#103 Для спокойного сна или для бодрого пробуждения

Внимание! Пункт a) это очень большой спойлер!
a) Докажите, что найдётся число фиббоначи, кратное данному n
b) Пусть a_n=a_(n-3)+2a_(n-2) при n>3, a_1=1 a_2=4 a_3=4. Докажите, что для всякого m найдётся бесконечно много пар последовательных членов последовательности, оба из которой кратны m.

Ну хз, вдруг кому-то простенькие задачи нужны

#104

Найдите все натуральные k, при которых существует бесконечно много n таких, что kⁿ+1 кратно n

Хохма дня?
#105
Пусть дано натуральное число A, рассмотрим его десятичную запись:
A=a_0+10a_1+100a_2+... +10ⁿa_n
Определим функцию:
F(A) = a_n+2a_(n-1)+4a_(n-2)+...+2ⁿa_0
Рассмотрим последовательность:
b_1=19^2013, b_i=F(b_(i-1))
Докажите, что найдется такое j, что b_j=b_(j+1) и найдите значение b_j

#106

В классе 25 учеников. Учитель хочет запасти N конфет, провести олимпиаду и раздать за успехи в ней N конфет (решившие поровну задач должны получить поров- ну, решившие меньше — меньше, в том числе, возможно, и ноль конфет). При каком наименьшем N это будет возможно независимо от количества задач на олимпиаде и успехов учеников?

#107

Задача от активного пользователя MAX, серьезного человека и крутого парня @OttoLFS

Есть множество из n элементов и выбрано 2^(n-1) подмножеств. Оказалось любые 3 пересекаются. Доказать что все пересекаются

Кусачая задача #106
Даны целые числа a, b, c, d, e такие, что a²+b²+c²+d²+e²=(a+b+c+d+e)². Докажите, что a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde кратно a+b+c+d+e

ск#108

Ладно, раз тут все такие умные:
#105
Найдите наименьшее натуральное n>1 такое, что существуют натуральные a_1 a_2...a_n, для которых (a_1+...+a_n)^2-1 кратно a_1^2+...+a_n^2

ск#109

#104
Найдите все такие натуральные 0<a<b<c<d, что a+d=2^x, b+c=2^y, ad=bc
ск#110

#103 для @Feyerbabah
Пусть P(n) - многочлен с целыми коэффициениами такой, что P(n)>n
Определм последовательность:
a_1=1, a_(i+1)=P(a_i)
Оказалось, что для каждого натурального m в этой последовательности найдётся кратный m элемент. Докажите, что P(n)=n+1.
ск#111

#102

мне эту задачу на почту прислали

#ск112

#101
У меня есть какой-то набор не очень сложных задач на одну старую добрую тему. Накидайте 20 лайков - и я скину сотым постом)
А пока, для хорошего сна, предлагается доброе упражнение, как раз на неё:
Пусть a и b - натуральные нечетные числа такие, что a^2+b^2+1 кратно 2ab+1. Покажите, что a=b
ск#113

Вообще, вообще, планируемый сейчас монолог довольно пространственный, но мне он казался важным. Тех, кто хочет (а значит поставили реакты, да же?) штук 16, из 260+ подписоты, что грустно, да и два из них - Иван и Никита - явно всё это знают, считают очевидным и не особо полезным, так что моя уверенность в важности пошатнулась. И тем не менее я свой монолог напишу:

