💉 Ошибки интуиции в вероятности. Часть 3
Продолжаем разбирать ситуации, где интуиция подводит. Финальный пример: медицинский тест. Он хорошо показывает, как легко обмануться, если не учитывать все условия.
🏥 Задача
Интуиция почти всегда подсказывает: тест точен на 99%, значит и шанс болезни — около 99%. Но на самом деле это не так.
Считаем правильно
Рассмотрим 100 000 случайных людей. При распространённости 0.1% больных среди них будет примерно 100 человек, а здоровых — 99 900.
- Из 100 больных тест верно определит болезнь у 99 человек (99%).
- Из 99 900 здоровых тест даст ложноположительный результат у 1%, то есть у 999 человек.
Общее количество положительных результатов: 99 + 999 = 1098.
Из них действительно больных только 99.
Вероятность быть больным при положительном тесте равна 99 / 1098 ≈ 0.09, то есть примерно 9%.
Разница между ожидаемыми 99% и реальными 9% колоссальна.
Почему так странно работает
Всё дело в том, что болезнь очень редкая. Больных людей в тысячу раз меньше, чем здоровых. И хотя тест ошибается всего в 1% случаев у здоровых, этих здоровых так много, что абсолютное число ложных срабатываний (999) оказывается значительно больше, чем число истинных положительных (99). Тест буквально находит сотни ложных больных на каждого настоящего, потому что проверил огромную толпу здоровых.
Формально это описывается теоремой Байеса. Она учитывает не только точность теста, но и априорную вероятность — то есть насколько вообще вероятно быть больным до проведения теста (0.1%). Итоговая вероятность получается после пересчёта с учётом новых данных. Если априорная вероятность очень мала, то даже при хорошем тесте итоговая вероятность может оставаться низкой
Априорная вероятность
Это вероятность события до получения новых данных. В примере с тестом — распространённость болезни (0.1%). Она влияет на итоговый результат: если болезнь редкая, даже точный тест даёт много ложных срабатываний
#углублённо
Продолжаем разбирать ситуации, где интуиция подводит. Финальный пример: медицинский тест. Он хорошо показывает, как легко обмануться, если не учитывать все условия.
🏥 Задача
Пусть в популяции некоторая болезнь встречается у 0.1% людей. Иначе говоря, болен 1 человек из 1000. Существует тест, который определяет болезнь с точностью 99%: если человек болен, тест даст положительный результат в 99% случаев. Если человек здоров, тест ошибается и тоже показывает положительный результат в 1% случаев (это называется ложноположительным срабатыванием).
Вы случайный человек с улицы. Вы проходите тест и получаете положительный результат. Какова вероятность, что вы действительно больны?
Интуиция почти всегда подсказывает: тест точен на 99%, значит и шанс болезни — около 99%. Но на самом деле это не так.
Считаем правильно
Рассмотрим 100 000 случайных людей. При распространённости 0.1% больных среди них будет примерно 100 человек, а здоровых — 99 900.
- Из 100 больных тест верно определит болезнь у 99 человек (99%).
- Из 99 900 здоровых тест даст ложноположительный результат у 1%, то есть у 999 человек.
Общее количество положительных результатов: 99 + 999 = 1098.
Из них действительно больных только 99.
Вероятность быть больным при положительном тесте равна 99 / 1098 ≈ 0.09, то есть примерно 9%.
Разница между ожидаемыми 99% и реальными 9% колоссальна.
Почему так странно работает
Всё дело в том, что болезнь очень редкая. Больных людей в тысячу раз меньше, чем здоровых. И хотя тест ошибается всего в 1% случаев у здоровых, этих здоровых так много, что абсолютное число ложных срабатываний (999) оказывается значительно больше, чем число истинных положительных (99). Тест буквально находит сотни ложных больных на каждого настоящего, потому что проверил огромную толпу здоровых.
Формально это описывается теоремой Байеса. Она учитывает не только точность теста, но и априорную вероятность — то есть насколько вообще вероятно быть больным до проведения теста (0.1%). Итоговая вероятность получается после пересчёта с учётом новых данных. Если априорная вероятность очень мала, то даже при хорошем тесте итоговая вероятность может оставаться низкой
Априорная вероятность
Это вероятность события до получения новых данных. В примере с тестом — распространённость болезни (0.1%). Она влияет на итоговый результат: если болезнь редкая, даже точный тест даёт много ложных срабатываний
#углублённо
⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
#простым_языком
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
P(1) = 1/6
P(6) = 1/6
События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно.
