⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
#простым_языком
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
P(1) = 1/6
P(6) = 1/6
События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно.
P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B)
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
P(орёл в первом броске) = 1/2
P(орёл во втором броске) = 1/2
Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат.
P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
P(шестёрка в первом броске) = 1/6
P(шестёрка во втором броске) = 1/6
Броски независимы.
P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36
#простым_языком
🟣 Формула полной вероятности
Продолжаем серию постов по теории вероятностей. Сегодня разберём формулу полной вероятности. Она нужна, когда событие может наступить при разных условиях, и мы знаем вероятности этих условий и вероятности события при каждом из них.
☂️ Когда это нужно
Представьте, что у вас есть несколько путей, по которым может произойти событие A. Например, вы можете получить сообщение через Telegram, через WhatsApp или по SMS. У каждого способа своя вероятность, и внутри каждого способа своя вероятность, что сообщение дойдёт мгновенно. Как посчитать общую вероятность того, что сообщение дойдёт мгновенно?
В таких задачах и применяется формула полной вероятности.
👾 Формула
Пусть есть несколько гипотез B₁, B₂, ..., Bₙ. Они должны быть несовместными и покрывать все возможные случаи. Иными словами, что-то одно из этого списка обязательно происходит, и одновременно две разные гипотезы случиться не могут.
Тогда вероятность события A считается так:
На словах понять возможно трудно, скоро перейдем к примеру
Мы как бы идём по каждой гипотезе, смотрим её вероятность, умножаем на вероятность A внутри неё, и всё складываем.
💜 Пример
Допустим, завод выпускает лампочки на трёх станках. Первый станок делает 50% продукции, второй — 30%, третий — 20%. Брак у первого станка — 1%, у второго — 3%, у третьего — 5%. Какова вероятность, что случайно выбранная лампочка окажется бракованной?
Введём обозначения:
A — лампочка бракованная.
Условные вероятности:
Подставляем в формулу:
Ответ: вероятность вытянуть бракованную лампочку равна 0.024, то есть 2.4%.
🍇 Вывод
Формула полной вероятности позволяет разбить сложную задачу на части. Зная её, можно двигаться дальше — к теореме Байеса
#углублённо
Продолжаем серию постов по теории вероятностей. Сегодня разберём формулу полной вероятности. Она нужна, когда событие может наступить при разных условиях, и мы знаем вероятности этих условий и вероятности события при каждом из них.
☂️ Когда это нужно
Представьте, что у вас есть несколько путей, по которым может произойти событие A. Например, вы можете получить сообщение через Telegram, через WhatsApp или по SMS. У каждого способа своя вероятность, и внутри каждого способа своя вероятность, что сообщение дойдёт мгновенно. Как посчитать общую вероятность того, что сообщение дойдёт мгновенно?
В таких задачах и применяется формула полной вероятности.
👾 Формула
Пусть есть несколько гипотез B₁, B₂, ..., Bₙ. Они должны быть несовместными и покрывать все возможные случаи. Иными словами, что-то одно из этого списка обязательно происходит, и одновременно две разные гипотезы случиться не могут.
Тогда вероятность события A считается так:
P(A) = P(B₁) × P(A|B₁) + P(B₂) × P(A|B₂) + ... + P(Bₙ) × P(A|Bₙ)
На словах понять возможно трудно, скоро перейдем к примеру
Мы как бы идём по каждой гипотезе, смотрим её вероятность, умножаем на вероятность A внутри неё, и всё складываем.
💜 Пример
Допустим, завод выпускает лампочки на трёх станках. Первый станок делает 50% продукции, второй — 30%, третий — 20%. Брак у первого станка — 1%, у второго — 3%, у третьего — 5%. Какова вероятность, что случайно выбранная лампочка окажется бракованной?
Введём обозначения:
B₁ — лампочка сделана на первом станке, P(B₁) = 0.5
B₂ — лампочка сделана на втором станке, P(B₂) = 0.3
B₃ — лампочка сделана на третьем станке, P(B₃) = 0.2
A — лампочка бракованная.
Условные вероятности:
P(A|B₁) = 0.01
P(A|B₂) = 0.03
P(A|B₃) = 0.05
Подставляем в формулу:
P(A) = 0.5 × 0.01 + 0.3 × 0.03 + 0.2 × 0.05
P(A) = 0.005 + 0.009 + 0.01
P(A) = 0.024
Ответ: вероятность вытянуть бракованную лампочку равна 0.024, то есть 2.4%.
