Ну и чтобы было что порешать тем, кому предыдущая задача кажется баяном (кстати, сколько вас таких?) - #84
ab(a+b)^(n-1) кратно aⁿ+bⁿ, a и n четны, b нечетно, тогда aⁿ+bⁿ кратно какому-то простому в n+1ой степени

#85
При каких простых p имеет решение в целых числах уравнение х⁴+4=py⁴?

#86

Найдите все такие многочлены Р, что из xz+yz=xy следует 1/P(x)+1/P(y)=1/P(z) для ненулевых x,y,z

#87
Для хорошего сна или бессонной ночи))
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N

#88
Пусть что-то повеселее будет тогда
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2+3 = 5, S3 = 2+3+5 = 10, ... Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?

(Я искренне не понимаю, то ли всем лень решать неочевки, то ли никто не умеет. За 88, решаемую разностью квадратов, мне накидали ачев'ок, а по #85 на ту же идею - 0 комментов)
Попробую постить задачи парами, простую и сложную на 1 идею.

#89 Длины сторон треугольника простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом
#90 Пусть даны три нечетных числа фиббоначи через 1. Найдите площадь треугольника со сторонами, равными корням из них

#91
Для положительных a_i с произведением 1 докажите неравенство:
Σ √((1+a_i)/2)≤Σ a_i

#92

#93

Дана таблица n•n, заполненная единицами. Назовем переключением с центром в клетке операцию, при которой все числа в кресте этой клетки (включая её саму) домножаются на -1. Докажите, что возможно, сделав несколько переключений (возможно, с разными центрами) получить таблицу, в каждой клетке которой стоит -1, и определите наименьшее количество необходимых переключений

#94

Подсказка?

Смотрите название канала)

#95
a) Найти наименьшее число, представимое в виде |36^x-5^y|
б) Найти наименьшее число, представимое в виде |53^x-37^y|

#96
а) Очевка, и так все решат
б) Пусть P(x) - многочлен с целыми коэффициентами степени n≥2. Пусть k - любое натуральное число. Пусть Q(x)=P(P(P.(..P(x)...))), где операция применяется k раз. Докажите, что Q(x)=x имеет не более n целых решений

#97
а) пусть натуральные числа a и b таковы, что a|b³-1 и b|a-1. Покажите, что (a-1)(b-1)(a-b^(3/2)-1)(a-b²-b-1)=0
b) Баян+я в детстве такое решал+все равно никто решать не будет, или кто-то решил уже или лень будет

Ну давайте пункт c вкину ещё, я прям проникся:)

Пусть A делится на произведение чисел a1 a2... an, не все из которых равны 1. Тогда докажите, что A^(n+1)+A-1 не бывает кратно (A+a1-1)(A+a2-1)...(A+an-1)

#98

Пусть a1,a2,...,an - различные натуральные числа такие, что их произведение делит (k+a1)(k+a2)...(k+an) при любом k. Тогда {a1,a2,...,an}={1,2,...,n}

#99
На олимпиаде 16 задач. Каждый участник решил ровно 8 задач, а каждые два в пересечении решили ровно 4. Какое наибольшее число участников могло быть?

#100
Юбилейная! (Залетел на один пост)

Таска мне нравится тем, что у нее достаточно много хороших решений. Начать советую со случая k=1.

По кругу выписаны $n$ чисел $a_0, a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_{n - 1}$ ($a_i \in \mathbb{Z}_n$). За один ход разрешается выбрать целое число $0 \leq s < n$ и заменить все числа по правилу $a'_i = a_i - a_{s + i}$, где $a'_i$~--- новое значение $a_i$. Докажите, что вне зависимости от стартового набора чисел и от выбора параметра $s$ на каждом ходу (на разных ходах параметр $s$ может быть разным), рано или поздно все числа $a_i$ станут кратными $n$, если $n = p^k$ ($k$~--- натуральное, $p$~--- простое).

Для доброго утречка, работяги:
#101
Докажите, что не существует натурных a и b таких, что (a^5)•b+3 и (b^5)•a+3 одновременно являются кубами целых чисел

Ну и что-то полезное, подружелюбнее вчерашней жести:)
#102
a) Покажите, что при чётном a и нечётном b найдётся натуральный x такой, что ax²+bx+c кратно 2ⁿ
b) Покажите, что для всякого натурального n найдётся кратное ему число, не большее n^4, что в его десятичной записи используется не более 4 различных цифр

Есть ещё очень умная задача вокруг этой же темы, но не этой же идеи, так что пусть будет бонусом для решивших оба пункта. Так что пишите солвы)

#103 Для спокойного сна или для бодрого пробуждения

Внимание! Пункт a) это очень большой спойлер!
a) Докажите, что найдётся число фиббоначи, кратное данному n
b) Пусть a_n=a_(n-3)+2a_(n-2) при n>3, a_1=1 a_2=4 a_3=4. Докажите, что для всякого m найдётся бесконечно много пар последовательных членов последовательности, оба из которой кратны m.

Ну хз, вдруг кому-то простенькие задачи нужны

#104

Найдите все натуральные k, при которых существует бесконечно много n таких, что kⁿ+1 кратно n