P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B)
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
P(орёл в первом броске) = 1/2
P(орёл во втором броске) = 1/2
Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат.
P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
P(шестёрка в первом броске) = 1/6
P(шестёрка во втором броске) = 1/6
Броски независимы.
P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36
#простым_языком
❤6
✳️ Условная вероятность
В прошлый раз мы говорили, что независимые события не влияют друг на друга. Но в жизни так бывает не всегда. Часто наступление одного события меняет шансы другого. Для таких случаев вводят понятие условной вероятности.
Условная вероятность — это вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Обозначается P(A|B). Читается так: «вероятность A при условии B».
Здесь P(A и B) — вероятность, что произошли оба события одновременно. P(B) — вероятность самого условия. Мы как бы сужаем пространство всех возможных исходов до тех, где B уже случилось.
🃏 Простой пример
Представьте колоду из 36 карт. Тянем одну карту наугад.
Событие A — вытянули туза.
Событие B — вытянули карту чёрной масти.
P(A) без всяких условий = 4/36 = 1/9.
Теперь спросим иначе: какова вероятность вытянуть туза, если известно, что вытянутая карта чёрной масти?
или же
В этот раз вероятности совпали. Это потому, что события «вытянуть туза» и «вытянуть чёрную масть» независимы. Масть не влияет на шанс быть тузом.
🔥 Пример с зависимыми событиями
Теперь изменим условие. Событие A — вытянули туза. Событие B — вытянули карту с картинкой (валет, дама, король, туз).
А без условия вероятность туза была 4/36 = 1/9. Видно, что знание о том, что карта — картинка, сильно повысило шанс. События оказались зависимыми.
Вывод
⭕ Если события независимы, то P(A|B) = P(A). Условие ничего не меняет.
⭕ Если события зависимы, то P(A|B) отличается от P(A). Условие меняет картину.
Это важно понимать, чтобы не попадать в ловушки вроде тех, что мы разбирали в посте про медицинский тест. Там вероятность болезни при положительном тесте — это классический пример условной вероятности.
#простым_языком
В прошлый раз мы говорили, что независимые события не влияют друг на друга. Но в жизни так бывает не всегда. Часто наступление одного события меняет шансы другого. Для таких случаев вводят понятие условной вероятности.
Условная вероятность — это вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Обозначается P(A|B). Читается так: «вероятность A при условии B».
P(A|B) = P(A и B) / P(B)
Здесь P(A и B) — вероятность, что произошли оба события одновременно. P(B) — вероятность самого условия. Мы как бы сужаем пространство всех возможных исходов до тех, где B уже случилось.
🃏 Простой пример
Представьте колоду из 36 карт. Тянем одну карту наугад.
Событие A — вытянули туза.
Событие B — вытянули карту чёрной масти.
P(A) без всяких условий = 4/36 = 1/9.
Теперь спросим иначе: какова вероятность вытянуть туза, если известно, что вытянутая карта чёрной масти?
Чёрных карт в колоде 18 (пики и трефы). Среди них ровно 2 туза (пиковый и трефовый). Поэтому P(туз | чёрная масть) = 2/18 = 1/9
или же
P(туз | черная масть) = P(туз и черная масть) / P(черная масть) = P(туз) * P(черная масть) / P(черная масть) = P(туз) = 1/9
В этот раз вероятности совпали. Это потому, что события «вытянуть туза» и «вытянуть чёрную масть» независимы. Масть не влияет на шанс быть тузом.
🔥 Пример с зависимыми событиями
Теперь изменим условие. Событие A — вытянули туза. Событие B — вытянули карту с картинкой (валет, дама, король, туз).
Всего карт с картинками в колоде 16 (4 валета, 4 дамы, 4 короля, 4 туза). Из них 4 туза. Поэтому P(туз | картинка) = 4/16 = 1/4или
P(туз и картинка) — вероятность вытянуть карту, которая одновременно и туз, и картинка. Все тузы — это картинки, поэтому P(туз и картинка) = P(туз) = 4/36 = 1/9
P(картинка) = 16/36 = 4/9.
