В каждой клетке таблицы (2n+1)×2 написано вещественное число. В каждой из 2n+1 строк сумма модулей чисел равна 1. Барон Мюнхгаузен может выбрать несколько строк и поменять знаки у всех чисел, стоящих в этих строках. После этого вычисляются суммы b1 и b2 чисел в столбцах. Барон утверждает, что для любой таблицы он может добиться неравенства |b1|+|b2|≤1. Не обманывает ли нас барон?
#71
#71
❤3
#72
#Sl_IMO(G3)
#2024
Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник, и M - середина AB.Предположим, что AB касается Circumcircle(C, M, E) в точке M, а точка D лежит на Circumcircle(A, M, E) и Circumcircle(B, M, C). Прямые AD и ME пересекаются в точке K, а прямые BD и MC в точке L. Точки P и Q лежат на прямой EC так, что:
<PDC=<EDQ=<ADB
Докажите, что прямые KP, LQ и MD пересекаются в одной точке
Как говорят:
#Sl_IMO(G3)
#2024
Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник, и M - середина AB.Предположим, что AB касается Circumcircle(C, M, E) в точке M, а точка D лежит на Circumcircle(A, M, E) и Circumcircle(B, M, C). Прямые AD и ME пересекаются в точке K, а прямые BD и MC в точке L. Точки P и Q лежат на прямой EC так, что:
<PDC=<EDQ=<ADB
Докажите, что прямые KP, LQ и MD пересекаются в одной точке
Как говорят:
говнюки расскрыли что это мы фигню скинули))
❤5
#73
Докажите, что во множестве M = {1, 2, …, 250} можно выделить 10 подмножеств так, чтобы для каждого натурального k ≤ 250 можно было указать 5 из этих множеств, пересечение которых равно {k} (то есть множеству, единственным элементом которого является число k)
Докажите, что во множестве M = {1, 2, …, 250} можно выделить 10 подмножеств так, чтобы для каждого натурального k ≤ 250 можно было указать 5 из этих множеств, пересечение которых равно {k} (то есть множеству, единственным элементом которого является число k)
❤2
Вот ещё добренький баян:
#74
Пусть a > 1 — действительное число. Докажите, что если числа [a^1001], [a^1002], …, [a^4000] являются квадратами натуральных чисел, то и [a] является квадратом натурального числа. Как обычно, через [x] обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
#74
Пусть a > 1 — действительное число. Докажите, что если числа [a^1001], [a^1002], …, [a^4000] являются квадратами натуральных чисел, то и [a] является квадратом натурального числа. Как обычно, через [x] обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
❤6
Давайте ещё подобрее...
#75
Все делители числа n разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что каждая сумма - это какое-то простое число. Докажите, что тогда все полученные простые числа различны
#75
Все делители числа n разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что каждая сумма - это какое-то простое число. Докажите, что тогда все полученные простые числа различны
❤5
Кажется, теперь вообще не добрая
#76
Найдите все приведенные многочлены, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, а в иррациональных-иррациональные
#76
Найдите все приведенные многочлены, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, а в иррациональных-иррациональные
❤6
Всем привет)
Мой друг-одноклассник думает (а точнее — знает))), что в этом канале собрались умные ребята, поэтому попросил меня сделать пост о его стартапе(ниже можно прочитать подробнее)
Короче, ну Ярик реально годную штуку создал, так сказать — всё для своих)
YoungRep - образовательная площадка учеников 179 школы. На этой платформе все преподаватели - школьники, которые решили использовать свои способности в преподавании.
Если ты опытный олимпиадник — будем рады видеть тебя в нашей команде преподавателей. Это отличная возможность развить преподавательские навыки, получить первый опыт работы и стать частью сильного комьюнити.
Начни свой карьерный путь уже сейчас и запишись на собеседование по ссылке.
🧭 young-rep.ru
📱 @YoungRepChannel
Мой друг-одноклассник думает (а точнее — знает))), что в этом канале собрались умные ребята, поэтому попросил меня сделать пост о его стартапе(ниже можно прочитать подробнее)
Короче, ну Ярик реально годную штуку создал, так сказать — всё для своих)
YoungRep - образовательная площадка учеников 179 школы. На этой платформе все преподаватели - школьники, которые решили использовать свои способности в преподавании.
Если ты опытный олимпиадник — будем рады видеть тебя в нашей команде преподавателей. Это отличная возможность развить преподавательские навыки, получить первый опыт работы и стать частью сильного комьюнити.
