🎯 Метод интервалов: как решать любые неравенства
📌 Алгоритм решения:
1. Находим нули функции (числитель = 0) и точки разрыва (знаменатель = 0)
2. Отмечаем точки на числовой прямой с учетом типа неравенства
3. Определяем знаки на интервалах
4. Записываем ответ согласно знаку неравенства
Разберем метод на примере:
📌 Шаг 1: Находим "критические" точки
1. Нули числителя (когда дробь = 0):
2. Нули знаменателя (где дробь не существует):
✅ Итоговые точки: -1, 1, 2
📌 Шаг 2: Рисуем числовую прямую и расставляем знаки
Есть 2 способа, как расставить знаки на интервалах
1) просто подставляем точку из интервала в неравенство и, если получается положительное число, то ставим +, если отрицательное, то -
2) смотрим на старшую степень. В нашем случае старшая степень - это x² в числителе и x в знаменателе, коэффициент перед x² и x будет положительное число, +/+ = +, следовательно интервал, который находится справа будет +
Как только определили знак на каком-либо интервале, просто чередуем знаки на каждом интервале. НО, если у нас есть корни четной степени, то вокруг этой точки знаки не чередуются!(рассмотрим на втором примере этот случай)
- + - +
----●-------○-------●---->
-1 1 2
● — закрашенные точки (неравенство НЕстрогое ≥)
○ — выколотая точка (на ноль делить нельзя)
так как нужны интервалы ≥ 0,
Ответ: x ∈ [-1, 1) u [2; +∞)
Разберем второй пример
Нули числителя (когда дробь = 0):
+ + - +
------○-------○-------○---->
-2 0 3
Итого в ответ будет x ∈ (0, 3)
Но будьте внимательнее и проверяйте принадлежит ли нам корень четной степени или нет. Бывают случаи, когда он тоже пойдет в ответ. В нашем случае он не принадлежит x, так как при подставке получается 0 < 0, чего не может быть.
💡 Важные нюансы:
Корни ЧЕТНОЙ кратности — знак НЕ меняется при переходе через точку
Корни НЕЧЕТНОЙ кратности — знак меняется
Точки знаменателя — всегда выколоты
Нестрогое неравенство — включаем точки из числителя
🔁 Проверь себя:
Реши неравенство: (x + 1)³/(x - 2) ≥ 0
Пиши ответ в комментариях! 👇
📌 Алгоритм решения:
1. Находим нули функции (числитель = 0) и точки разрыва (знаменатель = 0)
2. Отмечаем точки на числовой прямой с учетом типа неравенства
3. Определяем знаки на интервалах
4. Записываем ответ согласно знаку неравенства
Разберем метод на примере:
(x² - x - 2) / (x - 1) ≥ 0
📌 Шаг 1: Находим "критические" точки
1. Нули числителя (когда дробь = 0):
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
Корни: x = 2, x = -1
2. Нули знаменателя (где дробь не существует):
x - 1 ≠ 0
x ≠ 1 — всегда выколотая точка
✅ Итоговые точки: -1, 1, 2
📌 Шаг 2: Рисуем числовую прямую и расставляем знаки
Есть 2 способа, как расставить знаки на интервалах
1) просто подставляем точку из интервала в неравенство и, если получается положительное число, то ставим +, если отрицательное, то -
2) смотрим на старшую степень. В нашем случае старшая степень - это x² в числителе и x в знаменателе, коэффициент перед x² и x будет положительное число, +/+ = +, следовательно интервал, который находится справа будет +
Как только определили знак на каком-либо интервале, просто чередуем знаки на каждом интервале. НО, если у нас есть корни четной степени, то вокруг этой точки знаки не чередуются!(рассмотрим на втором примере этот случай)
- + - +
----●-------○-------●---->
-1 1 2
● — закрашенные точки (неравенство НЕстрогое ≥)
○ — выколотая точка (на ноль делить нельзя)
так как нужны интервалы ≥ 0,
Ответ: x ∈ [-1, 1) u [2; +∞)
Разберем второй пример
(x - 3)(x + 2)² / x < 0
Нули числителя (когда дробь = 0):
(x - 3)(x + 2)² = 0
x - 3 = 0 → x = 3
(x + 2)² = 0 → x = -2 (корень четной степени)
2. Нули знаменателя (где дробь не существует):
x ≠ 0 — всегда выколота
+ + - +
------○-------○-------○---->
-2 0 3
Итого в ответ будет x ∈ (0, 3)
Но будьте внимательнее и проверяйте принадлежит ли нам корень четной степени или нет. Бывают случаи, когда он тоже пойдет в ответ. В нашем случае он не принадлежит x, так как при подставке получается 0 < 0, чего не может быть.