Подставляем в формулу: P(туз | картинка) = (1/9) / (4/9) = 1/4. Всё сходится.
А без условия вероятность туза была 4/36 = 1/9. Видно, что знание о том, что карта — картинка, сильно повысило шанс. События оказались зависимыми.
Вывод
⭕ Если события независимы, то P(A|B) = P(A). Условие ничего не меняет.
⭕ Если события зависимы, то P(A|B) отличается от P(A). Условие меняет картину.
Это важно понимать, чтобы не попадать в ловушки вроде тех, что мы разбирали в посте про медицинский тест. Там вероятность болезни при положительном тесте — это классический пример условной вероятности.
#простым_языком
⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
#простым_языком
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
P(1) = 1/6
P(6) = 1/6
События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно.
P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B)
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
P(орёл в первом броске) = 1/2
P(орёл во втором броске) = 1/2
Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат.
P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
P(шестёрка в первом броске) = 1/6
P(шестёрка во втором броске) = 1/6
Броски независимы.
P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36
#простым_языком
🟣 Формула полной вероятности
Продолжаем серию постов по теории вероятностей. Сегодня разберём формулу полной вероятности. Она нужна, когда событие может наступить при разных условиях, и мы знаем вероятности этих условий и вероятности события при каждом из них.
☂️ Когда это нужно
Представьте, что у вас есть несколько путей, по которым может произойти событие A. Например, вы можете получить сообщение через Telegram, через WhatsApp или по SMS. У каждого способа своя вероятность, и внутри каждого способа своя вероятность, что сообщение дойдёт мгновенно. Как посчитать общую вероятность того, что сообщение дойдёт мгновенно?
В таких задачах и применяется формула полной вероятности.
👾 Формула
Пусть есть несколько гипотез B₁, B₂, ..., Bₙ. Они должны быть несовместными и покрывать все возможные случаи. Иными словами, что-то одно из этого списка обязательно происходит, и одновременно две разные гипотезы случиться не могут.
Тогда вероятность события A считается так:
На словах понять возможно трудно, скоро перейдем к примеру
Мы как бы идём по каждой гипотезе, смотрим её вероятность, умножаем на вероятность A внутри неё, и всё складываем.
💜 Пример
Допустим, завод выпускает лампочки на трёх станках. Первый станок делает 50% продукции, второй — 30%, третий — 20%. Брак у первого станка — 1%, у второго — 3%, у третьего — 5%. Какова вероятность, что случайно выбранная лампочка окажется бракованной?
Введём обозначения:
A — лампочка бракованная.
Условные вероятности:
Подставляем в формулу:
Ответ: вероятность вытянуть бракованную лампочку равна 0.024, то есть 2.4%.
🍇 Вывод
Формула полной вероятности позволяет разбить сложную задачу на части. Зная её, можно двигаться дальше — к теореме Байеса
#углублённо
Продолжаем серию постов по теории вероятностей. Сегодня разберём формулу полной вероятности. Она нужна, когда событие может наступить при разных условиях, и мы знаем вероятности этих условий и вероятности события при каждом из них.
☂️ Когда это нужно
Представьте, что у вас есть несколько путей, по которым может произойти событие A. Например, вы можете получить сообщение через Telegram, через WhatsApp или по SMS. У каждого способа своя вероятность, и внутри каждого способа своя вероятность, что сообщение дойдёт мгновенно. Как посчитать общую вероятность того, что сообщение дойдёт мгновенно?
В таких задачах и применяется формула полной вероятности.
👾 Формула
Пусть есть несколько гипотез B₁, B₂, ..., Bₙ. Они должны быть несовместными и покрывать все возможные случаи. Иными словами, что-то одно из этого списка обязательно происходит, и одновременно две разные гипотезы случиться не могут.
Тогда вероятность события A считается так:
P(A) = P(B₁) × P(A|B₁) + P(B₂) × P(A|B₂) + ... + P(Bₙ) × P(A|Bₙ)
На словах понять возможно трудно, скоро перейдем к примеру
Мы как бы идём по каждой гипотезе, смотрим её вероятность, умножаем на вероятность A внутри неё, и всё складываем.