Начни свой карьерный путь уже сейчас и запишись на собеседование по ссылке.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤7💔3
Давайте ещё одно доброе упражнение
#77
Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а все высоты имеют целые длины. Найдите его площадь
#77
Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а все высоты имеют целые длины. Найдите его площадь
❤3
Forwarded from Степанян Нарек
Дай тоже скину, небось кто-то решение расскажет. На Олимпиаде дали 6 задач. Известен, что каждую пару задач одновременно решили больше 2/5 участников. Кроме того, никто не решил 6 задач. Доказать, что как минимум 2 человека решили 5 задач.
❤3
Всем привет! Наверное, все и так видели конкурс Миши про решение интегралов, и если вы хотели бы поучаствовать, но позже, то напомню, что уже прошла половина конкурса.
https://t.me/prakta2007/1399
https://t.me/prakta2007/1399
Telegram
Практикум || Интегралы и ряды
Анонс конкурса по решению интегралов и рядов!!! ⢤⡄⡁⠌⡁⡈ ⢔⠨⠌⢘⡌ ⡆⢒⠡ ⠇⠱⠨⠩ ⠇⠋⣄⡃⠸⢄⡒ ⣄⠨⠆⡰⠔⠡⠘⢐ ⢐⡑⣈⠬⠩
Каждый день в течение 42 дней, начиная с 7 июля и заканчивая 17 августом, будет поститься по одному или нескольким оригинальным (т.е. придуманных мною лично) интегралам/рядам…
Каждый день в течение 42 дней, начиная с 7 июля и заканчивая 17 августом, будет поститься по одному или нескольким оригинальным (т.е. придуманных мною лично) интегралам/рядам…
❤6
#79
Некоторый прямоугольник можно покрыть 25 монетами диаметра 2. Всегда ли его можно покрыть 100 монетами диаметра 1?
Некоторый прямоугольник можно покрыть 25 монетами диаметра 2. Всегда ли его можно покрыть 100 монетами диаметра 1?
❤6
Ну и кому 'изечка' вот такая есть ещё:
#80
Найти наименьшее натуральное число, не кратное сотне, в любом кратном которому есть две одинаковые цифры
#80
Найти наименьшее натуральное число, не кратное сотне, в любом кратном которому есть две одинаковые цифры
❤6
#81
Даны различные натуральные a, b, c, d, e, что
a⁴+b⁴=c⁴+d⁴=e^5
Тогда ac+bd составное.
Даны различные натуральные a, b, c, d, e, что
a⁴+b⁴=c⁴+d⁴=e^5
Тогда ac+bd составное.
❤4
#83 (Это скорее не задача на порешать, а просто замечательное и сложное утверждение, которое мне кажется забавным, а по сему я транслирую его в народ) Если кому интересно - решение написано в 11 матпросе)
Максимальное число монет, из которых можно найти фальшивую за n взвешиваний, равно (3ⁿ-1)/2
(все настоящие монеты весят поровну, про фальшивую неизвестно, легче она, или тяжелее)
Максимальное число монет, из которых можно найти фальшивую за n взвешиваний, равно (3ⁿ-1)/2
(все настоящие монеты весят поровну, про фальшивую неизвестно, легче она, или тяжелее)
❤5
Ну и чтобы было что порешать тем, кому предыдущая задача кажется баяном (кстати, сколько вас таких?) - #84
ab(a+b)^(n-1) кратно aⁿ+bⁿ, a и n четны, b нечетно, тогда aⁿ+bⁿ кратно какому-то простому в n+1ой степени
ab(a+b)^(n-1) кратно aⁿ+bⁿ, a и n четны, b нечетно, тогда aⁿ+bⁿ кратно какому-то простому в n+1ой степени
❤2
#85
При каких простых p имеет решение в целых числах уравнение х⁴+4=py⁴?
При каких простых p имеет решение в целых числах уравнение х⁴+4=py⁴?
❤4
#86
Найдите все такие многочлены Р, что из xz+yz=xy следует 1/P(x)+1/P(y)=1/P(z) для ненулевых x,y,z
Найдите все такие многочлены Р, что из xz+yz=xy следует 1/P(x)+1/P(y)=1/P(z) для ненулевых x,y,z
❤8
#87
Для хорошего сна или бессонной ночи))
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N
Для хорошего сна или бессонной ночи))
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N
❤1
#88
Пусть что-то повеселее будет тогда
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2+3 = 5, S3 = 2+3+5 = 10, ... Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
Пусть что-то повеселее будет тогда
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2+3 = 5, S3 = 2+3+5 = 10, ... Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
❤3