На канале примерно сто π подписчиков. Занятно, что в нашей школе кабинет 314 — это кабинет математики. Называть его «сто пи» меня научил Алексей Татаринцев, мой коллега-математик.

Следующий юбилей — 1828 подписчиков. Мой семинарист по математическому анализу шутил: «мы помним первые 9 знаков после запятой для числа e, поэтому помним год рождения Льва Толстого».

e = 2,718281828...

С числом e в школе встречаются на математике — это основание натурального логарифма. При описании различных физических процессов это число тоже фигурирует очень часто, с чем школьники, правда, почти не сталкиваются.

Например, зависимость координаты от времени для тела, движущегося в вязкой среде, выражается через экспоненту. Или зависимость силы тока от времени в катушке индуктивности. Уравнения, в решении которых фигурирует экспонента, средний школьник решать не умеет — не хватает математики.

Однако кое-что может сделать и обычный старшеклассник. Можно научиться составлять уравнения, описывающие эти процессы. Это очень важный навык! В школе ему не учат («незачем — решить эти уравнения мы все равно не сможем»). Так что совет тем, кто в этом году поступил на физфак и с нетерпением ждет начала обучения первого сентября: потренируйтесь летом составлять уравнения, для решения которых надо будет взять какой-нибудь простой интеграл. Ваш семинарист по физике будет считать, что вы всему этому уже обучены.

Потренируемся вместе. Вспомним известную школьную задачу:

Тело массой m, имеющее начальную скорость v₀, попадает в вязкую среду, сила сопротивления движению тела которой пропорциональна его скорости: F = βv.

(а) Определить путь, пройденный телом до остановки.

В дополнение к школьному вопросу, найдем еще и зависимость скорости от времени в пункте (б), а в пункте (в) — зависимость координаты от времени. Любопытно, что честное решение для поиска пройденного пути показывет, что этот путь mv₀/β будет пройден только за бесконечно большое время.

Решение, оформленное максимально подробно специально для будущих первокурсников, смотрите на прикрепленных картинках или на в задаче #1504.

А еще первокурам будет полезно прорешать летом задачки с тегом «интеграл» и посмотреть на выборку из 20 задач, которые ждут вас в конце первого семестра на общем зачете по физике.

Космонавтика в ЕГЭ по физике.

ЕГЭ, особенно в тестовой части, часто содержит вопросы про силу тяжести, скорость, ускорение, энергию спутников на орбите. Приведу вывод формулы для первой космической скорости, который нужно уметь делать быстро (см. первую картинку с красными стрелочками). Без вывода этими формулами во второй части экзамена пользоваться нельзя, в кодификаторе-2025 их нет. Раньше были.

Сейчас в кодификаторе на эту тему есть довольно странная формула (см. вторую картинку):

Зависимость силы тяжести от высоты h над поверхностью планеты радиусом R₀:

mg = GMm / (R₀+h)²

Лично я, встретив такую запись в экзаменационной работе, задумался бы — не стоит ли снизить за это балл? Точно ли ученик понимает, что g, фигурирующее в его формуле, это НЕ ускорение свободного падения на поверхности Земли? Эта неаккуратная запись уже не менее десяти лет живет в кодификаторе.

Несколько фактов про спутники, невесомость и космические скорости в порядке убывания ЕГЭшности:

- Изящное определение (подслушал у коллег в школе, даром что сам астроном): первая космическая скорость — скорость движения по низкой круговой орбите.

- МКС движется по орбите высотой около 400 км над поверхностью Земли. На этой высоте сила тяжести обеспечивает для свободно падающих тел ускорение примерно 90% от g.

- Таким образом, невесомость на МКС возникает НЕ из-за того, что сила притяжения к Земле на таком расстоянии очень мала. Если бы сила тяжести была пренебрежимо малой, МКС и другие спутники просто улетели бы от нашей планеты.

- Невесомость на МКС возникает из-за того, что она находится в свободном падении. Почему же она не падает? Падает. Только из-за достаточной горизонтальной скорости и кривизны планеты МКС остается на прежнем удалении от поверхности Земли.

- По-моему, в «Занимательной астрономии» Перельмана именно так и оценивается величина первой космической скорости. За одну секунду свободно падающее из состояния покоя тело снижается на 5 метров (Δh = gt²/2). При помощи геометрических построений можно понять (см. третью картинку), что надо продвинуться по касательной к планете на 8 км, чтобы удалиться от поверхности планеты на те же 5 метров. Вот и получается, что первая космическая скорость составляет 8 км/с.

- Спутник, «тормозящий» о верхние слои атмосферы, увеличивает скорость! Часть его механической энергии уходит в тепло, потенциальная энергия −GMm/r уменьшается (становится более отрицательной из-за того, что спутник снижается из-за тормозящей силы), а кинетическая энергия увеличивается, потому что двигаться по более низкой круговой орбите можно только с более высокой скоростью.

- Куда направлена реактивная струя у спутника при движении по орбите?