💜 Пример
Допустим, завод выпускает лампочки на трёх станках. Первый станок делает 50% продукции, второй — 30%, третий — 20%. Брак у первого станка — 1%, у второго — 3%, у третьего — 5%. Какова вероятность, что случайно выбранная лампочка окажется бракованной?
Введём обозначения:
B₁ — лампочка сделана на первом станке, P(B₁) = 0.5
B₂ — лампочка сделана на втором станке, P(B₂) = 0.3
B₃ — лампочка сделана на третьем станке, P(B₃) = 0.2
A — лампочка бракованная.
Условные вероятности:
P(A|B₁) = 0.01
P(A|B₂) = 0.03
P(A|B₃) = 0.05
Подставляем в формулу:
P(A) = 0.5 × 0.01 + 0.3 × 0.03 + 0.2 × 0.05
P(A) = 0.005 + 0.009 + 0.01
P(A) = 0.024
Ответ: вероятность вытянуть бракованную лампочку равна 0.024, то есть 2.4%.
🍇 Вывод
Формула полной вероятности позволяет разбить сложную задачу на части. Зная её, можно двигаться дальше — к теореме Байеса
#углублённо
◻️ Теорема Байеса
Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных.
Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать.
Например:
- Гипотеза: человек болен некоторой болезнью.
- Событие: тест показал положительный результат.
- Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен.
Или другой пример:
- Гипотеза: письмо — спам.
- Событие: в письме встретилось слово «заработок».
- Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам
То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе?
◻️ Сама формула
Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E.
P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.
◻️ Разбор на примере
Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
Результат: примерно 9%.
#углублённо
Это одна из самых важных тем в теории вероятностей. Выглядит она на первый взгляд как просто формула, но за ней стоит способ мышления. Теорема Байеса отвечает на вопрос: как пересмотреть свои ожидания после получения новых данных.
Представьте, что у вас есть некоторая гипотеза. Вы примерно представляете, насколько она вероятна. Потом происходит некоторое событие, которое как-то связано с этой гипотезой. После этого события ваша оценка вероятности гипотезы должна измениться. Теорема Байеса говорит, как именно её пересчитать.
Например:
- Гипотеза: человек болен некоторой болезнью.
- Событие: тест показал положительный результат.
- Вопрос: какова теперь вероятность, что человек действительно болен.
Или другой пример:
- Гипотеза: письмо — спам.
- Событие: в письме встретилось слово «заработок».
- Вопрос: какова теперь вероятность, что письмо — спам
То есть мы не считаем вероятность второго события при первом, а пересчитываем вероятность. Раньше, шанс первого был 1, а какая вероятность первого события, после того как произошло второе?
◻️ Сама формула
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
Читается так: вероятность гипотезы H при условии, что произошло событие E, равна вероятности события E при условии H, умноженной на априорную вероятность H, и делённой на полную вероятность события E.
P(H|E) — это то, что мы ищем. Апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.
◻️ Разбор на примере
Возьмём задачу из предыдущих постов. Болезнь встречается у 0.1% людей. Тест даёт положительный результат в 99% случаев, если человек болен. Тест даёт положительный результат в 1% случаев, если человек здоров. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
1️⃣ Определяем гипотезу и событие.
H — человек болен.
E — тест положительный
2️⃣ Выписываем известные вероятности.
P(H) = 0.001 (болезнь у 0.1% людей, это априорная вероятность).
P(E|H) = 0.99 (тест положителен с вероятностью 99%, если человек болен).
3️⃣ Считаем P(E) — полную вероятность положительного теста. Здесь нужна формула полной вероятности, которую мы разбирали в прошлом посте.
Гипотез две: человек болен (H) и человек здоров (не H). Обозначим не H как ¬H.
P(¬H) = 0.999 (вероятность быть здоровым).
P(E|¬H) = 0.01 (вероятность ложного положительного теста, если человек здоров).
По формуле полной вероятности:
P(E) = P(H) × P(E|H) + P(¬H) × P(E|¬H)
P(E) = 0.001 × 0.99 + 0.999 × 0.01
P(E) = 0.00099 + 0.00999
P(E) = 0.01098
4️⃣ Подставляем всё в формулу Байеса.
P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)
P(H|E) = 0.99 × 0.001 / 0.01098
P(H|E) = 0.00099 / 0.01098
P(H|E) ≈ 0.0902
Результат: примерно 9%.
#углублённо