🎉 С днём числа π! 🎉

Сегодня, 03.14, всемирный день числа пи. Обсуждение в комментариях подсказало мне, какую тему разобрать в этот день. Но начнем по порядку

❔Какие бывают системы координат❔

Всем известная система координат - Декартова или прямоугольная. В этой системе координат, точка задаётся с помощью x и y. x - расстояние от оси Oy, y - расстояние от оси Ox

Также популярная система координат - полярная. В этой СК точка задается с помощью φ - угол наклона и θ - расстояние от центра. Точка задается на указанному расстоянию под указанным углом (см. картинку)

Есть менее популярные системы координат, например гексагональная и треугольная. Декартову систему координат можно представить, как её обычно рисуют квадратами. Единичные отрезки - рёбра квадрата. В треугольной и гексагональной системах соответственно другие фигуры ложатся в основу (см. картинку)

📝 Чему равно число пи в разных СК?

На самом деле система координат сама по себе не влияет на число π. Система координат — это просто способ задавать положение точки числами. То есть способ сказать, где находится точка.

Но расстояние между точками задаёт не система координат, а другое понятие — метрика.

📝 Что такое метрика?

Метрика — это правило, которое говорит, как считать расстояние между двумя точками.

Например в обычной школьной геометрии используется евклидова метрика. Расстояние между точками считается по теореме Пифагора. В этой метрике окружность выглядит как привычный круг. И в ней π ≈ 3.14159

Но если изменить правило измерения расстояния, форма окружности меняется. А значит меняется и отношение длины окружности к диаметру — то есть число π.

Например если расстояние считать как сумму шагов по координатам

d = |x| + |y|

то окружность становится ромбом. Это называется метрика Манхэттена. В ней

π = 4

Если расстояние считать как максимум координат

d = max(|x|,|y|)

то окружность становится квадратом. И снова

π = 4

Если расстояние измерять по треугольной решётке (движение по рёбрам треугольников), то окружность превращается в правильный шестиугольник. В этой геометрии

π = 3

То есть значение числа π зависит не от системы координат, а от того, как именно мы измеряем расстояние между точками. Интересно, не правда ли? Скоро продолжим углубляться в тему числа 📝