Найдите угол

Хорошую задачу по геометрии для 7 класса придумать всегда непросто. Вот одна из моих хороших новых задач, которую предлагали школьникам на олимпиаде им. Курчатова неделю назад. Пишите ответы и решения - авторское я выложу завтра.

Найти угол. Решение.

Выкладываю свое решение задачи с олимпиады Курчатова. В комментариях ко вчерашнему посту прислали несколько хороших и разных ее решений, одно из которых совпадает с этим.
Я считаю, что олимпийская задача вполне может быть с ответом — это сильно упрощает проверку. По той же причине многие школьные задачи (особенно на контрольных работах) дают на поиск ответа — так проще и функциональнее.
Проверка задач на доказательство утверждений требует от учителя времени, которого в большом классе на уроке всегда не хватает. К тому же часто бывает еще нужно убедить ученика в том, что доказательства у него нет, а получение неверного ответа убеждает сразу.

Сфера в пирамиде.

Предлагаю вашему вниманию мою новую задачу по стереометрии. Ее решали одинадцатиклассники на прошедшей олимпиаде им. Курчатова.
Много ли было из них решивших, сказать пока трудно, — задача эта сложная. Зато она имеет красивую идею и ответ. А кроме того, интересна ее связь с коническими сечениями. Но для решения самой задачи понимать это не обязательно :)
В комментарии, как обычно, пишите свои ответы.

Подготовка к ЕГЭ

Выкладываю свою вторую презентацию к вебинару подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Она также посвящена задаче 17 второй части этого экзамена. На ней я разбираю решения задач прошлых лет, а в начале даю несколько упражнений на произведения отрезков хорд и секущих в окружности. В конце можно найти 4 задачи для самостоятельного решения.

Сфера в пирамиде

Выкладываю элементарное решение задачи по стереометрии с прошедшей олимпиады им. Курчатова. Оно опирается лишь на равенство отрезков касательных, проведенных к шару из точки, и на равенство треугольников.
Тем же способом можно доказать, что у пирамиды, описанной около шара, в основании которой лежит параллелограмм, всегда равны суммы площадей противоположных боковых граней. Такая задача предлагалась на олимпиаде Шарыгина в 2009 году, но опубликованное там решение более громоздко и не так красиво.
В следующем посте я расскажу о связи этой задачи с коническим сечением.

На прошлой неделе число подписчиков нашего канала перевалило за 5000. Это гораздо больше числа всех звезд, которые может без телескопа разглядеть один человек.
Отметить этот рубеж я решил своим давним стихотворением. Канал наш посвящен геометрии, потому и стихотворение будет о ней - науке древних мудрецов и звездочетов, ночном саде и небе над головой.

ЕГЭ – задача 14
Выкладываю следующую презентацию к вебинару по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена задачам 14 по стереометрии второй части прошлых лет на параллельные и перпендикулярные сечения в кубе, пирамиде и призме, нахождение расстояний от точки до плоскости и расстояний между скрещивающимися прямыми.

ЕГЭ - задача 17.
Выкладываю еще одну презентацию по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена планиметрическим задачам на разные методы: подобие, вписанные углы и площади.

Шар в пирамиде

На Олимпиаде им. Курчатова в 11 классе была предложена моя задача про шар, вписанный в четырехугольную пирамиду. Её решение элементарно и основано лишь на равенстве касательных к шару из точки, равных треугольниках и теореме Пифагора.
Однако существует красивая связь подобных задач с эллипсами, которые вписаны в основания таких пирамид. Это позволяет получать как интересные утверждения про пирамиды, в которые можно вписать сферу, так и про свойства эллипсов, вписанных в их основания. Например, оказывается, что основание шестиугольной пирамиды (а тем более, пирамид с большим числом граней) не может быть произвольным шестиугольником.
Как это объяснить, вы можете прочесть на рисунке.

Выкладываю свою контрольную работу на окружности для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня учеников.

Три центра

Как известно, высота разбивает прямоугольный треугольник на подобные ему меньшие треугольники. С этим фактом связано одно из доказательств теоремы Пифагора, а также множество интересных задач. Одну из них я недавно придумал для своего 9 класса и теперь предлагаю вашему вниманию. Потом оказалось, что доказать данный факт можно даже без подобия, теорем Пифагора и синусов:)

Номер три.

В одном из американских университетов на 1 апреля студенты придумали отличную шутку: они пустили бегать по кампусу трех свиней с номерами 1, 2 и 4 на спинах. Администрация распорядилась свиней поймать, что и было сделано. Однако никак не удавалось изловить свинью с номером 3: ее искали целый день, но так и не поймали. Что совсем не удивительно, ведь ее просто не было.

Как это связано с нашим каналом? На прошлой неделе я выложил свои презентации 1, 2 и 4 по подготовке к задачам 17 профильного ЕГЭ, поэтому у одного из читателей возник естественный вопрос: куда пропала аналогичная презентация с номером 3? Ведь ЕГЭ 2024 не за горами. В отличие от замечательной первоапрельской свиньи, я нашел эту презентацию и выкладываю её сейчас. Ведь сегодня уже не первое апреля.

Контрольная на касательные.
Выкладываю свою контрольную работу на касательные для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.
По программе математической вертикали окружности и касательные к ним первый раз проходятся в 7 классе, а второй раз через год – во второй половине 8 класса. Это дает некоторую свободу выбора для учителя и, как нам кажется, способствует лучшему усвоению материала учениками.

