Fonctions-faisceaux dictionary

Пусть f -- гладкая функция на многообразии X.

С ней можно делать всякое:
складывать и умножать на другие функции,
пуллбекать,
интегрировать,
существует дифференциал df.
Функции определены локально и у них есть носитель.
Функционалы между пространствами функций можно задавать ядерными интегральными операторами.


Всё это имеет место и для пучков абелевых групп на X.
А именно:
можно брать прямую сумму и тензорное произведение,
пуллбекать,
пушфорвардить (можно с компактными носителями),
есть класс Атии в Ext^1(F, F ⊗ Ω_X).
Пучки тоже локальные, у них есть носитель, и функторы между категориями пучков можно задавать ядерными преобразованиеми Фурье-Мукаи.


Это не случайно. Существует соответствие Гротендика между пучками и функциями, так что по пучку можно построить функцию, а по функции -- пучок. Правда, работает оно лишь для l-адических пучков для X определённого над 𝔽_q, и не работает для обычных комплексных многообразий. Так что в характеристике ноль нам остаётся только вдохновляться пучками при работе с функциями и наоборот.

Ключевые слова: fonctions-faisceaux correspondence использует в одну сторону след эндоморфизма Фробениуса, а в другую -- изогению Ленга. Оно используется на практике, например, для геометрической теории полей классов (про которую я уже давно хочу написать) и в старшем ранге для соответствия Ленглендса.

Как я ищу научную информацию?

В целом, обычно это старый-добрый гугл и поиск по картинкам: вбиваешь ключевое слово, ищешь картинки, которые лучше всего подходят под то, что я ищу, а потом смотришь по связанным картинкам. Работает отлично, когда примерно представляешь, что искать!

Помимо этого у меня есть набор разных инструментов, которые пользую с разной степенью успешности:

- Google Scholar — основной инструмент для поиска по ключевым словам и связям между темами. Особенность расширения браузера позволяет автоматически захватывать информацию о читаемой статье и быстро экспортировать цитату в формате bibtex. Очень удобно!

- Unpaywall — находит открытый доступ к статьям, которые привязаны к странице журнала, на которой вы находитесь. Иногда это arXiv или другие открытые ресурсы, иногда — странные страницы универов. Даже вне института я всегда могу получить доступ к нужным статьям в один клик, очень рекомендую.

- @scihubot, @science_nexus3_bot, z-library и Anna's archive для поиска статей и книг с закрытым доступом.

- RefSeek — позволяет искать исключительно в академических источниках. Похож на Google, но без рекламы и лишнего контента. Использую, когда мой запрос слишком расплывчатый для Google Scholar.

- Semantic Scholar — поисковик на базе ИИ. Очень полезен для поиска в новых областях, где я сам пока не вижу связей между разными темами.

- Connected Papers — исследует связи между статьями. Иногда захожу сюда, чтобы найти неожиданные связи и вдохновение — иногда находятся совершенно неожиданные вещи.

- Research Rabbit — похож на Connected Papers, но с большим количеством функций. Протестировал несколько раз, выглядит клево. Хотя у меня своя система организации статей, я им не пользуюсь, но точно стоит внимания.

- Metaphor Systems aka Exa AI — ещё один интересный инструмент, которым я не пользовался, но храню в закладках. Вы описываете, что хотите найти, простыми словами, а ИИ ищет связанные статьи и материалы. Раньше искал в основном архив, сейчас — все подряд. Наверное, с приходом чатгпт и прочего они немного отстанут, но посмотрим!

- Lens.org — поиск по патентам и прочей технической литературе. Иногда в патентах кроятся настоящие жемчужины! (не буду говорить, среди чего приходится их искать)

- BASE — поиск по всем открытым публикациям. Я использую редко, т.к. чаще всего хватает остального, но иногда полезно, т.к. включает всякие технические отчеты и дипломы/диссертации.

- ResearchGate — "социальная сеть" для ученых. В целом, можно найти интересную информацию, удобно следить за публикациями каких-то конкретных людей или рабочих групп. Но очень много всяких фриков. Кажется, нужен университетский имейл, чтобы вступить.

-------------

Какие еще вы знаете инструменты? Пишите в коменты!

Простые идеалы --
это узлы

Обзор by Masanori Morishita

This is an expository article of our work on analogies between knot theory and algebraic number theory. We shall discuss foundational analogies between knots and primes, 3-manifolds and number rings mainly from the group-theoretic point of view.

