#91
Для положительных a_i с произведением 1 докажите неравенство:
Σ √((1+a_i)/2)≤Σ a_i

#92

#93

Дана таблица n•n, заполненная единицами. Назовем переключением с центром в клетке операцию, при которой все числа в кресте этой клетки (включая её саму) домножаются на -1. Докажите, что возможно, сделав несколько переключений (возможно, с разными центрами) получить таблицу, в каждой клетке которой стоит -1, и определите наименьшее количество необходимых переключений

#94

Подсказка?

Смотрите название канала)

#95
a) Найти наименьшее число, представимое в виде |36^x-5^y|
б) Найти наименьшее число, представимое в виде |53^x-37^y|

#96
а) Очевка, и так все решат
б) Пусть P(x) - многочлен с целыми коэффициентами степени n≥2. Пусть k - любое натуральное число. Пусть Q(x)=P(P(P.(..P(x)...))), где операция применяется k раз. Докажите, что Q(x)=x имеет не более n целых решений

#97
а) пусть натуральные числа a и b таковы, что a|b³-1 и b|a-1. Покажите, что (a-1)(b-1)(a-b^(3/2)-1)(a-b²-b-1)=0
b) Баян+я в детстве такое решал+все равно никто решать не будет, или кто-то решил уже или лень будет

Ну давайте пункт c вкину ещё, я прям проникся:)

Пусть A делится на произведение чисел a1 a2... an, не все из которых равны 1. Тогда докажите, что A^(n+1)+A-1 не бывает кратно (A+a1-1)(A+a2-1)...(A+an-1)

#98

Пусть a1,a2,...,an - различные натуральные числа такие, что их произведение делит (k+a1)(k+a2)...(k+an) при любом k. Тогда {a1,a2,...,an}={1,2,...,n}

#99
На олимпиаде 16 задач. Каждый участник решил ровно 8 задач, а каждые два в пересечении решили ровно 4. Какое наибольшее число участников могло быть?

#100
Юбилейная! (Залетел на один пост)

Таска мне нравится тем, что у нее достаточно много хороших решений. Начать советую со случая k=1.

По кругу выписаны $n$ чисел $a_0, a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_{n - 1}$ ($a_i \in \mathbb{Z}_n$). За один ход разрешается выбрать целое число $0 \leq s < n$ и заменить все числа по правилу $a'_i = a_i - a_{s + i}$, где $a'_i$~--- новое значение $a_i$. Докажите, что вне зависимости от стартового набора чисел и от выбора параметра $s$ на каждом ходу (на разных ходах параметр $s$ может быть разным), рано или поздно все числа $a_i$ станут кратными $n$, если $n = p^k$ ($k$~--- натуральное, $p$~--- простое).

Для доброго утречка, работяги:
#101
Докажите, что не существует натурных a и b таких, что (a^5)•b+3 и (b^5)•a+3 одновременно являются кубами целых чисел

Ну и что-то полезное, подружелюбнее вчерашней жести:)
#102
a) Покажите, что при чётном a и нечётном b найдётся натуральный x такой, что ax²+bx+c кратно 2ⁿ
b) Покажите, что для всякого натурального n найдётся кратное ему число, не большее n^4, что в его десятичной записи используется не более 4 различных цифр

Есть ещё очень умная задача вокруг этой же темы, но не этой же идеи, так что пусть будет бонусом для решивших оба пункта. Так что пишите солвы)

#103 Для спокойного сна или для бодрого пробуждения

Внимание! Пункт a) это очень большой спойлер!
a) Докажите, что найдётся число фиббоначи, кратное данному n
b) Пусть a_n=a_(n-3)+2a_(n-2) при n>3, a_1=1 a_2=4 a_3=4. Докажите, что для всякого m найдётся бесконечно много пар последовательных членов последовательности, оба из которой кратны m.

Ну хз, вдруг кому-то простенькие задачи нужны

#104

Найдите все натуральные k, при которых существует бесконечно много n таких, что kⁿ+1 кратно n

Хохма дня?
#105
Пусть дано натуральное число A, рассмотрим его десятичную запись:
A=a_0+10a_1+100a_2+... +10ⁿa_n
Определим функцию:
F(A) = a_n+2a_(n-1)+4a_(n-2)+...+2ⁿa_0
Рассмотрим последовательность:
b_1=19^2013, b_i=F(b_(i-1))
Докажите, что найдется такое j, что b_j=b_(j+1) и найдите значение b_j

#106

В классе 25 учеников. Учитель хочет запасти N конфет, провести олимпиаду и раздать за успехи в ней N конфет (решившие поровну задач должны получить поров- ну, решившие меньше — меньше, в том числе, возможно, и ноль конфет). При каком наименьшем N это будет возможно независимо от количества задач на олимпиаде и успехов учеников?

#107

Задача от активного пользователя MAX, серьезного человека и крутого парня @OttoLFS

Есть множество из n элементов и выбрано 2^(n-1) подмножеств. Оказалось любые 3 пересекаются. Доказать что все пересекаются

Кусачая задача #106
Даны целые числа a, b, c, d, e такие, что a²+b²+c²+d²+e²=(a+b+c+d+e)². Докажите, что a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde кратно a+b+c+d+e

ск#108

Ладно, раз тут все такие умные:
#105
Найдите наименьшее натуральное n>1 такое, что существуют натуральные a_1 a_2...a_n, для которых (a_1+...+a_n)^2-1 кратно a_1^2+...+a_n^2

ск#109

#104
Найдите все такие натуральные 0<a<b<c<d, что a+d=2^x, b+c=2^y, ad=bc
ск#110