💡 Важные нюансы:
Корни ЧЕТНОЙ кратности — знак НЕ меняется при переходе через точку
Корни НЕЧЕТНОЙ кратности — знак меняется
Точки знаменателя — всегда выколоты
Нестрогое неравенство — включаем точки из числителя
🔁 Проверь себя:
Реши неравенство: (x + 1)³/(x - 2) ≥ 0
Пиши ответ в комментариях! 👇
❤4🤔4🥰3
Математика: Просто о сложном
🎯 Метод интервалов: как решать любые неравенства 📌 Алгоритм решения: 1. Находим нули функции (числитель = 0) и точки разрыва (знаменатель = 0) 2. Отмечаем точки на числовой прямой с учетом типа неравенства 3. Определяем знаки на интервалах 4. Записываем ответ…
Важное дополнение в посту выше
❌ Распространённая ошибка: При расстановке знаков методом "чередования" некоторые рисуют "петлю", ставя внутри неё знак (например, плюс), пытаясь показать, что знак вокруг корня чётной кратности не меняется.
⚠️ Почему это грубая ошибка:
Такой "плюс в петле" ошибочно означает, что в самой точке значение выражения положительно или отрицательно. На самом деле, в этой точке выражение равно нулю. Путаница между значением выражения в точке и его знаком в окрестности точки недопустима.
✅ Правильный подход:
Корень чётной кратности — это точка, при переходе через которую знак выражения НЕ МЕНЯЕТСЯ. Графически это можно показать, просто не меняя знак при переходе через отмеченную на оси точку.
Вывод: Использование "петли" со знаком внутри считается грубой методической ошибкой и может привести к снижению балла на экзамене, так как искажает математическую суть — смешивает значение функции в точке и её знак в окрестности.
❌ Распространённая ошибка: При расстановке знаков методом "чередования" некоторые рисуют "петлю", ставя внутри неё знак (например, плюс), пытаясь показать, что знак вокруг корня чётной кратности не меняется.
⚠️ Почему это грубая ошибка:
Такой "плюс в петле" ошибочно означает, что в самой точке значение выражения положительно или отрицательно. На самом деле, в этой точке выражение равно нулю. Путаница между значением выражения в точке и его знаком в окрестности точки недопустима.
✅ Правильный подход:
Корень чётной кратности — это точка, при переходе через которую знак выражения НЕ МЕНЯЕТСЯ. Графически это можно показать, просто не меняя знак при переходе через отмеченную на оси точку.
Вывод: Использование "петли" со знаком внутри считается грубой методической ошибкой и может привести к снижению балла на экзамене, так как искажает математическую суть — смешивает значение функции в точке и её знак в окрестности.
👍5❤2🙏2
Полярные координаты🎯
❓Что это и зачем нужно?
«Представь: ты рисуешь не по клеточкам (как в декартовой системе), а как бы стоишь в центре карусели и говоришь: "Пройди 3 шага под определенным углом".
Полярные координаты — это способ описывать положение точки на плоскости с помощью:
Расстояния от центра (r — радиус)
Угла поворота (θ — тета) от полярной оси (обычно это положительная часть оси OX)
Формат записи: (r, θ)r — расстояние от полюса (начала координат)
θ — угол в радианах или градусах
Пример:
(3, π/4) — под углом 45° пройти 3 шага
Связь с декартовыми координатами
Чтобы перейти из полярных в декартовы:
x = r ⋅ cos θ
y = r ⋅ sin θ
Обратный переход:
r = √(x² + y²)
θ = arctg(y/x) (с учетом четверти!)
Зачем это вообще нужно?
1. Рисовать красивые графики: розы, спирали, окружности
2. Упрощать вычисления: некоторые фигуры в полярных координатах описываются проще.