Итак, зайдем издалека. Многие из вас наверняка интересовались, как определять натуральные числа, и, так или иначе, выходили к аксиомам Пеано, среди которых, в вольной интерпретации, есть аксиома индукции: "Если a следует за натуральным n и b следует за натуральным n то a совпадает с b". У неё есть эквивалентный аналог - "В каждом непустом множестве натуральных чисел есть наименьшее". И часто вас в задачах просят доказать какое-то утверждение, которое верно для всех натуральных n. Типа, сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2. И доказывать такое можно как раз пользуясь одной из форм аксиомы индукции. (Я специально использую вторую, так будет нагляднее) Предположим, что можество натуральных чисел, для которых это НЕверно, не пусто. Выберем наименьшее n в этом списке. Заметим, что 1+2+...+n=1+2+...+(n-1)+n. При n>1 имеем "n-1 - натурально и меньше n", и оно не находится в нашем рассматриваемом множестве. То есть для него 1+..+(n-1)=(n-1)n/2. Добавив к обеим частям n получим, что 1+...+n=n(n+1)/2. Противоречие. При n=1 утверждение очевидно верно. Заметьте, нам было важно проверить, что n-1 тоже натурально, и важно, что при n=1 утверждение верно. Если забыть сказать хоть что-то про n=1 получится, что у вас дыра в переходе к n-1, которая идейно стоит вам задачи. Формально вы её не решили, а просто свели к случаю n=1. Это нельзя считать решением, но может считать значительным продвижением, которое очевидно доделывается до решения. Согласно критериям, за нерешённую задачу ставится не более 4 баллов, so какой-то очевидный тейк может стоить вам важных 3 баллов. Это наверняка вариативно, но я бы не рисковал, потому что такая трактовка очевидно имеет место быть, и тут уж как повезёт.
И вот на основании этой мысли решаются задачи так называемыми пряжками Виета. Разберём на примере:
Пусть a и b - натуральные нечетные числа такие, что a^2+b^2+1 кратно 2ab+1. Покажите, что a=b
Решение: пусть a^2+b^2+1=(2ab+1)k имеет решение при a и b нечетных, не равных, натуральных. Рассмотрим всё множество таких пар (a,b). Выберем в нём ту, у которой сумма a+b минимальна (если таких несколько-берём любую). Пусть НУО в ней a>b. Рассмотрим квадратное уравнение x^2-2bkx+b^2+1-k=0. a Является его решением. Пусть c - его второе решение. Заметим, что c=2bk-a и c=(b^2+1-k)/a. очевидно, что k>1, тогда c<(b^2+1-1)/a<a. Из первого условия следует, что c нечетно. Проверим, что c натурально. Пусть это не так, то есть c<=-1, тогда b^2+a+1<=k=(a^2+b^2+1)/(2ab+1)<(2a^2+b^2)/2ab<=a+b^2, противоречие. Последнее, что надо проверить, что c не совпало с b. Это проверяется подстановкой (выйдет, что k=1). То есть мы, используя квадратное уравнение, нашли новую пару (c, a), удовлетворяющую всем условиям, у которой сумма меньше. Противоречие.
Написано довольно сухо и строго, но мотивация прослеживается - основным является рассмотрение кв.уравнения и доказательство того, что второй его корень нам подойдёт. Иногда для этого стоит брать большее из чисел, иногда меньшее. Также замечу, что константа k, которая получается при переписывании кратности в равенство, сохраняется при таких действиях. Такой трюк называется "прыжок по виету", и во всех следующих задачах основным для решения является именно он. Итак, к решению предлагаются:
1)ab делит a^2+b^2+1. Тогда частное равно 3
2)ab-1 делит a^2+b^2. Тогда частное равно 5
3)a^2+b^2+c^2+1 кратно abc. Тогда частное равно 4
4)Найдите все пары (m, n), что mn-1 делит m^2+n^2
5)Найдите все пары (m, n), что mn-1 делит (n^2-n+1)^2
6)Найдите все решения уравнения a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=(n+t)a_1a_2...a_n.
Все переменные везде натуральны.

Полезно помнить, что если a<b при натуральных a и b то a<=b-1
#100
ск#114

Как бы высоко ты ни летал, не забывай, с кем ты ползал

Предлагается всем поупражняться в решении задачек с нодом:
-1) Fn=2^(2ⁿ)+1. Тогда (Fn, Fm)=1 при m≠n
0) Решить в натуральных 2(x³-x)=y³-y при (x, y)=1
1) (a^n-b^n, a^m-b^m)=a^(n, m)-b^(m, n) при (a, b)=1
2) Дано натуральное число n. Определите все m такие, что 2^m-1 кратно (2ⁿ-1)²
3) Конечно ли количество таких чисел n, что n!+1 делит (2012n)!
Также есть парочка простых задачек с Cшками:
0) (m, n) (C из n по m) кратно n
1) Покажите, что следующие Cшки взаимно просты в совокупности:
(из n по k), (из n+1 по k),..., (из n+k по k) при натуральных n≥k
2) Покажите, что (C из n по k) и (C из n по m) НЕ взаимно просты при n>k≥m>0
#99
ск#115

Задачи нет, просто напоминаю, что задачи из прошлый двух постов следует порешать😈

Всех с первым сентября! Успехов, а главное удачи в новом учебном году!

#97
давайте скажем что праздничная)

Однажды ученик Иван, после трёх лет обучения в храме геометрии, был допущен до финального испытания для получения звания геометр. Мастер Вадим К. предложил ему закрыть глаза и ответить на вопрос:

«У меня в руке палка. Скажешь, что она у меня есть, — я тебя ударю, и ты вылетишь с курса. Скажешь, что её нет, — я тебя ударю, и ты вылетишь. Скажешь что-то постороннее — я тебя ударю, и ты вылетишь».

Как же следует ответить Ивану, чтобы стать геометром?

ск#117

#96 Возвращаемся в учебный ритм)
Пусть n - такое натуральное число, кратное 81, что если его переписать задом наперёд - оно всё равно будет кратно 81. Докажите, что тогда сумма цифр числа n кратна 81. Верно ли обратное?
ск#118

#95
Давайте ещё попроще....
Покажите, что C из 2n по n кратно n+1
ск#119

#94
ск#120

#93

1) Для каких k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что их сумма кратна каждому из них?
2) Докажите, что для всех k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на их разность
3) Докажите, что каждое натуральное n, за исключением конечного их количества, представимо в виде n=a1+a2+...+a2025, где a_i делит a_(i+1) при всех 1≤i≤2024, все ai различны
ск#121