Вот задача, которая естественно возникла на контрольной работе в математическом классе.
И красивый ответ в ней тоже возникает естественно, без трудоемких вычислений. Попробуйте его найти!

Квадраты на рельсах

На пересечении двух путей железных дорог разных направлений образуется параллелограмм. Если у него нет прямого угла, на эти 4 рельса всегда можно положить 2 квадрата так, чтобы вершины каждого лежали по одной на всех рельсах.
Каким должен быть угол между рельсами, чтобы разность площадей таких квадратов была равна площади параллелограмма?
В комментарии пишите свои ответы.

Треугольник и угол. Решение.

Эта задача была предложена на контрольной работе по теме «Движения плоскости». В ее основе лежит известный способ построения правильного треугольника с помощью поворота прямой вокруг данной вершины. Интерес здесь представляет красивый ответ и маленькое исследование.

Треугольник в секторе

Предлагаю еще одну задачу в стиле ЕГЭ + От обычной задачи единого экзамена она отличается поиском наименьшего значения и повышенной сложностью пункта на доказательство.

В комментарии пишите свои ответы и решения.

Ответы 7-1

В этом году вышли наши учебники углубленного уровня 7, 8 и 9 классов.
И как это обычно бывает, туда закрались опечатки: кое-где перепутали ответы, номера рисунков. В следующем издании мы это поправим - а оно будет уже скоро. Сейчас выкладываю здесь правильные ответы к первой части 7 класса. Там опечаток оказалось больше всего :)

Треугольник в секторе. Решение.

Доказательство пункта А) вы можете найти в первом комментарии — отличную анимацию к нему сделал читатель нашего канала Денис Егоров.
Решение пункта Б) оказалось совсем простым, а положение наименьшего треугольника — симметричным относительно угла данного сектора.

Квадраты на рельсах. Решение

Эта задача оказалась довольно сложной: из подписчиков канала правильный ответ в ней получил лишь один человек. А сама задача интересна еще и тем, что для параллелограмма без прямого угла она дает простые формулы площади квадратов с вершинами на всех его сторонах (или на продолжениях сторон параллелограмма).

Стоит заметить, что существует гипотеза, по которой в любую замкнутую кривую можно вписать квадрат. Однако она до сих пор не доказана даже для многоугольников.

ГМТ

Вот моя новая задача на геометрические места точек.
Для решения пункта А в ней достаточно знаний 8 класса.
А вот пункт Б требует больших знаний и подходит, скорее, для 10—11 классов.

В комментарии пишите ответы и решения.

Прямой угол

Вот моя новая задача на конфигурацию квадрата и правильных треугольников. Меня самого удивило, что данный факт не так очевиден, как это кажется на первый взгляд. Конечно, можно все посчитать… Но как найти его доказательство без долгих выкладок?
Пишите доказательства в комментариях.

Равные прямоугольники

Некоторые простые с виду конфигурации геометрических фигур трудно рассчитать точно. Например, эту — про два равных прямоугольника в секторе единичного круга. Ширина каждого из них — корень уравнения шестой степени с целыми коэффициентами. Значит, циркулем и линейкой построить эти прямоугольники нельзя, а вот от руки нарисовать их можно довольно легко. Вам предлагается определить(или угадать), чему равна ширина таких прямоугольников с точностью до 0,01.
Но, конечно, лучше получить само уравнение:)
Ответы пишите в комментариях.

Верю— не верю. Ответы.

Выкладываю ответы на предложенные вопросы. Верных в общем случае утверждений была ровно половина: 2, 4 и 5.
Самым коварным из них было первое, поскольку по определению большинства учебников тупой угол не может быть больше 180 градусов.
Очень интересно утверждение 3: оно кажется верным, однако существуют такие вытянутые вбок трапеции, для которых оно не верно.
Утверждение 5 есть в нашем учебнике и задачнике с зеленой обложкой.
Про утверждение 6 заметим, что кроме правильного треугольника и приведенного примера, других треугольников с указанным свойством не существует — и это легко доказать.

Если понравилась такая форма опроса, ставьте 🔥. Тогда буду предлагать ее время от времени ))