Всех с первым сентября! Успехов, а главное удачи в новом учебном году!

#97
давайте скажем что праздничная)

Однажды ученик Иван, после трёх лет обучения в храме геометрии, был допущен до финального испытания для получения звания геометр. Мастер Вадим К. предложил ему закрыть глаза и ответить на вопрос:

«У меня в руке палка. Скажешь, что она у меня есть, — я тебя ударю, и ты вылетишь с курса. Скажешь, что её нет, — я тебя ударю, и ты вылетишь. Скажешь что-то постороннее — я тебя ударю, и ты вылетишь».

Как же следует ответить Ивану, чтобы стать геометром?

ск#117

#96 Возвращаемся в учебный ритм)
Пусть n - такое натуральное число, кратное 81, что если его переписать задом наперёд - оно всё равно будет кратно 81. Докажите, что тогда сумма цифр числа n кратна 81. Верно ли обратное?
ск#118

#95
Давайте ещё попроще....
Покажите, что C из 2n по n кратно n+1
ск#119

#94
ск#120

#93

1) Для каких k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что их сумма кратна каждому из них?
2) Докажите, что для всех k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на их разность
3) Докажите, что каждое натуральное n, за исключением конечного их количества, представимо в виде n=a1+a2+...+a2025, где a_i делит a_(i+1) при всех 1≤i≤2024, все ai различны
ск#121

#92

Совсем легкая…

ск#122

Кстати, если вы хотите что-то постить, то напишите, пожалуйста, мне в лс)

Найдите все такие многолчены с целыми коэффициентами P(x), что при всех достаточно больших n P(n) делит n^(n-1)-1
ск#123
#91

Чат для обсуждения геометрии


Около 4 месяцев назад был закрыт чат канала Олимпиадная Геометрия, ставший большим централизованным местом для обсуждения геометрии. После закрытия того чата была предпринята попытка полного отказа от цензуры, которая не увенчалась успехом по понятным причинам, поэтому:

Мы — Юсуф Нагуманов, Дима Герасимов и Петя Ким представляем Вам новый чат для обсуждения геометрии.
Идея заключается в создании крупного модерируемого чата, в котором будет исключительно здравое обсуждение геометрии разного уровня.

Заходите, всем будем рады:
https://t.me/olympgeomchat

Написал методичку по поводу как можно применять тригонометрию в решении задач по геометрии , можно по ходу изменять если будут норм идеи

Концепция Саввы, говоришь?

Всем хорошо известно, как устроены все взаимно простые пифагоровы тройки a^2+b^2=c^2:
c=x^2+y^2, a=x^2-y^2, b=2xy, x и y натуральные

Многие слышали, что это частный случай известного уравнения Ферма a^n+b^n=c^n, которое не имеет решений при n>2, и все знают, что это дико сложная технически и идейно задача уже даже при n=3. Однако, оказывается, что при n=4 (а значит и при всех n, кратных 4) это посильная восьмикласснику задача.

Мы покажем, что невозможно даже такое равенство:
a^4+b^4=c^2. Положим что так бывает, из всех таких положительных троек {a,b,c} выберем ту, в которой c наименьшее. В частности, отсюда следует что {a,b,c} взаимнопросты.
Понятно, что a^2,b^2,c образуют пифагорову тройку, а значит есть взаимнопростые m и n такие, что c=m^2+n^2, a^2=2mn и b^2=m^2-n^2. Посмотрим на уравнение для b. Получаем, что {b,n,m} - тоже пифагорова тройка, при этом b нечетно (покуда a четно). Значит есть взаимнопростые p и q такие, что m=p^2+q^2, n=2pq, b=p^2-q^2
вытащим отсюда m=p^2+q^2, n=2pq, подставим в a^2=2mn. Получим, что (a/2)^2=pq(p^2+q^2). Из взаимной простоты p и q получим, что p, q, p^2+q^2 - это точные квадраты, то есть p=x^2, q=y^2, p^2+q^2=z^2. Ну то есть x^4+y^4=z^2. Осталось проверить, что z<c, тогда мы получим противоречие с минимальностью. Но
c^2 = a^4+b^4 > a^4 >= (a/2)^2 = pq(p^2+q^2) >= p^2+q^2 = z^2
Проблема только в предпоследнем знаке, мы хотим, чтобы p и q были ненулевыми, но если кто-то из них 0 - тогда a тоже ноль, а значит b^4=c^2, это тривиальный случай. Ещё в начале строгий знак, так как b не ноль. Отсюда мы получили, что c^2>z^2, то есть "спустились".

Аналогичным способом можно получить, что a^4-b^4=c^2 не имеет нетривиальных решений. (Сделайте это!)

При этом x^4+y^4+z^4=t^4 уже имеет нетривиальные решения, равно как и x^5+y^5+z^5+t^5=w^5:
2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
133^5+110^5+84^5+27^5=144^5
Это является контрпримером к такой попытке обобщения уравнения ферма Эйлером:
a_1^n+a_2^n+...+a_(n-1)^n=b^n
(при n=3 это ровно уравнение Ферма)

Любознательному читателю предлагается потренироваться в использовании этой теоремы на примере следующих задачек:

Решите в целых числах
1) x^4-2y^2=1
2) 8x^4+1=y^2
3) x^4+(x^2+1)^2=y^2
4) (2x^2-1)^2=2y^2-1
5) 1+x+x^2+x^3=y^2
6) x^2y^2=z(z-x^2-y^2)