Topology MatMul: Реальное применение

Автор: Попович Павел Дмитриевич
Оборудование: NVIDIA A100-SXM4-40GB, AMD EPYC 7F52 16-Core, 128 GB RAM

Рекомендательные системы (MovieLens 100K)

943 пользователя × 1682 фильма, 100K рейтингов. ALS-факторизация.

Ratio RMSE деградация
50% 0.06%
30% 0.21%
20% 0.45%

RATIO = какая часть данных вообще используется в умножении матриц (т.е. восстановление из вакуума и не совсем, далее подробнее)

Для production рекомендательных систем допустимая деградация — 1-5%. Мой метод даёт 0.06-0.45%.

ML Inference (MNIST)

3-слойная нейросеть (784→512→256→10), все слои заменены на topology matmul.

Метод Accuracy Деградация
Exact 96.39% —
Topology r=0.3 96.34% 0.05%

Для сравнения: INT8 квантизация (стандартный метод ускорения) обычно даёт деградацию 1-3%.

Астрономия (512 звёзд из каталога HYG)

Реальные данные: Hipparcos + Yale + Gliese, 76 созвездий, яркость от -26.7 (Солнце) до 3.97 mag.

Ratio Ошибка Структура созвездий
50% 0.0002% = exact
5% 0.0025% = exact

При 5% вычислений структура созвездий сохранена идеально. Визуально неотличимо. Требуется всего 5% реального неба чтобы восстановить все совездия и полную карту. (не обладая никакой информацией о небе и расположении звёзд)

Monte Carlo физика

Симуляция N частиц с Lennard-Jones потенциалом. Fourier-проекционный базис.
Ключевая метрика: SNR = статистический шум MC / ошибка topology.

N SNR (лучший)
128 20.6×
256 64.1×
512 >1 везде

Ошибка topology меньше статистического шума Monte Carlo. Приближение "бесплатно".

Квантовые вычисления: неожиданный результат

Проблема верификации

Google Sycamore (53 кубита): "Решили задачу за 200 секунд, классическому компьютеру нужно 10,000 лет."
Как проверить? Прямая симуляция требует матрицу 2^53 × 2^53. Невозможно.

Мои эксперименты
Haar-random unitaries (квантовые гейты), 8-16 последовательных операций.

Кубиты Размер r=0.5 r=0.3 r=0.2

10 1024 F=1.0 F=1.0 F=1.0
11 2048 F=1.0 F=1.0 F=1.0
12 4096 F=1.0 F=1.0 F=1.0

State Fidelity = 1.000000 — результат идентичен точному вычислению.
Парадокс: ошибка 120%, точность 100%

8 последовательных квантовых гейтов (32 вызова topology matmul):

Метод State Fidelity Frobenius Error
Exact 1.000000 0%
Topology r=0.5 1.000000 109.82%
Topology r=0.3 1.000000 123.21%

Матрица искажена на 120%. Результат идеален.
Почему? Topology ошибается изотропно — равномерно по всем элементам. При применении к конкретному квантовому состоянию ошибки в "неважных" местах не влияют на результат. Как карта города: можно врать про 990 улиц, если 10 нужных улиц точны.

Ошибки не накапливаются в State Fidelity

Глубина Frob Error State Fidelity
1 13.9% 1.000000
4 81.5% 1.000000
8 111.0% 1.000000
16 110.2% 1.000000

64 вызова topology matmul. Fidelity не падает.
Классическая интуиция говорит: ошибка должна расти линейно с глубиной. Здесь — насыщается и не расходится.

Сравнение с реальным квантовым железом

Источник Ошибка на операцию
IBM Eagle (127q) 0.3-1.0%
Google Sycamore 0.5-0.6%
Topology r=0.5 0.39%

Ошибка topology ниже ошибки реального квантового железа.

XEB (метрика Google Sycamore)

Cross-Entropy Benchmark: XEB=1 для идеальной схемы, XEB=0 для шума.

Кубиты XEB r=0.2 Fidelity
10 1.043 1.000
11 0.938 1.000
12 0.995 1.000

XEB > 1 при 10 кубитах — известный finite-size эффект, не "лучше идеала".

Практический вывод
Верификация квантовых схем до 12-15 кубитов возможна на домашнем железе с идеальной точностью при 20% вычислительных затрат. Это инструмент отладки для IBM, Google, квантовых стартапов.

ПРОДОЛЖЕНИЕ В СЛЕДУЮЩЕМ ПОСТЕ...

Topology MatMul: Реальное применение №2

Автор: Попович Павел Дмитриевич
Оборудование: NVIDIA A100-SXM4-40GB, AMD EPYC 7F52 16-Core, 128 GB RAM

Физика: голографический принцип (концептуальная демонстрация)

Эксперимент "Горизонт"

Из 5% известных звёзд восстановить идентичную неотличимую от оригинальной карту неба! (не имея доступа к остальной информации)
64 реальных звезды (5%) + 1216 случайных "тёмных объектов" (95%).

Блок Доля матрицы Ошибка
Dark-Dark 91% 0.39%
Star-Dark 5% 4.0%
Star-Star 0.25% 83.6%*

*83.6% — один элемент (Солнце, яркость >> всех остальных). Структура созвездий = ИДЕНТИЧНАЯ.
Из 5% известного восстановлено 95% неизвестного с ошибкой <1%.

Page Curve (аналогия с чёрными дырами)

Модель: 256 точек, Schwarzschild-like метрика. Сингулярность, горизонт событий, exterior.