3. Искать площади и объемы фигур
Примеры графиков
r = a * sin(k * θ) - роза, где если
Вторая картинка - пример розы, где a = 12, k = 5.1
r = a * (1 + cos θ) - сердечко
Третья картинка - пример сердечка, где a = 5
r = a * |cos(2 * θ)| + b - полярная звезда
Четвертая картинка - пример звезды, где a = 7, b = 3
❓Что это и зачем нужно?
«Представь: ты рисуешь не по клеточкам (как в декартовой системе), а как бы стоишь в центре карусели и говоришь: "Пройди 3 шага под определенным углом".
Полярные координаты — это способ описывать положение точки на плоскости с помощью:
Расстояния от центра (r — радиус)
Угла поворота (θ — тета) от полярной оси (обычно это положительная часть оси OX)
Формат записи: (r, θ)r — расстояние от полюса (начала координат)
θ — угол в радианах или градусах
Пример:
(3, π/4) — под углом 45° пройти 3 шага
Связь с декартовыми координатами
Чтобы перейти из полярных в декартовы:
x = r ⋅ cos θ
y = r ⋅ sin θ
Обратный переход:
r = √(x² + y²)
θ = arctg(y/x) (с учетом четверти!)
Зачем это вообще нужно?
1. Рисовать красивые графики: розы, спирали, окружности
2. Упрощать вычисления: некоторые фигуры в полярных координатах описываются проще.
3. Искать площади и объемы фигур
Примеры графиков
r = a * sin(k * θ) - роза, где если
Вторая картинка - пример розы, где a = 12, k = 5.1
r = a * (1 + cos θ) - сердечко
Третья картинка - пример сердечка, где a = 5
r = a * |cos(2 * θ)| + b - полярная звезда
Четвертая картинка - пример звезды, где a = 7, b = 3
🤯4❤2👍2
🤝1
⚡️Собрал основные методы, аксиомы и теоремы решения задач в математике
1. Метод скипа - самый важный и распространенный(пригодится в любой задаче)
2. Аксиома нуля баллов на егэ - его используют единицы каждый год, но вам не рекомендую
3. Принцип Стратегического Угадывания (ПСУ) - используется в основном в тестовых задачах, главное не должно быть часто одного и того же ответа
4. Теорема дипсика/чатгпт - поможет в любой задаче, но может прикольнуться и сделать все неправильно
5. Философское обоснование - используется, когда хз как объяснить, часто сопровождается словами "видно, что" или "нетрудно заметить, что"
6. Метод Осознанного Пропуска - то же самое что и метод скипа, но используется с доказательством
7. Лемма о блок бласте - иногда фигурки могут быть важнее предложенной задачи(чаще всего)(всегда)
8. Метод пропуска пары (МПП) - нет присутствия на паре - нет проблем
1. Метод скипа - самый важный и распространенный(пригодится в любой задаче)
2. Аксиома нуля баллов на егэ - его используют единицы каждый год, но вам не рекомендую
3. Принцип Стратегического Угадывания (ПСУ) - используется в основном в тестовых задачах, главное не должно быть часто одного и того же ответа
4. Теорема дипсика/чатгпт - поможет в любой задаче, но может прикольнуться и сделать все неправильно
5. Философское обоснование - используется, когда хз как объяснить, часто сопровождается словами "видно, что" или "нетрудно заметить, что"
6. Метод Осознанного Пропуска - то же самое что и метод скипа, но используется с доказательством
7. Лемма о блок бласте - иногда фигурки могут быть важнее предложенной задачи(чаще всего)(всегда)
8. Метод пропуска пары (МПП) - нет присутствия на паре - нет проблем
🤔7
Готовится статья про графики тригонометрических функций. Наглядный пример, как от коэффициентов меняется график синусоиды
❤🔥2
📌 Базовый разбор: Строим график y = a · sin(b · x) + c
Разбираем фундамент тригонометрических графиков. Эта статья — ваш надежный старт, чтобы понять сам принцип построения и влияние каждого параметра.
Изучите эту тему, и вы получите ключ к пониманию ВСЕХ тригонометрических функций.
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
Разбираем фундамент тригонометрических графиков. Эта статья — ваш надежный старт, чтобы понять сам принцип построения и влияние каждого параметра.
