Почему у школьников возникают проблемы с геометрией

До 7-го класса математика – единый предмет. Главным образом, это арифметика. Школьники учатся свободно действовать с натуральными и целыми числами, с обыкновенными и десятичными дробями. Но иногда в арифметику вкрапляется то, что можно назвать зачатками геометрии. На таких уроках знакомятся с различными геометрическими фигурами, учатся определять их периметр и площадь, измеряют транспортиром углы. На этом этапе проблем не возникает, дети такие уроки любят даже больше арифметических.

В 7-м классе оказывается, что геометрия – не совсем об этом. Это предмет, требующий умения логически мыслить. Есть некоторый набор основных понятий и аксиом, которые принимаются без определений и доказательств, опираясь на них определяют и доказывают все остальные понятия и утверждения. Кроме доказательства теорем, которые требуется понять и выучить, школьники также учатся самостоятельно искать ход решения геометрических задач.

Вот тут и возникают проблемы. Во-первых, это проблемы с пониманием доказательства. Зачем оно и почему такое. Как запомнить - учить наизусть как стихи? Во-вторых, проблемы с самостоятельным построением решения задач. Ход решения может быть многошаговым и извилистым. Тут нет ясного и четкого алгоритма как в алгебре – делай раз, делай два, получишь ответ. Надо думать, на какие теоремы можно опереться, как прийти к решению, в идеале – какой путь короче.

Чтобы не учить доказательство наизусть, надо научиться его строить по опорным пунктам - запомнить какого вида было доказательство, например, что это доказательство от противного. Запомнить, в какую сторону шли рассуждения, а дальше их восстановливать самостоятельно. Такой подход позволит и решения задач находить гораздо проще и быстрее.

Геометрия – это не очень просто, зато интересно. К тому же она дает хороший опыт "настоящей" математики, который пригодится в ВУЗе.

#математика_и_жизнь

Открыта регистрация на экзамены для поступления в 8-й класс при мехмате МГУ в 54-й школе. Также с марта будут проходить собеседования на добор в нынешние 8-10 классы.

Это школа, где учится мой средний сын, и я готова ее рекомендовать всем, кто интересуется математикой. Там замечательные учителя, действительно любящие то, что они делают. Математику преподают на самом высоком уровне. Много внешкольных мероприятий, действительно интересных детям. Походы, поездки. Ребята дружат в классе, активно общаются с классами младше и старше.

Сейчас 8-й класс набирает классный руководитель моего сына. Он прекрасный, молодой, при этом уже опытный классный руководитель. После его уроков геометрии, Вова стал геометрические задачи в олимпиадах считать самыми простыми. Я его методичку для 8-го класса считаю лучшим пособием по геометрии и активно использую.

Если какие-то подробности хотите узнать, пишите, отвечу на все вопросы.

Заканчивается вторая неделя работы онлайн клуб для родителей школьников 4-7 классов. Мы рассмотрели несколько интересных задач, с большей частью участников я провела индивидуальные ознакомительные занятия. У нас есть ребята разного возраста и с разными запросами.

В рамках клуба родители получают

🔹 Задания для совместного решения с детьми
🔹 Методические указания по работе с этими заданиями
🔹 Помощь от опытного репетитора по возникающим школьным проблемам
🔹 Еженедельные занятия с разбором проблем и ответами на вопросы

Подробности - в записи эфира.

💲 Стоимость участия в клубе 2000р в месяц. Первая ознакомительная неделя - бесплатно.

✔️ Для участия напишите слово КЛУБ в комментариях.

Задача на совместную работу

На одном из ознакомительных занятий в клубе обсуждали задачи на совместную работу, в которых меняется количество работников и затраченное на работу время. Вспомнила на эту тему хорошую старинную задачу.

‼️ Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько яиц снесут девять куриц за девять дней?

Сможете решить?

#задача

Решение задачи про куриц из вчерашнего эфира для родительского клуба.

#задача

Как часто надо заниматься математикой?

При изучении иностранных языков всегда подчеркивают, что полезнее заниматься каждый день понемногу, чем два часа раз в неделю. Лучше, конечно, два часа и более каждый день, но это возможно только если изучение языка для человека приоритетно.

А как с математикой или физикой, как часто надо о них вспоминать? На самом деле, большой разницы нет, регулярность важна в любом деле. Ежедневные занятия по 5-10-15 минут помогут не только отработать решение конкретных задания, но и в целом закрепят имеющиеся знания.

