Отношение отрезков в параллелограмме.

Выкладываю решение задачи об отношении отрезков на диагонали параллелограмма. Это несложная задача на подобие треугольников, и решить ее можно без дополнительных построений, глядя на рисунок. Правда, важно выбрать удобные обозначения: принять равные отрезки за 1, а расстояние между ними за неизвестную х. Тогда легко составить уравнение на х и получить ответ.

Интересно, что эта задача связана с золотым сечением и похожий параллелограмм можно увидеть в пентаграмме — символе Пифагорейской школы. Правда, все углы правильного пятиугольника равны 108 градусов, а у произвольного параллелограмма их нет. Зато с помощью линейного преобразования или параллельной проекции данного рисунка на другую плоскость углы правильного пятиугольника можно поменять, а отношение отрезков на его диагоналях при этом сохранится. За это отвечает важное свойство такого пятиугольника: каждая его диагональ параллельна своей стороне.
Решение можно прочесть на рисунке.

Круги в квадрате.

Древние греки не могли решить некоторые задачи с помощью циркуля и линейки. Самыми известными из них были задачи об удвоении куба, деление произвольного угла на три равные части, построение правильного семиугольника и квадратура круга.
Только в XIX веке было доказано, что циркулем и линейкой из единичного отрезка можно построить лишь квадратичные иррациональности, то есть все числа, которые получаются из 1 с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней. Кстати, это доказательство вполне доступно школьникам.
Корни большинства кубических уравнений с целыми коэффициентами нельзя представить в таком виде, поэтому и построить их классическими инструментами не получится.
Вашему вниманию предлагается задача о трех равных кругах в квадрате, которую тоже не решить циркулем и линейкой, ведь радиус нужных кругов - корень кубического уравнения с целыми коэффициентами, которое не имеет рациональных корней.
Какое это должно быть уравнение?

Контрольная на площади

По просьбам учителей выкладываю свою работу на площади. В ней представлены как задачи на использование простейших формул, задачи на клетчатой бумаге, отношение площадей подобных треугольников, так и задачи на расчет частей треугольника.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.

Равные отрезки в треугольнике

Выкладываю решение наиболее сложной задачи с Новогоднего листка. В нем используются площади, подобие, теорема синусов и свойство серединных перпендикуляров к хордам. Такое решение отлично показывает, что задача для олимпиады может быть не только на доказательство, но и на вычисление.

Удивительно, что длина трех искомых отрезков всегда рационально зависит от сторон данного треугольника. Однако до такой формулы совсем не легко додуматься!
Решение можно прочесть на рисунке.

Круги в квадрате. Решение

Вот решение задачи о трех равных кругах внутри квадрата со стороной 1.
Её ответом служит кубическое уравнение с целыми коэффициентами, единственный корень которого — радиус искомых кругов.

Многие классические задачи на построение приводят к подобным уравнениям: трисекция угла, построение правильного семиугольника, угла величиной в 1 градус, построение треугольника по трем его биссектрисам и другие.
Решение можно прочесть на рисунке.

Угол в треугольнике

Вот задача, которую я на дом дал своему девятому классу — ребята будут думать над ней на этой неделе. А как она получится у вас?
Подсказка: сейчас мы проходим подобие треугольников в окружности.

На просвет

В прошлом году я вел занятия с шестым классом по наглядной геометрии. Ребята работали в парах: строили фигуры, мерили углы и отрезки, конструировали.
Выкладываю лучшие работы того года. Идею мне подсказала коллега — Елена Кожаринова, а я придумал, как это применить в большом классе.

На каждую парту я давал лист ватмана и листок бумаги, где были разные фигуры: зонтик, детская коляска, кораблик. Ребятам нужно было построить такие же фигуры на листе ватмана. Хитрость в том, что срисовать фигуры с оригинала было нельзя — ватман не просвечивал. Поэтому все построения делались циркулем и линейкой. А их качество я проверял так: приклеивал оригинал на окно и накладывал на него ватман с построенными фигурами. К окну подходить не разрешалось :)

Полное совпадение на просвет каждой фигуры оценивалось в 3 балла, за мелкие недочеты я ставил 2 балла, за существенные — 1 балл. Потом был разбор полетов: как избежать ошибок.
Вторая работа была сложнее: нужно было увеличить данные фигуры в 2 раза.

Угол АВС

Вот новая задачка, смысл которой сразу понятен из рисунка: в ней нужно найти величину угла АВС. Ясно, что этот угол тупой, но чему примерно он может быть равен? Ответ здесь нужно получить с точностью до одного градуса.
Интересно перед решением немного проверить свою интуицию и попробовать угадать его на глаз!

Ветер в городе

После белого январского снега и черного, как хлеб, февраля приходит весна. Она приносит перемены в природе и душах людей, а Земной шар снова поворачивается своим боком к Солнцу.
Поздравляю всех читателей нашего канала с этим космическим событием и дарю вам песню Ветер в городе – пусть она будет вестником грядущих перемен!
Я исполню эту песню под гитару и кахон на своем концерте 11 марта в московском клубе “Гиперион”.

Запись видео сделана в студии радиостанции “Калина красная” в 2021 году.

Угол в треугольнике. Решение

Выкладываю решение задачи про угол в треугольнике. Ученики хорошего 9 класса с ней легко справились.

Особенностью таких задач является то, что они не решаются просто подсчетом углов, — в них необходимо найти соотношение для отрезков, получить из него подобие треугольников и только потом считать углы.
Решение можно прочесть на рисунке.