Изучите эту тему, и вы получите ключ к пониманию ВСЕХ тригонометрических функций.
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
https://teletype.in/@wvw_mxz/WW4p65EGh5t
Teletype
График y = a * sin(b * x) + c
Для начала стоит знать, как выглядит график y = sinx
🔥5❤3🥰3
🔢 Комплексные числа
Если обычные числа живут на числовой прямой (влево-вправо), то комплексные числа — это выход на числовую плоскость (двумерный мир).
📌 Что это такое?
Комплексное число имеет вид:
z = a + bi
где:
a — действительная часть (Re)
b — мнимая часть (Im)
i — мнимая единица, для котороq выполняется:
i² = -1
🎯 Зачем это нужно?
Решать «невозможные» уравнения
Уравнение x² = -1 не имеет решений в обычных числах. Но как только говорим i² = -1, получаем два решения: x = i и x = -i. Также, когда выходит отрицательный дискриминант, у нас получаются комплексные числа
Описывать всё, что вращается и колеблется
Электротехника, радиосвязь, квантовая физика — там, где есть волны, колебания и повороты, комплексные числа становятся естественным языком.
Красиво и компактно записывать преобразования
Умножение на комплексное число на плоскости — это поворот + масштабирование. Вся тригонометрия и векторы упаковываются в одну формулу.
📐 Геометрический смысл
Число z = a + bi — это точка на плоскости с координатами (a, b).
Модуль |z| = √(a² + b²) — расстояние от точки до начала координат.
Аргумент arg(z) — угол между положительной осью OX и лучом к точке.
✨ Самая красивая формула в математике
Формула Эйлера:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
Когда φ = π, получаем тождество Эйлера:
e^(iπ) + 1 = 0
В одной формуле собраны 5 важнейших математических констант:
0, 1, e, π, i
💡 Что это даёт нам в жизни?
Инженеры рассчитывают цепи переменного тока.
Программисты создают 3D-графику и сжатие сигналов.
Физики описывают квантовые состояния.
Даже мобильная связь работает благодаря преобразованиям Фурье, где комплексные числа — главный инструмент.
🧠 Краткий итог:
Комплексные числа — это не абстракция, а мощный инструмент, который:
Расширяет наши возможности решать уравнения.
Позволяет легко работать с вращениями и колебаниями.
Связывает алгебру, геометрию и анализ в единую картину.
Если обычные числа живут на числовой прямой (влево-вправо), то комплексные числа — это выход на числовую плоскость (двумерный мир).
📌 Что это такое?
Комплексное число имеет вид:
z = a + bi
где:
a — действительная часть (Re)
b — мнимая часть (Im)
i — мнимая единица, для котороq выполняется:
i² = -1
🎯 Зачем это нужно?
Решать «невозможные» уравнения
Уравнение x² = -1 не имеет решений в обычных числах. Но как только говорим i² = -1, получаем два решения: x = i и x = -i. Также, когда выходит отрицательный дискриминант, у нас получаются комплексные числа
Описывать всё, что вращается и колеблется
Электротехника, радиосвязь, квантовая физика — там, где есть волны, колебания и повороты, комплексные числа становятся естественным языком.
Красиво и компактно записывать преобразования
Умножение на комплексное число на плоскости — это поворот + масштабирование. Вся тригонометрия и векторы упаковываются в одну формулу.
📐 Геометрический смысл
Число z = a + bi — это точка на плоскости с координатами (a, b).
Модуль |z| = √(a² + b²) — расстояние от точки до начала координат.
Аргумент arg(z) — угол между положительной осью OX и лучом к точке.
✨ Самая красивая формула в математике
Формула Эйлера:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
Когда φ = π, получаем тождество Эйлера:
e^(iπ) + 1 = 0
В одной формуле собраны 5 важнейших математических констант:
0, 1, e, π, i
💡 Что это даёт нам в жизни?
Инженеры рассчитывают цепи переменного тока.
Программисты создают 3D-графику и сжатие сигналов.
Физики описывают квантовые состояния.
Даже мобильная связь работает благодаря преобразованиям Фурье, где комплексные числа — главный инструмент.
🧠 Краткий итог:
Комплексные числа — это не абстракция, а мощный инструмент, который:
Расширяет наши возможности решать уравнения.
Позволяет легко работать с вращениями и колебаниями.