Большинство учеников выполняют домашние задания в последний вечер перед занятием, а то и в сам день занятия прямо перед ним. Конечно, лучше так, чем никак, но при тех же затратах времени результат работы можно сильно улучшить. Некоторые делают задание заранее, но тоже единым блоком. Это лучше, так как на неделе о математике они вспоминают два раза, а не один.

#на_уроке

Идеально было бы разбить задание на небольшие блоки и делать 5-6 раз в неделю.

На практике так не делает, наверное, никто. Но недавно я провела эксперимент. У меня есть ученик, который домашнее задание не выполнял с завидной регулярностью, при этом хотел заниматься, но все ему мешали другие важные дела. Понятно, что при таком подходе прогресс вряд ли возможен и смысл занятий теряется. Перед новогодними каникулами я поставила ему условие продолжения нашей работы – он выполняет по одному заданию в день каждый день и каждый день мне присылает, не исключая 31 декабря и 1 января. Одно задание может занять от 5 до 15 минут в зависимости от сложности.

Таким образом, за две недели мой ученик решил 13 или 14 заданий. Это меньше варианта ЕГЭ. Но эти две недели принесли ему больше пользы, чем несколько месяцев работы практически только на занятиях. Мы стали быстро продвигаться вперед, уже не надо возвращаться к пройденному. Он стал получать больше пользы от школьной математики. Появилось желание справиться со сложными заданиями.

Так что я уверена, что регулярность занятий – ключ к успеху и она важнее их продолжительности. Буду думать, как замотивировать всех моих учеников (а также родителей в клубе:) ) заниматься каждый день.

#на_уроке

Что такое масса?

У Васи в школе в пятом классе есть экспериментальный предмет, объединяющий все естественные науки. В какой-то момент там было что-то типа физики, они под диктовку записывали определения разных понятий. Потом у них была контрольная по этим определениям. Вася рассказывает – все написал, только определение массы забыл. Конечно, говорю, не записываешь ничего, вот и не подготовился. Нет, говорит, как раз это я записал! И читает мне из тетради: «Масса – это мера количества вещества».

Я ему не поверила, решила, что он все перепутал и записал не то. Объяснила, что такое масса. Но через несколько дней другие родители озаботились этой контрольной, и в чат выложили аккуратные записи девочек. Оказалось, зря я Васю ругала, так им и диктовали. И очень хорошо, что он еще до контрольной это забыл!

Нельзя таким образом определять массу, ни в пятом классе, ни в первом, ни в детском саду. Это не упрощенное определение, это определение неправильное. Масса – это одновременно мера инерции тела и мера гравитационного взаимодействия тел. И совсем не трудно объяснить это детям на пальцах в упрощенном виде.

Инерция – это свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного движения. И масса показывает, насколько трудно вывести тело из этого состояния, разогнать его или остановить. Гравитация – все тела притягиваются друг к другу, и чем их массы больше, тем сильнее притягиваются. Два легких тела притягиваются друг к другу так слабо, что мы не можем это различить. Зато Земля – большое тело, и мы к нему притягиваемся вполне заметно. Чем больше масса – тем сильнее тело притягивается к Земле.

И то, что и то и другое – одна и та же величина – потрясающе интересный факт! Эйнштейн на основе этого факта Общую Теорию Относительности создал! А количество вещества – это вообще о другом.

#математика_и_жизнь

Задача про рыбаков из книги «Физики шутят»

‼️ Рыбаки целый день ловили рыбу, а вечером, сложив улов на берегу, легли спать. Однако одному из них не спалось, и он решил уехать, забрав свою часть улова. Пересчитав улов, рыбак разделил всю рыбу на три части. При этом одна рыба оказалась лишней. Рыбак бросил ее в воду, забрал свою долю и уехал домой. Среди ночи проснулся второй рыбак, и, не заметив отсутствия первого товарища, разделил оставшуюся рыбу на три части, одну лишнюю тоже бросил в воду, забрал свою часть и уплыл домой. Так же, под утро, не заметив, что остался один, поступил третий рыбак. Какое наименьшее количество рыб могли поймать рыбаки?

#задача

Задача про рыбаков - при чем тут физики?