🍇 Вывод
Формула полной вероятности позволяет разбить сложную задачу на части. Зная её, можно двигаться дальше — к теореме Байеса
#углублённо
◻️ Теорема Байеса
Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных.
Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать.
Например:
- Гипотеза: человек болен некоторой болезнью.
- Событие: тест показал положительный результат.
- Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен.
Или другой пример:
- Гипотеза: письмо — спам.
- Событие: в письме встретилось слово «заработок».
- Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам
То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе?
◻️ Сама формула
Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E.
P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.
◻️ Разбор на примере
Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
Результат: примерно 9%.
#углублённо
Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных.
Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать.
Например:
- Гипотеза: человек болен некоторой болезнью.
- Событие: тест показал положительный результат.
- Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен.
Или другой пример:
- Гипотеза: письмо — спам.
- Событие: в письме встретилось слово «заработок».
- Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам
То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе?
◻️ Сама формула
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E.
P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.
◻️ Разбор на примере
Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
1️⃣ Определяем гипотезу и событие.
H — человек болен.
E — тест положительный
2️⃣ Выписываем известные вероятности.
P(H) = 0.001 (болезнь у 0.1% людей, это априорная вероятность).
P(E|H) = 0.99 (тест положителен с вероятностью 99%, если человек болен).
3️⃣ Считаем P(E) — полную вероятность положительного теста. Здесь нужна формула полной вероятности, которую мы разбирали в прошлом посте.
Гипотез две: человек болен (H) и человек здоров (не H). Обозначим не H как ¬H.
P(¬H) = 0.999 (вероятность быть здоровым).
P(E|¬H) = 0.01 (вероятность ложного положительного теста, если человек здоров).
По формуле полной вероятности:
P(E) = P(H) × P(E|H) + P(¬H) × P(E|¬H)
P(E) = 0.001 × 0.99 + 0.999 × 0.01
P(E) = 0.00099 + 0.00999
P(E) = 0.01098
4️⃣ Подставляем всё в формулу Байеса.
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
P(H|E) = 0.99 × 0.001 / 0.01098
P(H|E) = 0.00099 / 0.01098
P(H|E) ≈ 0.0902
Результат: примерно 9%.
#углублённо
💜 Случайные величины: Старт
До этого мы говорили о событиях. Выпал орёл, вытянули туза, тест показал положительный результат. Это всё события. Они либо произошли, либо нет.
Теперь переходим к следующему шагу — случайным величинам. Это когда результат опыта выражается числом.
🍇 Что такое случайная величина
Случайная величина — это величина, которая принимает то или иное числовое значение в зависимости от исхода случайного опыта.
Простой пример. Бросаем кубик. Выпало 3 — случайная величина приняла значение 3. Выпало 6 — приняла значение 6. Мы не знаем заранее, какое значение будет. Но знаем, из какого набора чисел оно может быть выбрано и с какими вероятностями.
🟣 Дискретные и непрерывные
Случайные величины делятся на два типа. Разница в том, какие значения они могут принимать.
Дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные значения. Их можно пересчитать. Например, число орлов при трёх бросках монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. Четыре варианта.
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка. Пример: Рост случайного человека. Может быть 172 см, 172.1 см, 172.15 см и так далее. Значений бесконечно много, они идут сплошным интервалом.
Для непрерывных величин нельзя сказать «вероятность того, что рост равен ровно 180 см». Такая вероятность равна нулю, потому что вариантов бесконечно много. Вместо этого говорят о вероятности попасть в интервал, например от 179 до 181 см.
👾 Зачем это?
Когда мы вводим случайную величину, мы перестаём каждый раз описывать словами, что именно произошло. Вместо этого мы говорим на языке чисел. А с числами уже можно работать: складывать, усреднять, строить графики.
#простым_языком
До этого мы говорили о событиях. Выпал орёл, вытянули туза, тест показал положительный результат. Это всё события. Они либо произошли, либо нет.
Теперь переходим к следующему шагу — случайным величинам. Это когда результат опыта выражается числом.
🍇 Что такое случайная величина
Случайная величина — это величина, которая принимает то или иное числовое значение в зависимости от исхода случайного опыта.
Простой пример. Бросаем кубик. Выпало 3 — случайная величина приняла значение 3. Выпало 6 — приняла значение 6. Мы не знаем заранее, какое значение будет. Но знаем, из какого набора чисел оно может быть выбрано и с какими вероятностями.
🟣 Дискретные и непрерывные
Случайные величины делятся на два типа. Разница в том, какие значения они могут принимать.
Дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные значения. Их можно пересчитать. Например, число орлов при трёх бросках монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. Четыре варианта.
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка. Пример: Рост случайного человека. Может быть 172 см, 172.1 см, 172.15 см и так далее. Значений бесконечно много, они идут сплошным интервалом.
Для непрерывных величин нельзя сказать «вероятность того, что рост равен ровно 180 см». Такая вероятность равна нулю, потому что вариантов бесконечно много. Вместо этого говорят о вероятности попасть в интервал, например от 179 до 181 см.
👾 Зачем это?
Когда мы вводим случайную величину, мы перестаём каждый раз описывать словами, что именно произошло. Вместо этого мы говорим на языке чисел. А с числами уже можно работать: складывать, усреднять, строить графики.
#простым_языком
Дискретные случайные величины: закон распределения
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения. Их можно перечислить списком. Чтобы описать такую величину полностью, нужно знать две вещи: какие значения она может принимать и с какими вероятностями. Это и называется законом распределения.
1️⃣ Все вероятности должны быть от 0 до 1. Это мы уже знаем из первых постов.
2️⃣ Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Потому что какое-то значение точно выпадет. События «величина приняла значение x» несовместны (два события не могут произойти одновременно) и покрывают все возможные исходы.
🎲 Простой пример: один кубик
Бросаем правильный кубик. Случайная величина X — число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого: 1/6.
Записываем в таблицу:
Проверяем сумму:
Всё верно. Это пример равномерного распределения — все значения равновероятны.
🎲 Сумма двух кубиков 🎲
Бросаем два кубика. Случайная величина Y — сумма очков на обоих.
Здесь вероятности уже не одинаковые. Сумма 2 выпадает только одним способом: 1+1. А сумма 7 — шестью разными способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Всего возможных исходов при броске двух кубиков: 6 × 6 = 36. Все они равновероятны.
Строим таблицу. Для каждого значения суммы считаем, сколько исходов к ней приводит, и делим на 36
Всё верно.
Видно, что форма распределения уже не равномерная, а с пиком в центре. Это важная идея: суммы случайных величин обычно концентрируются около средних значений.
Закон распределения — это полное описание случайной величины. Зная его, можно считать средние значения, вероятности попадания в интервалы, разброс и многое другое. В следующем посте начнём разбирать математическое ожидание.
#простым_языком
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения. Их можно перечислить списком. Чтобы описать такую величину полностью, нужно знать две вещи: какие значения она может принимать и с какими вероятностями. Это и называется законом распределения.
1️⃣ Все вероятности должны быть от 0 до 1. Это мы уже знаем из первых постов.
2️⃣ Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Потому что какое-то значение точно выпадет. События «величина приняла значение x» несовместны (два события не могут произойти одновременно) и покрывают все возможные исходы.
🎲 Простой пример: один кубик
Бросаем правильный кубик. Случайная величина X — число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого: 1/6.
Записываем в таблицу:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Проверяем сумму:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
Всё верно. Это пример равномерного распределения — все значения равновероятны.
🎲 Сумма двух кубиков 🎲
Бросаем два кубика. Случайная величина Y — сумма очков на обоих.
Здесь вероятности уже не одинаковые. Сумма 2 выпадает только одним способом: 1+1. А сумма 7 — шестью разными способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Всего возможных исходов при броске двух кубиков: 6 × 6 = 36. Все они равновероятны.
Строим таблицу. Для каждого значения суммы считаем, сколько исходов к ней приводит, и делим на 36
- Y = 2: 1 способ, P = 1/36Проверяем сумму
- Y = 3: 2 способа, P = 2/36
- Y = 4: 3 способа, P = 3/36
- Y = 5: 4 способа, P = 4/36
- Y = 6: 5 способов, P = 5/36
- Y = 7: 6 способов, P = 6/36
- Y = 8: 5 способов, P = 5/36
- Y = 9: 4 способа, P = 4/36
- Y = 10: 3 способа, P = 3/36
- Y = 11: 2 способа, P = 2/36
- Y = 12: 1 способ, P = 1/36
(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) / 36 = 36/36 = 1
Всё верно.
Видно, что форма распределения уже не равномерная, а с пиком в центре. Это важная идея: суммы случайных величин обычно концентрируются около средних значений.
Закон распределения — это полное описание случайной величины. Зная его, можно считать средние значения, вероятности попадания в интервалы, разброс и многое другое. В следующем посте начнём разбирать математическое ожидание.
#простым_языком
🍌4