Связывает алгебру, геометрию и анализ в единую картину.
🔥5👍4💊3
Шнуровка Гаусса или как найти площадь фигуры, если знаем координаты вершин
Задача: У тебя есть многоугольник на плоскости. Ты знаешь координаты всех его вершин в порядке обхода (например, по часовой стрелке). Как найти площадь без разбиения на треугольники?
🧮 Формула (метод «шнуровки»):
Площадь S вычисляется по формуле:
S = ½ * |Σ (xᵢ * yᵢ₊₁) - Σ (yᵢ * xᵢ₊₁)|
где
(xᵢ, yᵢ) — координаты i-й вершины
Суммирование ведётся по всем вершинам от 1 до n
Под индексом n+1 подразумевается первая вершина (замыкаем многоугольник)
Может показаться, что алгоритм сложный, но это не так. Давайте разберем пример с картинки
Запишем координаты в столбик, идя против часовой стрелки, начнем с точки А(-1, -2), повторив ее координаты в конце
Далее перемножаем левые координаты с правыми и правые с левыми, согласно схеме(на второй картинке хорошо виден алгоритм):
a) –1 · (–3) + 2 · 1 + 3 · 3 + 1 · 2 + (–3) · (–2) = 22
b) –2 · 2 + 3 · 3 + 1 · 1 + 3 · (–3) + 2 · (–1) = –5
Площадь пятиугольника будет равняться полуразности результатов a и b:
s = 1/2(a - b) = 1/2 (22 + 5) = 13,5
💡 Зачем это надо?
Работает для ЛЮБОГО многоугольника — даже невыпуклого,
Не нужно знать геометрию — только координаты.
Легко программируется — алгоритм простой и надёжный.
Используется в геоинформационных системах (ГИС), картографии, компьютерной графике.
Теперь у тебя в арсенале не просто формула, а рабочий инструмент. Проверь его сам — возьми любой многоугольник на клетчатой бумаге, отметь координаты вершин и посчитай площадь по Гауссу. Увидишь, как математика превращает хаотичные цифры в четкий ответ. А в ЕГЭ этот метод может стать твоим секретным оружием в задачах с координатами. 💪
Задача: У тебя есть многоугольник на плоскости. Ты знаешь координаты всех его вершин в порядке обхода (например, по часовой стрелке). Как найти площадь без разбиения на треугольники?
🧮 Формула (метод «шнуровки»):
Площадь S вычисляется по формуле:
S = ½ * |Σ (xᵢ * yᵢ₊₁) - Σ (yᵢ * xᵢ₊₁)|
где
(xᵢ, yᵢ) — координаты i-й вершины
Суммирование ведётся по всем вершинам от 1 до n
Под индексом n+1 подразумевается первая вершина (замыкаем многоугольник)
Может показаться, что алгоритм сложный, но это не так. Давайте разберем пример с картинки
Запишем координаты в столбик, идя против часовой стрелки, начнем с точки А(-1, -2), повторив ее координаты в конце
Далее перемножаем левые координаты с правыми и правые с левыми, согласно схеме(на второй картинке хорошо виден алгоритм):
a) –1 · (–3) + 2 · 1 + 3 · 3 + 1 · 2 + (–3) · (–2) = 22
b) –2 · 2 + 3 · 3 + 1 · 1 + 3 · (–3) + 2 · (–1) = –5
Площадь пятиугольника будет равняться полуразности результатов a и b:
s = 1/2(a - b) = 1/2 (22 + 5) = 13,5
💡 Зачем это надо?
Работает для ЛЮБОГО многоугольника — даже невыпуклого,
Не нужно знать геометрию — только координаты.
Легко программируется — алгоритм простой и надёжный.
Используется в геоинформационных системах (ГИС), картографии, компьютерной графике.
Теперь у тебя в арсенале не просто формула, а рабочий инструмент. Проверь его сам — возьми любой многоугольник на клетчатой бумаге, отметь координаты вершин и посчитай площадь по Гауссу. Увидишь, как математика превращает хаотичные цифры в четкий ответ. А в ЕГЭ этот метод может стать твоим секретным оружием в задачах с координатами. 💪
🤯6❤4👍4
🔮 Закон первых цифр
Представьте: вы анализируете финансовый отчёт крупной компании. Берёте все числа — выручку, расходы, активы — и выписываете только первые цифры каждого числа (1, 2, 3... 9). Какой будет самая частая цифра?