Правильный ответ на задачу, конечно, 25 рыб. Первый рыбак выкинул одну рыбу и взял себе 8, оставив 16. Второй выкинул еще одну рыбу и взял себе 5, оставив 10. Третий выкинул третью рыбу и взял себе 3, а 6 рыб так и остались лежать на берегу. Интересно, обсуждали ли они впоследствии эту рыбалку и долго ли спорили, кто уехал первым.

Вчера предположили, что только физики могли во время рыбалки так плохо считать рыб, что третий взял почти втрое меньше своей исходной доли. Но он же не зря дольше всех спал, возможно, он не очень хорошо помнил вчерашний вечер, да и кто там сколько поймал неизвестно.

#задача

В книге же «Физики шутят» эта задача приведена в связи с великим физиком теоретиком Полем Дираком.

Он решал эту задачу в юности, участвуя в математическом конкурсе, и предложил свой ответ: -2 рыбы. Действительно, поймали рыбаки -2 рыбы (допустим, привезли с собой или одолжили у соседних рыбаков и отпустили). Первый рыбак выкинул одну рыбу и пойманных рыб стало -3. Он взял свою -1 рыбу (видимо, долговое обязательство на одну рыбу) и уехал. Рыб опять стало -2 и остальные два рыбака поступили точно так же.

На самом деле решение это правильным считать нельзя, т.к. если предполагать, что задачу следует решать в целых числах, а не в натуральных, то -2 – это не самое меньшее количество рыб, а лишь самое меньшее по модулю.

Зато, когда Дирак вывел волновое уравнение своего имени, он не смутился тем, что одно из его решений предполагает существование отрицательных энергий и отрицательных масс. Дирак допустил, что это решение может иметь физический смысл, тем самым предсказав открытие позитрона, античастицы по отношению к электрону. Видимо, ему всегда нравились отрицательные решения.

#задача

В клубе на этой неделе во время воскресного эфира попробовали разобрать несколько задач вместе с ребятами.

Обсудили, что такое литр.
Решили достаточно сложную задачу на совместную работу.
Решили олимпиадную задачу по геометрии для 7го класса.

Надеюсь, всем было полезно. Будем продолжать!

Оформление второй части ЕГЭ по физике, задания 25 и 26.

Задания 25 и 26 из второй части ЕГЭ по физике – достаточно простые вычислительные задачи. За них можно получить по два балла. Для этого их надо не только правильно решить, но и правильно оформить.

В бланке ЕГЭ есть следующее указание: Полное правильное решение каждой из задач 25-30 должно содержать законы и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи, а также математические преобразования, расчеты с численным ответом и при необходимости рисунок, поясняющий решение.

Что это значит?

#ЕГЭ_ОГЭ

Во-первых, должны быть записаны положения теории и физические законы. Например, для решения задачи необходимо использовать закон Ома для полной цепи, значит он должен быть записан в исходном виде, и только потом можно выполнять какие-то преобразования. Если самого закона записано не будет, а будет уже некое преобразованное выражение, то за задачу оценят на 0 баллов, даже если будет получен правильный ответ. С другой стороны, в решении не должно быть лишних законов, то есть тех, которые не являются необходимыми для решения задачи.

Во-вторых, обязательно должны быть описаны все вводимые буквенные обозначения физических величин. Не надо описывать обозначения констант, указанных в справочных материалах, а также обозначения величин, описанные в задании. Это очень важно и это часто пропускают при оформлении решения. В итоге при правильном решении за задание будет выставлен лишь 1 балл из двух.

В-третьих, должны быть правильно проведены математические преобразования и вычисления. Следует записать ответ, указав правильную размерность. Можно получить 1 балл из двух, если преобразования правильные, но допущена вычислительная ошибка и ответ неверный.

И наконец, в-четвертых, решение не должно содержать никаких лишних записей. Если где-то была допущена ошибка, и преобразования проведены еще раз, то ошибочные записи следует обязательно зачеркнуть, иначе также при правильном решении может быть снят 1 балл.

#ЕГЭ_ОГЭ

Построение по клеткам в ОГЭ и приложение Пифагория

В одном из геометрических заданий ОГЭ по математике требуется определить величины по рисунку на клетчатой бумаге. Не так давно такая задача была и в профильном ЕГЭ, но сейчас ее исключили.