Два ромба

Вот моя новая задача по планиметрии, которая при всей простоте формулировки совсем не так проста. Более того, она является красивым частным случаем гораздо более общего утверждения, из которого следует.
Само это утверждение и метод его получения я пока не публикую, поэтому пишите свои решения в комментариях. Мне интересно, насколько легко можно доказать данный факт.

Открытый урок

В прошлую пятницу я провел открытый урок в православной Свято-Петровской гимназии на Китай-городе. Ребята там занимаются по моим учебникам — и со слов их замечательного учителя Юлии Васильевной Ерохиной, делают это с большим удовольствием.

Урок был с восьмиклассниками, поэтому мы разбирали задачи с окружностями и касательными. Первую из них я лет 10 назад предложил для Московской олимпиады — надо отметить, что многие ребята быстро с ней справились. Другие задачи похожи на первую тем, что в них тоже нужно заметить равные треугольники, и тогда решение выходит простым и красивым. Ребята одну из этих задач получили на дом. Кроме этого, на уроке мы разобрали японскую формулу об отрезке общей касательной и её изящные применения.
Несколько учеников попросили у меня автограф — прямо на обложки своих тетрадок в клеточку ))
На урок пришли учителя из других православных гимназий, потом у нас с ними получился интересный и содержательный разговор о современном образовании.

ЕГЭ ++

На прошлой неделе в России прошел единый экзамен по математике. Судя по отзывам, задачи по геометрии на нем стали проще, чем в прошлые годы. И, наверное, это правильно, так как раньше полностью их решало не больше 1% всех участников экзамена. Результаты этого года еще не получены — их детальный разбор впереди.

А пока я предлагаю вам задачу в таком же формате, но значительно сложнее. Ее частным случаем является задача с двумя ромбами, которую я выложил две недели назад. Даже она, если судить по предложенным решениям, оказалась совсем не простой.
Пишите свои ответы и решения в комментариях.

Постоянный угол. Решение.

Если ВН — высота треугольника АВС и произвольный отрезок МК с концами на его сторонах АВ и ВС виден из точки Н под прямым углом, то существуют еще две точки на плоскости, из которых все такие отрезки видны под постоянными углами. Одной из них, очевидно, является вершина В самого треугольника.
А вот где находится третья точка?
Удивительно, но эта задача оказалась связана с окружностями, вписанными в треугольники, биссектрисами и общими внутренними касательными к этим окружностям. Третью точку О нужно взять так, чтобы для треугольника АОС вершина В была центром вписанной в него (или вневписанной) окружности.
В случае равностороннего треугольника АВС точка О будет четвертой вершиной ромба АВСО, и тогда из нее любой такой отрезок МК будет виден под углом 30 градусов. Так мы получим задачу с двумя ромбами — даже она оказалась совсем не очевидной. В общем же случае сумма или разность углов МВК и МОК будет равна 90 градусов.
Решение можно прочесть на рисунке.

Наибольший периметр

Продолжаем серию задач на наибольшие и наименьшие значения.
Если четыре отрезка с данными длинами выходят из одной точки, их свободные концы могут образовать как выпуклый, так и невыпуклый четырехугольники.
Для отрезков с длинами 4, 5, 5 и 5 невыпуклый четырехугольник может иметь периметр сколь угодно близкий к 38 — его стороны тогда почти лежат на одной прямой.
А чему равен наибольший периметр выпуклого четырехугольника?
Ответы пишите в комментариях.

Наибольший периметр. Продолжение.

Задачу про наибольший периметр выпуклого четырехугольника, предложенную в предыдущем посте, решили многие читатели нашего канала. Ответ в ней — целое число, а нужный четырехугольник имеет ось симметрии. Свое решение этой задачи я выложу чуть позже, а пока предлагаю подумать над аналогичной задачей для треугольника. В отличие от предыдущей, она более сложна технически и в общем случае сводится к кубическому уравнению. Поэтому ответ в ней достаточно получить приближенно, с точностью до 0,01.

Этой задаче легко найти физическую формулировку: если три стержня с с определенными длинами скрепить на одном конце шарниром, а через отверстия на их свободных концах продеть резиновое кольцо, то длина растягиваемой стрежнями резинки в некотором положении будет наибольшей. Чему равна такая длина и когда достигается? Как обычно, ответы пишите в комментариях.

Наибольший периметр. Решение.
Задачи о наибольшем периметре выпуклого многоугольника, образованного свободными концами нескольких отрезков, выходящих из точки О, имеют один подход. Он основан на вариационном принципе.
Оказалось, что наибольший периметр такого многоугольника будет, если точка О является центром вписанной в него окружности. Для четырех отрезков с длинами 5, 5, 5 и 4 он дает периметр 27. А для трех отрезков с длинами 1, 2 и 3 сводится к кубическому уравнению, которое само по себе получить не просто. Как это можно сделать, читайте на рисунке.
Вариционный метод в данном случае можно смело применять, так как при движении отрезков периметр треугольника меняется непрерывно, а сама числовая функция имеет ограничение: легко показать, что периметр треугольника всегда меньше удвоенной суммы данных отрезков.

ЛЕТО
Вот и наступило лето красное: жаркое, душное, грозовое... Разнотравье, бабочки, комары и кукушки, ягоды да грибы, запах нагретых сосен, скошенной травы и речной воды. Все экзамены сданы, оценки получены, впереди каникулы и свобода. Лето для русского человека - это долгожданное время года, которое пролетает так быстро...
На нашем канале тоже начинается летняя сиеста - отдыхайте и набирайтесь сил. И пусть это стихотворение будет вам в подарок :)