Угол АВС. Решение

Выкладываю решение задачи с углом АВС. Получить ответ в ней можно, только немного зная тригонометрию.
Решение на рисунке.

На сумму углов

По просьбам учителей выкладываю контрольную работу на сумму углов для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.

Концерт

Для тех, кто не знает: кроме написания учебников я пишу еще стихи и музыку, которые сам же исполняю под гитару.
И поверьте — это не три аккорда:)

Приходите на мой сольный концерт в клуб Гиперион на Китай-городе в понедельник 11 марта. Начало в 20 часов. Помогать вести его будет моя жена Анастасия, она же подыграет мне на кахоне.
В этот раз программа посвящена временам года — ведь на календаре уже весна:)

Спасибо всем, кто пришел!

Вчера в книжном клубе Гиперион прошел  мой концерт — далеко не первый раз в этом замечательном месте. Программа была большая и серьезная — два отделения.
И хотя закончилось все довольно поздно, на концерт пришли школьники с их родителями, учителя, много новых молодых людей и представителей старшего поколения.
Спасибо всем, кто добрался, слушал, думал и переживал. Я подписал много книжек со стихами, а также свои учебники. Один ученик попросил меня подписать чистую тетрадку в клеточку — в подарок своей однокласснице на день рождения. Это было очень трогательно :)
Такие концерты бывают нечасто — приходите и в следующий раз, не пожалеете!

На фрагменте видео последний куплет песни "Колокол" - она о звонаре и бабочке.

Контрольные на подобие в окружности.

Выкладываю свои контрольные работы на подобные треугольники в окружности, отрезки хорд и касательные по программе 9 класса. Первые два варианта подходят для физмат классов, 3 и 4 – на классы математической вертикали.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня ребят.

Дойти до границы.

Если вы стоите внутри круглой арены цирка и хотите побыстрее ее покинуть, сразу понятно, куда нужно бежать — по радиусу круга, на котором вы находитесь. Если же вы хотите из данной точки быстрее достичь прямой линии, как известно, идти нужно по перпендикуляру к ней.
А что делать, если вы оказались внутри половины круга? Куда следует бежать: к его диаметру или к дуге окружности? Как устроена линия, для которой такие два пути одинаковы?
И что более вероятно: быстрее дойти от произвольной точки полукруга до диаметра или до дуги его окружности?
Как относятся две эти вероятности?

Подвижные чертежи

В следующем посте будут ссылки на коллекцию подвижных чертежей, которые к моему зеленому задачнику в программе Geogebra сделал замечательный преподаватель Алексей Сгибнев из школы Интеллектуал.
Эти чертежи можно показывать на электронной доске или на мониторе компьютера — они привлекают внимание школьников и мотивируют их решать эти задачи. Я считаю, что такие чертежи — это отличный элемент индуктивного образования, когда из опыта у ребят все сначала возникает гипотеза, а уже потом находится решение или доказательство.

Альбом подвижных чертежей к сборнику задач М.А. Волчкевича «Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы» (М.: МЦНМО, 2017) создан на базе программы динамической геометрии GeoGebra.
В альбоме более 160 подвижных чертежей, каждый из которых иллюстрирует одну из задач сборника. Альбом охватывает почти все темы 7–8-х классов, иллюстрируются те задачи, в которых динамика чертежа создает дополнительные учебные возможности.

Основные типы использования подвижных чертежей:
• демонстрация факта, явно сформулированного в задаче;
• открытие факта, подразумеваемого в задаче;
• исследование — перебор возможных вариантов;
• интерактивная презентация —
решение задачи, демонстрируемое по шагам.

Альбом подвижных чертежей доступен по ссылке:
geogebra.org/m/kyudvqfx
Чертежи можно копировать, демонстрировать на экране, выдавать школьникам в качестве задания и т.д.

Квадрат на сетке

На знакомой всем бумаге в клеточку можно нарисовать квадраты с вершинами в ее узлах, стороны которых идут как по линиям клетчатой сетки, так и под углом к ним. Площади таких квадратов выражаются целым числом клеток.

Интересно, что на такой бумаге одной линейкой также можно рисовать квадраты, у которых все стороны проходят через узлы сетки, а площади не являются целыми числами. Один из таких квадратов показан на рисунке.

Как нарисовать такой квадрат одной линейкой? Чему равна его площадь?

Добежать до границы.

Выкладываю решение задачи о множестве точек внутри полукруга, одинаково удаленных от его границ. Все такие точки лежат на параболе, проходящей через концы диаметра полукруга и делящей его высоту пополам. Причем аналогичный факт верен не только для полукруга, но и для любого кругового сегмента. Доказать его можно даже без теоремы Пифагора и уравнений, пользуясь геометрическим определением параболы.
Интересно, что дойти от взятой произвольно точки полукруга до его периферии более вероятно, чем до диаметра. Эти вероятности относятся примерно как 19 :14.
Решение можно прочесть на рисунке.

Три круга

Предлагаю новую задачу по комбинаторной геометрии. Нарисуем три круга в вершинах треугольника, радиусы которых составляют 0,57 от длин его противоположных сторон. Могут ли эти круги накрыть весь треугольник? Легко проверить, что для правильного треугольника
это не так.
Могут ли быть точки, которые накрыты сразу тремя такими кругами?
Ответы пишите в комментариях.