Некоторые задания проверяют знание определений, если знаешь, что искать, то считаешь клеточки и готово(рис.1). В других отрезок, чью длину следует найти, проходит не прямо по клеточкам. Тогда после подсчета применяем теорему Пифагора(рис 2.). В самых же интересных заданиях надо определить тригонометрические функции углов, обе стороны которых не лежат на сторонах клеточек, например, как на рис 3.

#ЕГЭ_ОГЭ

Для того, чтобы определить тригонометрическую функцию угла, этот угол должен входить в прямоугольный треугольник. Отсюда возникает задача построения прямого угла на клетчатом поле. Когда прямоугольный треугольник построен, остается только определить длины его катетов, и проще сделать это не в клетках, а в некоторых одинаковых кусочках.

Чтобы проще было решать подобные задания, да и вообще повторить и прочувствовать планиметрию, можно использовать приложение Пифагория. Оно оформлено как логическая игра, и на первых уровнях построение по клеточкам довольно простое. Но постепенно оказывается полезным и показанный на картинке способ построения перпендикуляра, и другие знания.

#ЕГЭ_ОГЭ #математика_и_жизнь

Физика и математика

Есть замечательный анекдот про физика и математика. Физику и математику дали спички, плиту, чайник и кран с водой, задача – вскипятить воду. Они зажгли плиту, налили из крана воду, поставили на плиту чайник и вскипятили. Новая задача – опять-таки надо вскипятить воду, только теперь огонь уже горит, а вода уже в чайнике. Физик поставил чайник на огонь и вскипятил, а математик потушил огонь, вылил из чайника воду и свел задачу к уже решенной.

Мне этот анекдот рассказывали в свое время папа-физик и учитель математики, при этом папа считал, что анекдот высмеивает математиков, а учитель приводил его как образец решения задач, «а теперь выльем воду из чайника» было у нас практически официальным обозначением соответствующих действий.

#математика_и_жизнь

Недавно мне написали про семиклассника, который хорошо понимает физику, потому что она описывает окружающий мир, а математику хуже, потому что она абстрактная. А вот мой средний сын имеет ровно противоположное мнение. Он знает и любит математику, потому что математика четкая и логичная, а физику понимать отказывается наотрез. Говорит, что, во-первых, не понимает, как устроен этот наш мир, а, во-вторых, физика описывает ситуацию с упрощениями, и он не понимает, чем и когда нужно пренебречь и как это вообще возможно – пренебречь чем-то.

На мой же взгляд, математика – это прекраснейшая и важнейшая область знания, это инструмент, применимый во всех науках. Но в отрыве от применения в чем-то материальном инструмент имеет мало смысла. Естественные науки с помощью математики строят модели нашего мира и эти модели изучают. Физика в этом плане продвинулась дальше других, т.к. изучаемые физикой явления - базовые. Действительно, при решении задач возникает проблема выбора модели, то самое – чем мы можем здесь пренебречь. И надо осознавать, что насколько бы точную модель мы ни выбирали, это все равно будет модель. Собственно, в этом и заключается физическая часть решения, дальше задача превращается в математическую и можно смело гасить огонь и выливать из чайника воду.

#математика_и_жизнь

На этой неделе в клубе разобрали несколько интересных задач по основам геометрии и комбинаторики.

На следующей будем исследовать движение, попробуем решить несколько задач и построить графики движения.

Одним из важных понятий, относящихся к таким задачам, является понятие средней скорости. Казалось бы, это понятие очень простое, тем не менее в ОГЭ и ЕГЭ именно задачи на нахождение средней скорости вызывают проблемы.

Дело в том, что слово «средняя» ассоциируется со средним арифметическом. Поэтому, когда в задаче даны скорости движения на нескольких участках и требуется найти среднюю скорость, эти скорости складывают и делят на количество участков. Такой подход в корне не верен.

По определению средняя скорость движения равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Таким образом, чтобы среднюю скорость найти, надо сложить длины всех участков и определить общее время.

Давайте попробуем решить довольно простую задачу, думаю, что с ней легко справится пятиклассник, а вот на ОГЭ она могла бы вызвать проблемы:

Мотоцикл двигался в течение 15с со скоростью 5 м/с, в течение 10с со скоростью 8 м/с и в течение 6с со скоростью 20 м/с. Какова средняя скорость движения мотоцикла?

#задача #на_уроке