Занятный сайт с самыми цитируемыми математиками по годам выпуска от 1970 до 2020 года. О каждом есть краткая справка и ссылки на профили в MathSciNet и других сетях.

Узнал много новых имён.

Прорыв в функциональном анализе в начале пятидесятых связан с работами Сергея Львовича Соболева и Лорана Шварца (маленький исторический обзор). Они исследовали пространства обобщённых функций, распределений, и доказали мощные теоремы о существовании решений PDE, которыми математики пользуются по сей день.

На другом конце света Микио Сато (интервью), вдохновлённый школой Гротендика, которая как раз в это время производила революцию в алгебраической геометрии, решил, что бесконечномерные банаховы пространства распределений не отвечают духу времени. Сато создавал алгебраическую теорию обобщённых функций, которые он назвал гиперфункциями.

Киотская школа: Сато, его ученики Масаки Кашивара, Такахиро Кавай, позднее Тэцудзи Мива, Мичио Джимбо развили теорию гиперфункций, которая со временем переросла в микролокальный анализ и, с помощью Пьера Шапира, в микролокальную теорию пучков, см. очень хороший недавний обзор (Шапира, 2017).

Сегодня микролокальный взгляд на конструктивные пучки в сущности стал общим знанием. Он проник и прижился в теории PDE, симплектической топологии, зеркальной симметрии и смежных областях.

На этот текст меня вдохновил чудесный доклад Roger Casals о его открытии важности микролокальной теории для изучения лагранжевых узлов. Они обнаружили, что на стеке модулей конструктивных пучков на плоскости с микролокальным носителем на данном лежандровом узле есть структура кластерного многообразия, что позволяет строить бесконечно много лагранжевых заполнений узла с помощью кластерных мутаций. Доклад абсолютно прекрасный и довольно элементарный.

Любоваться и любоваться😍

Из
Geometric methods in the representation theory of Hecke algebras and quantum groups (1997) by Victor Ginzburg

#классно
Прошло полтора месяца. Новая нейросеть о3 научилась подбирать ответ к каждой четвёртой задаче очень сложного и математически содержательного бенчмарка Frontier Math, который мы обсуждали выше. Раньше лучшие нейронки выдавали всего два процента.

Здорово. Чем быстрее компьютеры станут полезными для настоящих исследовательских задач, тем быстрее мы сможем их применять в рисёрче.

Лекции Кадзуи Като (который гипотеза Блоха-Като и много что ещё) по теории чисел -- это золото.

Содержательно это введение в теорию чисел и обзор прогресса в двадцатом веке.

Today we’ll discuss recent developments in number theory. Since I’m old, this means what happened in the last 50 years. To me it feels like one day.

По форме и языку Като передаёт удивительно поэтичное и нежное отношение к математике. Несколько цитат, но обязательно посмотрите сами!

Great encounters in history
• Young algebraic geometry met Riemann’s hypothesis.
• Young Dante met Beatrice.

If you go to the Kifune Shrine in Kyoto (it must be at midnight), you can cut out a piece of paper, write the name of your enemy on it, and hammer nails into it to hurt them. You must have a candle on your head, and there are special white clothes to wear. This is like the Zariski topology; if you take a polynomial and hammer it enough times in ℂ, it will die.

#Lean
Многие знают, что после успешно завершённого Liquid Tensor Experiment Кевин Баззард и команда отдохнули немного, и вновь взялись за работу. Они занимаются формализацией доказательства Великой теоремы Ферма.

В своём блоге Кевин рассказал об их продвижениях до сих пор. И это совершенно прекрасная история, написанная живым и слегка ироническим языком.

Кратко, его товарищи в процессе работы, прописывая основания кристальных когомологий, обнаружили, что оригинальное доказательство не компилируется. В нём нашлась неустранимая дыра: доказательство ссылается на статью N.Roby 1965 года, Лемма 8 из которой неверна. Что удивительно, N.Roby доказывает её, неправильно цитируя свою же статью 1963 года.

Кевин пишет, что для него в этот момент обрушилось всё доказательство; теорема Ферма стала вновь стала открытой проблемой. Но он знал, что раз теория кристальных когомологий используется последние пятьдесят лет, то она работает, и нужно лишь по-новому обосновать верное утверждение.

Кевин, чем писать электронные письма экспертам, выпил кофе с одним профессором, пообедал с другим, и в конце концов нашёлся текст Артура Огуса, который закрывал дыру, а сам Артур взялся закрывать известные ему дыры в этом своём тексте.

Кевин заключает замечанием о том, в каком хрупком состоянии находится современная математика, сколько критических деталей известны лишь специалистам и нигде толком не прописаны.
--------

Меня в этой истории вдохновляет, что к нам в математику как будто приходит живой трибунал, универсальный калькулятор истинности. Пока утверждение не компилируется Lean'ом, оно не считается доказанным.