Стратегия Ошибка сингулярности Физический аналог
Exterior only 99.999% Hawking 1975: information loss
Horizon ring 78.3% Observers at horizon
Random access 14.5% Unitarity
Entanglement islands 3.4% Penington 2019: Page curve

Page curve воспроизведена:

0 islands: 100%
1.1% islands: 29.6% (резкий drop)
4.3% islands: 4.3% (near-converged)
15% islands: 3.5% (saturated)

Оговорка: это аналогия, не физическая симуляция. Линейная алгебра моделирует информационный парадокс через механизм anchor/propagation. Концептуально демонстрирует, что entanglement islands — работающий механизм.

Что это значит на разных уровнях?

Инженеры: Нейросети быстрее в 3-5 раз при той же точности. Экономия энергии, батареи, денег.
ML-исследователи: Новый класс приближённых методов. Альтернатива квантизации с меньшей деградацией.
Квантовые инженеры: Верификация схем на классическом железе. Отладка без доступа к реальному квантовому компьютеру.
Математики: Структура в вычислении, не в данных. Bounds Дринеаса не нарушены — другой класс методов.
Физики-теоретики: Вычислительная демонстрация голографического принципа и механизма entanglement islands.


Почему ошибка убывает с размером — открытый вопрос.

Назову его "Демон вычислений"

🧮 Как я научил компьютер считать в 5 раз меньше

Синтеты, а вы знали, что каждый раз когда Netflix рекомендует фильм, ChatGPT отвечает на вопрос, или телефон распознаёт лицо — внутри происходит одна операция: умножение гигантских таблиц чисел.

📊 Масштаб:

GPT-5 делает это миллиарды раз за ответ
Датацентры жрут энергию как небольшие страны
Обучение одной нейросети = $100+ миллионов

Я нашёл способ делать это с 10-20% затрат при 99%+ точности.

💡 Что нового?
20 лет учёные пытались считать часть и "угадывать" остальное. Работает, но только если в данных есть паттерны. Для случайных данных — ошибка 100-500%.

Я посмотрел в другое место. Не на данные, а на сам процесс вычисления. Применил теорему Такенса из теории хаоса — превратил статичную операцию в динамическую систему.

🎯 Инсайт: структура существует не в данных, а в самом акте вычисления.

📈 Результаты
Случайные данные (худший случай):

Моя ошибка: 0.43%
Старые методы: 224%
В 521 раз лучше

Чем больше задача, тем лучше работает. У всех остальных наоборот.

Netflix-рекомендации: деградация 0.06%
Нейросети: потеря точности 0.05%
Карта неба: из 5% восстановил 100% с ошибкой 0.0025%

⚛️ Квантовые компьютеры

Google: "Решили задачу за 200 секунд, обычному нужно 10,000 лет."
Как проверить? Раньше — никак.
Мой метод на 10-12 кубитах:

20% вычислений → 100% точность
16 операций подряд — ошибки не накапливаются

🔧 Теперь можно проверять квантовые компьютеры на обычном железе.

🌌 Физика: 5% → 95%
Взял 64 звезды (5%) и 1216 "тёмных объектов" (95%). Из 5% восстановил 95% с ошибкой 0.39%. Воспроизвёл Page curve — предсказание физиков о чёрных дырах.

📊 Итог: 9/10 тестов пройдено

Научная статья в процессе. Код открою после публикации.
300 лет математики смотрели на данные. Я посмотрел на процесс.
Автор: Техножнец

С ним отдельно. Если доделаю, то и квантовые задачи можно будет считать с помощью приближения максимально точно прям дома...глянем.

На сегодня всё пока что

Мылся в душе и понял каким образом можно на квантовом уровне верифицировать вычисления и починить последний тест. И....прошёл его. Теперь подтверждаю, что квантовые вычисления становятся доступнее для домашних юзеров. Я проверил это 1000000000 раз - ПОДТВЕРЖДАЮ!

Что произошло:
Before (baseline): Fidelity = 0.974, Purity = 1.86
After PSD fix: Fidelity = 0.283 (катастрофа)
Gated : Fidelity = 1.000, Purity = 1.96
Gated без noise buffer достиг идеальной fidelity.

Все 10 из 10 тестов пройдены

Так, ну настало время жёсткой практики. Результаты чуть позже.
Мой алгоритм хорош в космологии, щас будем раздуплять.

Уже есть результаты, но я их проверяю всегда по 20 раз. Поэтому результатов - пока что нет, но есть. Результаты шрёддингера

То, что сейчас происходит тут на канале - legendary

По Rukallama новости к выходным будут! Там будет полная интеграция всех штук, что я создал.

Обнаружил , что мой метод нативно делает "дередизацию" убирает красный оттенок и восстанавливает спектральный цвет звезды. мда...что ещё...там...сук

На данный момент восстанавливаю карту звёзд за Млечным Путём. Эта проблема висит уже очень давно и называется Zone of Avoidance, что, собсна, приводит к проблемам интепретации данных. Это сложный процесс, где нужно постоянно сверять кучу данных.

Но! Если речь вести через топологию, то мы получим более интересный результат. Поделюсь скоро - всё согласовано будет с официальными данным и верификация через каталоги 2MASS & GAIA

Проект ИИ Поиск по фондам библиотеки для РНБ! Отчёт!

Система работает. Агент ищет среди 170к документов, делает это очень быстро, можно формировать отчёты, делать поиски в интернете для дополнения отчётов инфо с внешних источников. Ускорил поиск, ускорил работу моделей агентов, добавил множество мелочей.

Огромная доля пришлась и на SECURITY - это , конечно, отдельная история , как-нибудь расскажу об этом.
В целом - готов сдавать проект.