🔬 НЕЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МОЙ ДЕМОН. О Валерии Долотине

Наконец-то могу об этом написать. Я на связи с Валерием Долотиным - математиком из ИТЭФ. Имя знают немногие, а стоило бы многим.

Родословная.

Долотин учился в аспирантуре у Израиля Гельфанда в Rutgers. Сам он формулирует это так: Колмогорову внук.

Потому что Гельфанд - ученик Колмогорова. Попал к нему в аспирантуру в 1932-м, не имея ни диплома, ни школьного аттестата. Первую научную статью написал с Колмогоровым в соавторстве. Позже Колмогоров говорил, что есть только два математика, в разговоре с которыми он ощущал присутствие высшего разума, и один из них - Гельфанд.

Держите это в голове в следующий раз, когда услышите, что без диплома в науку не пускают.

Что он сделал.

31 год публикаций. Nuclear Physics B, JHEP, IJMPA, Известия РАН.

- «О дискриминантах полилинейных форм» (Известия РАН, 62:2, 1998)
- «QFT's with action of degree 3 and higher and degeneracy of tensors» (1997)
- «Introduction to Non-Linear Algebra», с А. Морозовым (World Scientific, 2007)
- «The Universal Mandelbrot Set», с ним же (2006)
- серия «Introduction to Khovanov Homologies» (2012-2013)
- и последние годы - ML с теоретического угла: «A new Uncertainty Principle in Machine Learning» (2026)

В чём мякотка.

Вся линейная алгебра - в конечном счёте теория одного объекта: определителя. det A = 0 говорит, когда оператор вырожден. На этом стоит половина вычислительной математики.

Вопрос Долотина: что играет роль определителя для нелинейных объектов - тензоров, полилинейных форм, отображений степени 3 и выше?

Ответ: дискриминант. И дальше строится вся теория заново - собственные подпространства нелинейных операторов, правило Крамера, экспоненциальное отображение. Всему, что мы делаем с матрицами, есть нелинейный аналог. А значит - приложения везде, где до сих пор прилагались матрицы.

Он делал это в 1995-1997. Тензорные методы стали центральными в ML и квантовой информации лет через пятнадцать. Гипердетерминант Кэли 2x2x2 - это буквально мера запутанности трёх кубитов, и это поняли позже, чем он написал свои работы.

Его собственные слова о книге: её никто не читает. Это, кажется, его почти перестало бесить.

Моя часть.

Моя статья - о цене предсказания. Два способа предсказать систему по одному сигналу: ждать, пока она повторится (метод аналогов, Лоренц, 1969), или настроить наблюдателя, который подстроится за десяток шагов. Доказано и измерено: ожидание дорожает как степень, наблюдатель - как логарифм. При точности одна миллионная разрыв - миллиард раз.

DEMON - про вторую дорогу. Наблюдатель, который смотрит не на всё, а туда, где есть структура, и платит за знание ровно столько, сколько оно стоит.

Где стыковка.

Граница моей теоремы - условие вырождения. Ускорение законно там, где объект вырожден, и запрещено там, где он полноранговый.

То есть граница моей работы - это нулевой этаж его здания: ранговые страты матриц суть детерминантальные многообразия, простейший случай теории, которую он строил для тензоров.

А что выше нулевого этажа - какие страты бывают у тензоров, где они вычислимы, где стена - это его язык. Не мой. Пока.

Статья уходит на arXiv. О результатах напишу.

Павел Техножнец / PPRFNK Tech

🦆🦆🦆
Поддержать канал ₽ / $ / ₿

Запостил статью о демоне, называется: Сжатие против рекуррентности

Хорошее, недолгое чтиво по делу. + скрипты для воспроизведения.
1-3 дня на модерацию. В понедельник уже выложу для всех статью, чтобы почитали.

arxiv.org

🦆🦆🦆
Поддержать канал ₽ / $ / ₿