#67
Та самая задачка с утюма, про которую была моя история
Числа a, b, x, y таковы, что x<a, y<b, x²=a²+b²-2by, y²=a²+b²-2ax. Докажите, что x/a + y/b + xy/ab = 2
Та самая задачка с утюма, про которую была моя история
Числа a, b, x, y таковы, что x<a, y<b, x²=a²+b²-2by, y²=a²+b²-2ax. Докажите, что x/a + y/b + xy/ab = 2
❤1
#68
#IMO
#2005 p1
Six points are chosen on the sides of an equilateral triangle ABC:
A_{1}, A_{2} on BC, B_{1}, B_{2} on CA, and C_{1}, C_{2} on AB, so that they are the vertices of a convex hexagon A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2} with equal side lengths. Prove that the lines A_{1}B_{2}, B_{1}C_{2} and C_{1}A_{2} are concurrent.
by Bogdan Enescu
история к предыдущей задачи:
О, у меня история есть
На каком-то утюме дали алгебру с условиями, типа "всё неотрицательно, a>с, a²+b²=c²+d²", какое-то там равенство доказатеь надо было. Ну и один чел в себя поверил, решил что задача про геометрию, признак карно, всë такое, и там ещё все так хорошо преобразовывалось, в духе в квадрат вписали треугольник, площади какие-то поскладывали...
А потом он полученную задачу посчитал в комплах. Занавес.
Она была в чате
#IMO
#2005 p1
Six points are chosen on the sides of an equilateral triangle ABC:
A_{1}, A_{2} on BC, B_{1}, B_{2} on CA, and C_{1}, C_{2} on AB, so that they are the vertices of a convex hexagon A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2} with equal side lengths. Prove that the lines A_{1}B_{2}, B_{1}C_{2} and C_{1}A_{2} are concurrent.
by Bogdan Enescu
история к предыдущей задачи:
О, у меня история есть
На каком-то утюме дали алгебру с условиями, типа "всё неотрицательно, a>с, a²+b²=c²+d²", какое-то там равенство доказатеь надо было. Ну и один чел в себя поверил, решил что задача про геометрию, признак карно, всë такое, и там ещё все так хорошо преобразовывалось, в духе в квадрат вписали треугольник, площади какие-то поскладывали...
А потом он полученную задачу посчитал в комплах. Занавес.
Она была в чате
❤5
#69
Натуральный ряд разбили на конечное число (не одну) не пересекающихся арифметических прогрессий, докажите что у каких то двух из них одинаковый шаг
Натуральный ряд разбили на конечное число (не одну) не пересекающихся арифметических прогрессий, докажите что у каких то двух из них одинаковый шаг
❤4
От всей души поздравляем Inomova Mashrafdzhona с серебром на IMO 2025!
❤7
#70
#SL_IMO
#2024
А что с шортлистом? Наверное, это влияние прифотошопленных девушек)
Вообще, задача несложная, просто что курили авторы - остается загадкой…
#SL_IMO
#2024
А что с шортлистом? Наверное, это влияние прифотошопленных девушек)
Вообще, задача несложная, просто что курили авторы - остается загадкой…
В каждой клетке таблицы (2n+1)×2 написано вещественное число. В каждой из 2n+1 строк сумма модулей чисел равна 1. Барон Мюнхгаузен может выбрать несколько строк и поменять знаки у всех чисел, стоящих в этих строках. После этого вычисляются суммы b1 и b2 чисел в столбцах. Барон утверждает, что для любой таблицы он может добиться неравенства |b1|+|b2|≤1. Не обманывает ли нас барон?
#71
#71
❤3
#72
#Sl_IMO(G3)
#2024
Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник, и M - середина AB.Предположим, что AB касается Circumcircle(C, M, E) в точке M, а точка D лежит на Circumcircle(A, M, E) и Circumcircle(B, M, C). Прямые AD и ME пересекаются в точке K, а прямые BD и MC в точке L. Точки P и Q лежат на прямой EC так, что:
<PDC=<EDQ=<ADB
Докажите, что прямые KP, LQ и MD пересекаются в одной точке
Как говорят:
#Sl_IMO(G3)
#2024
Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник, и M - середина AB.Предположим, что AB касается Circumcircle(C, M, E) в точке M, а точка D лежит на Circumcircle(A, M, E) и Circumcircle(B, M, C). Прямые AD и ME пересекаются в точке K, а прямые BD и MC в точке L. Точки P и Q лежат на прямой EC так, что:
<PDC=<EDQ=<ADB
Докажите, что прямые KP, LQ и MD пересекаются в одной точке
Как говорят:
говнюки расскрыли что это мы фигню скинули))
❤5
#73
Докажите, что во множестве M = {1, 2, …, 250} можно выделить 10 подмножеств так, чтобы для каждого натурального k ≤ 250 можно было указать 5 из этих множеств, пересечение которых равно {k} (то есть множеству, единственным элементом которого является число k)
Докажите, что во множестве M = {1, 2, …, 250} можно выделить 10 подмножеств так, чтобы для каждого натурального k ≤ 250 можно было указать 5 из этих множеств, пересечение которых равно {k} (то есть множеству, единственным элементом которого является число k)
❤2
Вот ещё добренький баян:
#74
Пусть a > 1 — действительное число. Докажите, что если числа [a^1001], [a^1002], …, [a^4000] являются квадратами натуральных чисел, то и [a] является квадратом натурального числа. Как обычно, через [x] обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
#74
Пусть a > 1 — действительное число. Докажите, что если числа [a^1001], [a^1002], …, [a^4000] являются квадратами натуральных чисел, то и [a] является квадратом натурального числа. Как обычно, через [x] обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
❤6
Давайте ещё подобрее...