Интуиция подсказывает: равномерное распределение, по ~11% на каждую цифру.
А реальность говорит: цифра «1» встречается в 30% случаев.
Цифра «9» — только в 4,6%.
Это не ошибка. Это Закон Бенфорда — один из самых неочевидных и мощных законов математики реального мира.
📚 От потрёпанных книг до финансовых расследований
1881 год. Астроном Саймон Ньюком замечает: книги с логарифмическими таблицами сильнее истрёпаны на страницах, где числа начинаются с 1. Страницы с числами на 9 — почти как новые.
«Люди чаще искали логарифмы чисел, начинающихся с единицы».
1938 год. Физик Фрэнк Бенфорд проверяет гипотезу на всём, что попадалось под руку:
1) Площадь бассейнов 335 рек
2) Молекулярный вес химических соединений
3) Номера домов в телефонном справочнике
4) Цены на акции
🕵️ Где это работает?
Закон Бенфорда выполняется для естественных данных, которые:
1) Охватывают несколько порядков (от единиц до миллионов)
2) Не искусственно ограничены (как рост человека или проценты)
3) Описывают реальные процессы (финансы, природа, демография)
Примеры:
Население городов мира
Курсы акций
Длины рек
Числа в налоговых декларациях
⚖️ Как это используют сегодня?
Главное применение — детекция мошенничества
Если в финансовом отчёте распределение первых цифр сильно отклоняется от закона Бенфорда — это красный флаг для аудиторов. Мошенники часто придумывают «равномерные» числа, не подозревая о существовании этого закона.
🤯 Почему это так? Простое объяснение
Представьте, что вы считаете: 1, 2, 3... Чтобы дойти от 1 до 2, нужно увеличить число на 100%. От 2 до 3 — на 50%. От 8 до 9 — всего на 12.5%. Числа «застревают» на начальных цифрах дольше, поэтому единиц в естественных данных всегда больше.
Представьте: вы анализируете финансовый отчёт крупной компании. Берёте все числа — выручку, расходы, активы — и выписываете только первые цифры каждого числа (1, 2, 3... 9). Какой будет самая частая цифра?
Интуиция подсказывает: равномерное распределение, по ~11% на каждую цифру.
А реальность говорит: цифра «1» встречается в 30% случаев.
Цифра «9» — только в 4,6%.
Это не ошибка. Это Закон Бенфорда — один из самых неочевидных и мощных законов математики реального мира.
📚 От потрёпанных книг до финансовых расследований
1881 год. Астроном Саймон Ньюком замечает: книги с логарифмическими таблицами сильнее истрёпаны на страницах, где числа начинаются с 1. Страницы с числами на 9 — почти как новые.
«Люди чаще искали логарифмы чисел, начинающихся с единицы».
1938 год. Физик Фрэнк Бенфорд проверяет гипотезу на всём, что попадалось под руку:
1) Площадь бассейнов 335 рек
2) Молекулярный вес химических соединений
3) Номера домов в телефонном справочнике
4) Цены на акции
🕵️ Где это работает?
Закон Бенфорда выполняется для естественных данных, которые:
1) Охватывают несколько порядков (от единиц до миллионов)
2) Не искусственно ограничены (как рост человека или проценты)
3) Описывают реальные процессы (финансы, природа, демография)
Примеры:
Население городов мира
Курсы акций
Длины рек
Числа в налоговых декларациях
⚖️ Как это используют сегодня?
Главное применение — детекция мошенничества
Если в финансовом отчёте распределение первых цифр сильно отклоняется от закона Бенфорда — это красный флаг для аудиторов. Мошенники часто придумывают «равномерные» числа, не подозревая о существовании этого закона.
🤯 Почему это так? Простое объяснение
Представьте, что вы считаете: 1, 2, 3... Чтобы дойти от 1 до 2, нужно увеличить число на 100%. От 2 до 3 — на 50%. От 8 до 9 — всего на 12.5%. Числа «застревают» на начальных цифрах дольше, поэтому единиц в естественных данных всегда больше.
❤4🔥3👍2🤯2