Всем привет! На волне хайпа и по горячим следам написал про первый межнар по ИИ, который прошел в Болгарии буквально позавчера. Мне посчастливилось принимать участие в подготовке и организации; мой основной вклад состоял в разработке трети задач из научного раунда.

Куча постов ниже, а лонгрид — вот тут.

У меня шок. Оказывается книжку Гельфанда-Манина по гомологической алгебре, про производные категории, написал не Израиль Моисеевич! Гельфанд -- это Сергей Израилевич, сын Израиля Моисеевича.

Постфактум это кажется естественным, ИМ ведь сам не особенно занимался гомологической алгеброй.

К счастью Манин тот же, Юрий Иванович 😅

Из сборника Visions in Mathematics 2000 Part II

😰 Libgen Issues Intensify 😰

For the past week, LibGen has reportedly been unavailable for many users, according to TorrentFreak and r/LibGen. Recently, there was a message on the forum mentioning that key members of LibGen were unable to participate in LibGen activities for an indefinite period of time. Without any signs from the maintainers, the future of LibGen remains unclear

Grown in lands where the battle between the desire for unconstrained access to readings and censorship pressure has lasted for centuries, LibGen was a beacon of free access in the times of digital leviathan dictating what you should read and think.

I have my fingers crossed for LibGen and for their librarians whose efforts have built a generation that does not respect and fear unnatural borders in spreading knowledge.

Some time in the early 90s Goro Shimura was giving a lecture course on algebraic number theory at the ENS in Paris. According to someone who was in the audience, one of the lectures started thus.

Let 𝑎 be a rational number. [Pause; the lecturer writes 𝑎 on the blackboard.] Is this clear? [Pause.] Do you follow me? [Long pause.]

Ok then. [Pause.] Let 𝛽 be an irrational number. [Pause; the lecturer writes 𝛽 on the blackboard.] Is this clear? [Pause.] Does everyone understand? [Long pause.]

Ok then. So consider a global field of prime characteristic and an automorphic representation of an algebraic group over its adelic ring. Now take the absolute Galois group and the category of perverse l-adic sheaves on ...

см. mathoverflow: Math urban legends

Жить нужно так, чтобы тебя помнили и через тысячу семьсот лет 🤩🤩🤩

Обзорный курс (см. слайды) Доминика Джойса о началах производной геометрии:
проблемы модулей, стэки, производные категории, бесконечность-категории, производная геометрия.

Как он сам говорит,

Derived Algebraic Geometry is famously hard to learn -- the foundational papers, due to Lurie and Toën-Vezzosi, run to 1000's of pages. Part of the difficulty is that the theory must be set in the world of ∞-categories.

I am not an expert in DAG. I've mostly picked the subject up by osmosis, without actually spending two years reading Lurie and Toën-Vezzosi. So if you ask me technical questions about the fppf topology, etc, I won't know the answer. I can probably teach you how to bluff about DAG at parties, though.

Слайды у него хорошие.

Мне смешно. Гуглы добавили в NotebookLM возможность озвучивать записки голосами двух ведущих подкаста. Я скинул им свои заметки.

Так вот, в результате получилось очень похоже на некоторые доклады, которые мне доводилось слышать, когда человек недоразобрался в выбранной теме, но тем не менее должен что-то сказать. Врёт и не краснеет. И вода, вода, вода...

Mathematicians use quivers to visualise relationships :/

Дима Каледин, математик (старожилы русского интернета могут знать его имя по старому ЖЖ), опубликовал 600-страничную статью , в которой описывает новый подход к абстрактной теории гомотопии, над которым он работал много лет. Он предлагает этот подход в качестве альтернативы популярной в последние 20 лет теории категорий бесконечных порядков Джейкоба Лурье.

Я совершенно некомпетентен в этих вопросах и не имею собственного мнения о работе Каледина (или о школе Лурье), но должен сказать, что первые 40 страниц статьи Каледина - введение - прочел с огромным интересом; что-то понял, другое пропустил, и все равно интересно. Рекомендую.

Очень понравились слова Каледина о силе нарратива, это что-то, в чем я неоднократно убеждаюсь в своей жизни и своих мыслях снова и снова:

"I still remember a talk in Tokyo, in 2008, after which a prominent algebraic geometer came to me and said something like this: “I liked your talk; of course, the last thing the world needs are new foundations for homological algebra, but at least, there was a story”. This was one of the best pieces of advice I ever had: no matter what you do, people will listen if there is a story."

Антон Капустин, у которого я прочитал об этой работе, тоже хвалит ее введение и замечает, что хорошо бы кто-то выпустил книгу, состоящую только из особенно хороших предисловий к математическим статьям или книгам. Да, такое я бы с удовольствием почитал.

Мой новый любимый математик: Мерлин Христос. Защитил PhD в прошлом году в Гамбурге по высшим категориям, некоммутативной геометрии, теории представлений.

В его статьях ровно тот уровень сплетения разных областей математики, к которому я стремлюсь: всё от кластерных алгебр до превратных пучков, условий стабильности на триангулированных (или даже стабильных infinity) категориях и категорификаций всего и вся. Респект таким Мерлинам.

Люк Иллюзи о Гротендике (ref)

He was improvising, in his fast and elegant handwriting. He said that he couldn’t think without writing. I, myself, would find it more convenient first to close my eyes and think, or maybe just lie down, but he could not think this way, he had to take a sheet of paper, and he started writing. He wrote X → S, passing the pen several times on it, you see, until the characters and arrow became very thick. He somehow enjoyed the sight of these objects.