Adeel Khan защитился в Эссене в 2016 году у Mark Levine и Denis-Charles Cisinski. Сейчас у него tenure в Тайване.

Adeel занимается производной геометрией и в частности приложениями когомологий к геометрии.

В записках он объясняет понятным и современным языком: что такое ∞-категории, анимированные кольца, производные стэки, кокасательный комплекс, виртуальные фундаментальные классы, связывает их с перечислительной геометрией и K-теорией.

Записки лекций: link

От Терри Тао узнал о блоге Matt Might, профессора компьютерных наук и медицины из Бирмингема, Алабама и лектора гарвардской биомедицинской школы.

Наряду с заметками о функциональном программировании и ИИ Matt составляет готовые HOWTO алгоритмы для студентов и молодых исследователей в академии: как просить рекомендации, делать доклады, отвечать на почту, отвечать рецензентам, найти позицию, и успевать делать больше за меньшее время.

Два хороших поста:
•продуктивность для исследователя;
•десять способов завалить аспирантуру.

Оказывается, arxiv больше года назад обязал авторов указывать, что они существенно пользовались ChatGPT или другими языковыми моделями при написании текста.

Ещё теперь нельзя указывать нейронку как соавтора🙃

Занятный сайт с самыми цитируемыми математиками по годам выпуска от 1970 до 2020 года. О каждом есть краткая справка и ссылки на профили в MathSciNet и других сетях.

Узнал много новых имён.

Прорыв в функциональном анализе в начале пятидесятых связан с работами Сергея Львовича Соболева и Лорана Шварца (маленький исторический обзор). Они исследовали пространства обобщённых функций, распределений, и доказали мощные теоремы о существовании решений PDE, которыми математики пользуются по сей день.

На другом конце света Микио Сато (интервью), вдохновлённый школой Гротендика, которая как раз в это время производила революцию в алгебраической геометрии, решил, что бесконечномерные банаховы пространства распределений не отвечают духу времени. Сато создавал алгебраическую теорию обобщённых функций, которые он назвал гиперфункциями.

Киотская школа: Сато, его ученики Масаки Кашивара, Такахиро Кавай, позднее Тэцудзи Мива, Мичио Джимбо развили теорию гиперфункций, которая со временем переросла в микролокальный анализ и, с помощью Пьера Шапира, в микролокальную теорию пучков, см. очень хороший недавний обзор (Шапира, 2017).

Сегодня микролокальный взгляд на конструктивные пучки в сущности стал общим знанием. Он проник и прижился в теории PDE, симплектической топологии, зеркальной симметрии и смежных областях.

На этот текст меня вдохновил чудесный доклад Roger Casals о его открытии важности микролокальной теории для изучения лагранжевых узлов. Они обнаружили, что на стеке модулей конструктивных пучков на плоскости с микролокальным носителем на данном лежандровом узле есть структура кластерного многообразия, что позволяет строить бесконечно много лагранжевых заполнений узла с помощью кластерных мутаций. Доклад абсолютно прекрасный и довольно элементарный.

Любоваться и любоваться😍

Из
Geometric methods in the representation theory of Hecke algebras and quantum groups (1997) by Victor Ginzburg

#классно
Прошло полтора месяца. Новая нейросеть о3 научилась подбирать ответ к каждой четвёртой задаче очень сложного и математически содержательного бенчмарка Frontier Math, который мы обсуждали выше. Раньше лучшие нейронки выдавали всего два процента.

Здорово. Чем быстрее компьютеры станут полезными для настоящих исследовательских задач, тем быстрее мы сможем их применять в рисёрче.

Лекции Кадзуи Като (который гипотеза Блоха-Като и много что ещё) по теории чисел -- это золото.

Содержательно это введение в теорию чисел и обзор прогресса в двадцатом веке.

Today we’ll discuss recent developments in number theory. Since I’m old, this means what happened in the last 50 years. To me it feels like one day.

По форме и языку Като передаёт удивительно поэтичное и нежное отношение к математике. Несколько цитат, но обязательно посмотрите сами!

Great encounters in history
• Young algebraic geometry met Riemann’s hypothesis.
• Young Dante met Beatrice.

If you go to the Kifune Shrine in Kyoto (it must be at midnight), you can cut out a piece of paper, write the name of your enemy on it, and hammer nails into it to hurt them. You must have a candle on your head, and there are special white clothes to wear. This is like the Zariski topology; if you take a polynomial and hammer it enough times in ℂ, it will die.