Похожая история была в XIX веке: Вейерштрасс, Коши, Пеано, Гильберт, все занимались отделением математики от натурфилософии, постановкой её на формальные рельсы. Их критиковали за излишнюю строгость, за изгнание творчества из математики; но, как и в случае с Lean'ом, ответ есть лишь один: если мы занимаемся математикой, хотим быть уверенными в истинности утверждения, всегда иметь опору под ногами, иметь проверяемые универсальные результаты, нужно модернизировать наш средневековый цех всеми доступными современными технологиями. За Lean'ом будущее!

Новогодние шапки для ваших записок и статей 🎅🤶

С наступающим Новым годом! Пусть математика будет прекрасным миром открытий и озарений для всех нас в будущем году. Читайте, пишите, любите и творите!

Многие играли в настольную игру SET.

Дана колода из 81 карты, у каждой по четыре признака: цвет, форма, количество, заливка. Set'ом называется три карты, которые по каждому из признаков либо одинаковы, либо попарно различны. Карты выкладываются на стол, и игроки на скорость ищут и собирают set'ы.

Возникает естественный вопрос: сколько бывает карт среди которых нет ни одного сета?

Обычно играют на 12 картах, но частенько сетов не находится, и нужно бывает увеличить до 15 и даже 18 карт. А однажды в игре мне мне пришлось поднять до 19 карт. Всегда ли этого достаточно?

Ответ: нет. На картинке 20 карт без сета!

Это максимум; по ссылке Ben Davis and Diane Maclagan объясняют, что среди 21 карты всегда есть сет, и изучают более многомерные версии SET'а.

-----------

Позабавило их предложение играть в SET из 243 карт тремя обычными колодами с разными запахами

we can play a five-attribute version of set by using scratch-and-sniff set cards with three different odors.

Veni, Deus ex machina!
-----

• ИИ индустрия будет расти и развиваться. Чего только стоит недавний проект Stargate, по которому Штаты за пять лет потратят полтриллиона долларов на строительство датацентров для тренировки моделей. В это время желающие: французы из Mistral, китайцы из DeepSeek, или сберовцы с GigaСhat, могут гнаться за прогрессом, обучая свои модели быть умнее, быстрее, дешевле.

• Современные модели уже прошли большинство тестов а-ля Тьюринг, считавшиеся раньше непреодолимыми. Сегодняшние бенчмарки -- либо чистая сложная математика, как FrontierMath, либо на >40% очень сложная математика, как недавний Humanity's Last Exam (посмотрите, задачи совершенно фантастические. Особенно про Ясона).

• В стремлении создать лучшую модель, компании будут обучаться на математические бенчмарки. Математики с радостью идут к ним навстречу: скажем, Тао недавно взялся распределять девять миллионов долларов на развитие связки Lean+LLM для автоматического доказательства теорем.

• В момент, когда нейронки научатся стабильно решать большую часть задач из FrontierMath математика как наука изменится так же, как изменилась работа шахтёров после изобретения динамита и бурильных машин. И тогда мы...

Мы станем операторами систем ИИ, решим открытые гипотезы, которые и не надеялись решить, по-новому поймём математику, переизобретём матфизику, биоинформатику, квантовую химию, соберём разрозненные уголки математического лабиринта в мощный единый аппарат познания окружающего мира и познания самих себя.

Наступит следующий виток эволюции науки. Future shining bright 🌄

#цитата
Читаю книжку. Понравилось начало секции Uncontents:

As unbirthdays sometimes provide with more gifts and excitement than birthdays,
the “uncontents” of these notes probably constitute the most interesting part of
the topic, and it is worth mentioning the aspects that will not be evocated along
these lines <...>

Прошлогоднее интервью Терри Тао о будущем математики. Он видит прогресс нейросетей как шаг в сторону индустриализации математики, постановки теорем на поток:

I think in three years AI will become useful for mathematicians. It will be a great co-pilot. You’re trying to prove a theorem, and there’s one step that you think is true, but you can’t quite see how it’s true. And you can say, “AI, can you do this stuff for me?” And it may say, “I think I can prove this.” I don’t think mathematics will become solved. If there was another major breakthrough in AI, it’s possible, but I would say that in three years you will see notable progress, and it will become more and more manageable to actually use AI. And even if AI can do the type of mathematics we do now, it means that we will just move to a to a higher type of mathematics. So right now, for example, we prove things one at a time. It’s like individual craftsmen making a wooden doll or something. You take one doll and you very carefully paint everything, and so forth, and then you take another one. The way we do mathematics hasn’t changed that much. But in every other type of discipline, we have mass production. And so with AI, we can start proving hundreds of theorems or thousands of theorems at a time. And human mathematicians will direct the AIs to do various things. So I think the way we do mathematics will change, but their time frame is maybe a little bit aggressive.

<...>

I think there’ll be different ways of doing mathematics that just don’t exist right now. I can see project manager mathematicians who can organize very complicated projects—they don’t understand all the mathematics, but they can break things up into smaller pieces and delegate them to other people, and they have good people skills. Then there are specialists who work in subfields. There are people who are good at trying to train AI on specific types of mathematics, and then there are people who can convert the AI proofs into something human-readable. It will become much more like the way almost any other modern industry works. Like, in journalism, not everyone has the same set of skills. You have editors, you have journalists, and you have businesspeople, and so forth—we’ll have similar things in mathematics eventually.