#75
Все делители числа n разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что каждая сумма - это какое-то простое число. Докажите, что тогда все полученные простые числа различны
#75
Все делители числа n разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что каждая сумма - это какое-то простое число. Докажите, что тогда все полученные простые числа различны
❤5
Кажется, теперь вообще не добрая
#76
Найдите все приведенные многочлены, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, а в иррациональных-иррациональные
#76
Найдите все приведенные многочлены, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, а в иррациональных-иррациональные
❤6
Всем привет)
Мой друг-одноклассник думает (а точнее — знает))), что в этом канале собрались умные ребята, поэтому попросил меня сделать пост о его стартапе(ниже можно прочитать подробнее)
Короче, ну Ярик реально годную штуку создал, так сказать — всё для своих)
YoungRep - образовательная площадка учеников 179 школы. На этой платформе все преподаватели - школьники, которые решили использовать свои способности в преподавании.
Если ты опытный олимпиадник — будем рады видеть тебя в нашей команде преподавателей. Это отличная возможность развить преподавательские навыки, получить первый опыт работы и стать частью сильного комьюнити.
Начни свой карьерный путь уже сейчас и запишись на собеседование по ссылке.
🧭 young-rep.ru
📱 @YoungRepChannel
Мой друг-одноклассник думает (а точнее — знает))), что в этом канале собрались умные ребята, поэтому попросил меня сделать пост о его стартапе(ниже можно прочитать подробнее)
Короче, ну Ярик реально годную штуку создал, так сказать — всё для своих)
YoungRep - образовательная площадка учеников 179 школы. На этой платформе все преподаватели - школьники, которые решили использовать свои способности в преподавании.
Если ты опытный олимпиадник — будем рады видеть тебя в нашей команде преподавателей. Это отличная возможность развить преподавательские навыки, получить первый опыт работы и стать частью сильного комьюнити.
Начни свой карьерный путь уже сейчас и запишись на собеседование по ссылке.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤7💔3
Давайте ещё одно доброе упражнение
#77
Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а все высоты имеют целые длины. Найдите его площадь
#77
Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а все высоты имеют целые длины. Найдите его площадь
❤3
Forwarded from Степанян Нарек
Дай тоже скину, небось кто-то решение расскажет. На Олимпиаде дали 6 задач. Известен, что каждую пару задач одновременно решили больше 2/5 участников. Кроме того, никто не решил 6 задач. Доказать, что как минимум 2 человека решили 5 задач.
❤3
Всем привет! Наверное, все и так видели конкурс Миши про решение интегралов, и если вы хотели бы поучаствовать, но позже, то напомню, что уже прошла половина конкурса.
https://t.me/prakta2007/1399
https://t.me/prakta2007/1399
Telegram
Практикум || Интегралы и ряды
Анонс конкурса по решению интегралов и рядов!!! ⢤⡄⡁⠌⡁⡈ ⢔⠨⠌⢘⡌ ⡆⢒⠡ ⠇⠱⠨⠩ ⠇⠋⣄⡃⠸⢄⡒ ⣄⠨⠆⡰⠔⠡⠘⢐ ⢐⡑⣈⠬⠩
Каждый день в течение 42 дней, начиная с 7 июля и заканчивая 17 августом, будет поститься по одному или нескольким оригинальным (т.е. придуманных мною лично) интегралам/рядам…
Каждый день в течение 42 дней, начиная с 7 июля и заканчивая 17 августом, будет поститься по одному или нескольким оригинальным (т.е. придуманных мною лично) интегралам/рядам…
❤6
#79
Некоторый прямоугольник можно покрыть 25 монетами диаметра 2. Всегда ли его можно покрыть 100 монетами диаметра 1?
Некоторый прямоугольник можно покрыть 25 монетами диаметра 2. Всегда ли его можно покрыть 100 монетами диаметра 1?
❤6
Ну и кому 'изечка' вот такая есть ещё:
#80
Найти наименьшее натуральное число, не кратное сотне, в любом кратном которому есть две одинаковые цифры
#80
Найти наименьшее натуральное число, не кратное сотне, в любом кратном которому есть две одинаковые цифры
❤6