<...>

The seminar, SGA 6, went well, we eventually proved a Riemann-Roch theorem in a quite general context, and Berthelot and I were quite happy. I remember that we tried to imitate Grothendieck’s style. When Grothendieck handed me his notes on the finiteness conditions in derived categories, I said This is only over a point. We should do that in a fibered category over some topos... (laughter) It was a little naive, but, anyway, it proved to be the right generalization.

<...>

Also, do you know what his favorite tree was? He liked nature, and there was one tree he liked more than
the others. It was the olive tree, a modest tree, but which lives long, is very sturdy, is full of sun and life.
He was very fond of the olive tree.

Вообще замечательный текст. О возникновении кристаллов, о том как Делинь в 18-страничный аппендикс к книге Хартсхорна умудрился вложить больше смысла, чем было в книге, о страданиях аспирантов Гротендика... Долгих лет Иллюзи!

В ноябре будет два года, как я на PhD в Queen Mary University of London. По этому поводу написала пост с моментами, на которые стоит обратить внимание, если вы задумываетесь над тем, чтобы сделать PhD в Лондоне/UK.

Тизер к статье: когда я выбирала место для PhD, я по личным причинам рассматривала только Лондон. Поэтому я не особо погружалась в нюансы и различия между PhD программами в UK и в других странах. А зря =( Общую идею поста, наверное, можно подвести так: если бы я заранее осознавала моменты, описанные ниже, я бы выбрала поехать куда-то еще.

Пост

Fonctions-faisceaux dictionary

Пусть f -- гладкая функция на многообразии X.

С ней можно делать всякое:
складывать и умножать на другие функции,
пуллбекать,
интегрировать,
существует дифференциал df.
Функции определены локально и у них есть носитель.
Функционалы между пространствами функций можно задавать ядерными интегральными операторами.


Всё это имеет место и для пучков абелевых групп на X.
А именно:
можно брать прямую сумму и тензорное произведение,
пуллбекать,
пушфорвардить (можно с компактными носителями),
есть класс Атии в Ext^1(F, F ⊗ Ω_X).
Пучки тоже локальные, у них есть носитель, и функторы между категориями пучков можно задавать ядерными преобразованиеми Фурье-Мукаи.


Это не случайно. Существует соответствие Гротендика между пучками и функциями, так что по пучку можно построить функцию, а по функции -- пучок. Правда, работает оно лишь для l-адических пучков для X определённого над 𝔽_q, и не работает для обычных комплексных многообразий. Так что в характеристике ноль нам остаётся только вдохновляться пучками при работе с функциями и наоборот.

Ключевые слова: fonctions-faisceaux correspondence использует в одну сторону след эндоморфизма Фробениуса, а в другую -- изогению Ленга. Оно используется на практике, например, для геометрической теории полей классов (про которую я уже давно хочу написать) и в старшем ранге для соответствия Ленглендса.

Как я ищу научную информацию?

В целом, обычно это старый-добрый гугл и поиск по картинкам: вбиваешь ключевое слово, ищешь картинки, которые лучше всего подходят под то, что я ищу, а потом смотришь по связанным картинкам. Работает отлично, когда примерно представляешь, что искать!

Помимо этого у меня есть набор разных инструментов, которые пользую с разной степенью успешности:

- Google Scholar — основной инструмент для поиска по ключевым словам и связям между темами. Особенность расширения браузера позволяет автоматически захватывать информацию о читаемой статье и быстро экспортировать цитату в формате bibtex. Очень удобно!

- Unpaywall — находит открытый доступ к статьям, которые привязаны к странице журнала, на которой вы находитесь. Иногда это arXiv или другие открытые ресурсы, иногда — странные страницы универов. Даже вне института я всегда могу получить доступ к нужным статьям в один клик, очень рекомендую.

- @scihubot, @science_nexus3_bot, z-library и Anna's archive для поиска статей и книг с закрытым доступом.

- RefSeek — позволяет искать исключительно в академических источниках. Похож на Google, но без рекламы и лишнего контента. Использую, когда мой запрос слишком расплывчатый для Google Scholar.

- Semantic Scholar — поисковик на базе ИИ. Очень полезен для поиска в новых областях, где я сам пока не вижу связей между разными темами.

- Connected Papers — исследует связи между статьями. Иногда захожу сюда, чтобы найти неожиданные связи и вдохновение — иногда находятся совершенно неожиданные вещи.

- Research Rabbit — похож на Connected Papers, но с большим количеством функций. Протестировал несколько раз, выглядит клево. Хотя у меня своя система организации статей, я им не пользуюсь, но точно стоит внимания.

- Metaphor Systems aka Exa AI — ещё один интересный инструмент, которым я не пользовался, но храню в закладках. Вы описываете, что хотите найти, простыми словами, а ИИ ищет связанные статьи и материалы. Раньше искал в основном архив, сейчас — все подряд. Наверное, с приходом чатгпт и прочего они немного отстанут, но посмотрим!

- Lens.org — поиск по патентам и прочей технической литературе. Иногда в патентах кроятся настоящие жемчужины! (не буду говорить, среди чего приходится их искать)

- BASE — поиск по всем открытым публикациям. Я использую редко, т.к. чаще всего хватает остального, но иногда полезно, т.к. включает всякие технические отчеты и дипломы/диссертации.

- ResearchGate — "социальная сеть" для ученых. В целом, можно найти интересную информацию, удобно следить за публикациями каких-то конкретных людей или рабочих групп. Но очень много всяких фриков. Кажется, нужен университетский имейл, чтобы вступить.

-------------

Какие еще вы знаете инструменты? Пишите в коменты!

Простые идеалы --
это узлы

Обзор by Masanori Morishita

This is an expository article of our work on analogies between knot theory and algebraic number theory. We shall discuss foundational analogies between knots and primes, 3-manifolds and number rings mainly from the group-theoretic point of view.