Дай тоже скину, небось кто-то решение расскажет. На Олимпиаде дали 6 задач. Известен, что каждую пару задач одновременно решили больше 2/5 участников. Кроме того, никто не решил 6 задач. Доказать, что как минимум 2 человека решили 5 задач.

(Это была #78)

Всем привет! Наверное, все и так видели конкурс Миши про решение интегралов, и если вы хотели бы поучаствовать, но позже, то напомню, что уже прошла половина конкурса.

https://t.me/prakta2007/1399

#79

Некоторый прямоугольник можно покрыть 25 монетами диаметра 2. Всегда ли его можно покрыть 100 монетами диаметра 1?

Ну и кому 'изечка' вот такая есть ещё:

#80

Найти наименьшее натуральное число, не кратное сотне, в любом кратном которому есть две одинаковые цифры

#81
Даны различные натуральные a, b, c, d, e, что
a⁴+b⁴=c⁴+d⁴=e^5
Тогда ac+bd составное.

#82

#83 (Это скорее не задача на порешать, а просто замечательное и сложное утверждение, которое мне кажется забавным, а по сему я транслирую его в народ) Если кому интересно - решение написано в 11 матпросе)

Максимальное число монет, из которых можно найти фальшивую за n взвешиваний, равно (3ⁿ-1)/2
(все настоящие монеты весят поровну, про фальшивую неизвестно, легче она, или тяжелее)

Ну и чтобы было что порешать тем, кому предыдущая задача кажется баяном (кстати, сколько вас таких?) - #84
ab(a+b)^(n-1) кратно aⁿ+bⁿ, a и n четны, b нечетно, тогда aⁿ+bⁿ кратно какому-то простому в n+1ой степени

#85
При каких простых p имеет решение в целых числах уравнение х⁴+4=py⁴?

#86

Найдите все такие многочлены Р, что из xz+yz=xy следует 1/P(x)+1/P(y)=1/P(z) для ненулевых x,y,z

#87
Для хорошего сна или бессонной ночи))
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N

#88
Пусть что-то повеселее будет тогда
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2+3 = 5, S3 = 2+3+5 = 10, ... Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?

(Я искренне не понимаю, то ли всем лень решать неочевки, то ли никто не умеет. За 88, решаемую разностью квадратов, мне накидали ачев'ок, а по #85 на ту же идею - 0 комментов)
Попробую постить задачи парами, простую и сложную на 1 идею.

#89 Длины сторон треугольника простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом
#90 Пусть даны три нечетных числа фиббоначи через 1. Найдите площадь треугольника со сторонами, равными корням из них

#91
Для положительных a_i с произведением 1 докажите неравенство:
Σ √((1+a_i)/2)≤Σ a_i

#92

#93

Дана таблица n•n, заполненная единицами. Назовем переключением с центром в клетке операцию, при которой все числа в кресте этой клетки (включая её саму) домножаются на -1. Докажите, что возможно, сделав несколько переключений (возможно, с разными центрами) получить таблицу, в каждой клетке которой стоит -1, и определите наименьшее количество необходимых переключений

#94

Подсказка?

Смотрите название канала)

#95
a) Найти наименьшее число, представимое в виде |36^x-5^y|
б) Найти наименьшее число, представимое в виде |53^x-37^y|

#96
а) Очевка, и так все решат
б) Пусть P(x) - многочлен с целыми коэффициентами степени n≥2. Пусть k - любое натуральное число. Пусть Q(x)=P(P(P.(..P(x)...))), где операция применяется k раз. Докажите, что Q(x)=x имеет не более n целых решений

#97
а) пусть натуральные числа a и b таковы, что a|b³-1 и b|a-1. Покажите, что (a-1)(b-1)(a-b^(3/2)-1)(a-b²-b-1)=0
b) Баян+я в детстве такое решал+все равно никто решать не будет, или кто-то решил уже или лень будет