Для тех кто в танке, Российский ученый Иван Ремизов из НИУ ВШЭ Нижнего Новогорода и Института проблем передачи информации РАН, решил одну из так называемых «вечных» задач математики.

В чем её смысл, дословно и я как не матемтик это понял. Если посмотреть на кратинку, то частные случаи этой задачи были решены давно. Например, если коэффициенты постоянны, решение выражается через экспоненты и синусы/косинусы. Обычно это изучается на 1–2 курсах вузов.

Для некоторых специальных видов p(x) и q(x) решения тоже были известны (уравнения Эйлера, Бесселя, Лежандра и др.). Но общего аналитического решения для произвольных переменных коэффициентов не существовало.

Математики, долгие годы, считали что такого общего решения не может быть в принципе, так как уравнения этого класса охватывают слишком широкий набор явлений.

За последнии ~200 лет, учёные разрабатавали множество методов приближённого решения, какие-то вычесления вроде анализа поведения решений без явного вида. Но явной формулы, пригодной для любых p(x) и q(x) – не было. Задача считалась «неразрешимой» в общем виде.

И вот Иван, нашел способ свести широкий класс таких уравнений к интегралам от известных функций (квадратурам). А именно различным геометрическими преобразованиями, современной теорией динамических систем и алгебраическим инвариантам дифференциальных уравнений (что бы это не значило).

Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений — это функции, которые сохраняют вид уравнения при определённых преобразованиях.

😎 Если по простому, то он обнаружил, что с помощью специально подобранной замены переменных и функций, многие уравнения, которые считались «неприводимыми» к известным функциям, на самом деле можно привести к уже решённым каноническим формам. Причём это возможно не для единичных случаев, а для целого бесконечного семейства коэффициентов.

🏆 Метод основан на другой теории аппроксимаций Чернова, когда сложный, постоянно меняющийся процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов. По отдельности эти кусочки дают лишь упрощенную картину, но, когда их число устремляется к бесконечности, они бесшовно соединяются в идеально точный график решения.

Где это применяется и чем это нам грозит:

· Теория колебаний, системы с переменными параметрами (например, маятник с меняющейся длиной).
· Квантовая механика, то самое уравнение Шрёдингера с переменным потенциалом.
· Теория распространения волн в неоднородных средах (акустика, электродинамика).
· Теория управления и анализ устойчивости систем.
· Математическое моделирование в биологии, экономике, климатологии.
· и прочее, т.е. любые прикладные науки, где такие уравнения являются основой для описания динамических процессов.

Это далеко не полный список направлений в науке, где это может пригодиться. До сих пор для таких задач использовались численные методы, приближённые расчёты, или упрощения, предположение о постоянстве коэффициентов.

🎁 Теперь для огромного класса задач появится возможность получить точное аналитическое решение. Результат признан прорывом внутри математического сообщества, поскольку закрывает вопрос, открытый ещё в первой половине XIX века.

#skipcoding #покывыспали