- Вскоре после бесчисленного количества задач на движение брошенного под углом к горизонту тела ученик девятого класса встречается с движением спутника вокруг Земли. И я всегда задаю следующий вопрос — мол, в октябре мы бросали тело под углом к горизонту, и оно двигалось по параболе. Так? Так. А сейчас у нас спутник летит вокруг Земли по окружности (или по эллипсу). Так? Так. А где тот момент, когда камень, брошенный под углом к горизонту, полетит не по параболе, а по эллипсу?

Оказывается, что момента такого нет. В самом деле, движение брошенного под углом к горизонту тела решается в рамках модели бесконечной плоской Земли. У такой Земли, разумеется, и масса бесконечно велика, из-за чего ускорение свободного падения мало того что не меняет направления, так еще и не меняет свою величину с высотой. В такой модели тело никогда не полетит по эллипсу.

Движение спутника рассматривается в рамках совершенно другой модели: ускорение меняет и направление, и величину.

- Что (по легенде) осознал Ньютон, когда на него упало яблоко? Он осознал, что Луну на орбите удерживает та же сила, что ответственна за падение яблока на Землю.

Приливы. От простого к сложному.

1. Tide — «прилив» в переводе с английского языка (первая картинка. Забавно, что реклама стирального порошка размещена на не самом чистом автомобиле. Между прочим, с буквами «ВМК»).

2. Самое элегантное объяснение лунных приливов я встретил в знаменитых Корнельских лекциях нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, видео-записью которых можно (и нужно!) насладиться в интернете. На второй картинке видно, что около точки A вода находится ближе к Луне и притягивается сильнее, чем поверхность Земли — возникает прилив. Около точки B вода находится дальше от Луны и притягивается слабее, чем земная поверхность — тоже возникает прилив. В других областях планеты получается отлив, так как именно оттуда вода устремляется в сторону приливов.

3. Можно подумать, что в каждом месте на Земле бывает ровно два прилива в сутки. Но Луна не стоит на месте, терпеливо ожидая, пока Земля полностью повернётся вокруг своей оси. Луна движется по орбите вокруг Земли, и за одни сутки проходит несколько процентов своей орбиты. Поэтому приливы повторяются с периодичностью около 12 часов 27 минут.

4. Высота прилива в открытом океане невелика — около 40 см. Но при удачном стечении обстоятельств (конфигурация береговой линии, профиль дна, расположение Луны и Солнца — приливы от Солнца примерно в 2,5 раза слабее) возможны приливы высотой до 15 метров.

5. Луна неслучайно смотрит на нашу планету только одним полушарием. Земля тоже вызывает приливы на Луне, причем значительно более сильные. Жидкой воды на Луне нет — искривляется сама поверхность спутника. Раньше с Земли было видно разные части Луны. Луна вращалась относительно планеты, а приливной горб всегда смотрит в сторону Земли. Можно сказать, что Луна вращалась относительно своего приливного горба. Или еще лучше: приливной горб ползает по поверхности Луны. При деформировании часть механической энергии вращения спутника переходит в тепловую, из-за чего вращение спутника относительно приливного горба (а значит, и относительно направления на Землю) тормозится.

6. Только небольшая доля механической энергии системы Земля-Луна уходит в тепло из-за приливного трения. Основная часть потери механической энергии вращения Земли идет на увеличение орбитальной энергии Луны: Луна удаляется от Земли на 3-4 см в год.

7. Вращение Земли тоже замедляется. Начиная с 1972 года для компенсации этого факта в календарный год вводили дополнительную секунду почти 30 раз.

8. В «приливном захвате» (смотрят на свою планету одним полушарием) находится несколько десятков спутников в Солнечной системе. И это только те случаи, которые нам известны.

9. Самое вулканически активное тело в Солнечной системе — спутник Юпитера Ио. Энергия для извержения вулканов берется преимущественно не из-за скольжения приливного горба по поверхности Ио (он в приливном захвате), а из-за сильно вытянутой орбиты. Расстояние от центра Ио до его твердой поверхности меняется на десятки метров за 18 часов! Любопытно, что орбита стала бы почти круговой за десятки миллионов лет (быстро по геологическим меркам), если бы Ио не был в орбитальном резонансе с другими спутниками Юпитера Ганимедом и Европой.

И раз уж мы вспомнили про геометрическую оптику, вот три анимации для вывода формулы тонкой линзы, которые я делал, по-моему, в период карантина в 2021 году. Обычно в школе ограничиваются выводом этой формулы для действительного изображения в собирающей линзе (первое видео). А про знак минус, появляющийся при мнимом изображении или рассеивающей линзе, говорят сакраментальное «очевидно, что». Если не очевидно — смотрите вывод для мнимого изображения в собирающей линзе (видео номер два). И еще один вывод формулы для рассеивающей линзы (видео номер три).

И, конечно, рекомендую проделать самостоятельно крайне интересное и сложное упражнение — вывод формулы тонкой линзы для мнимого предмета, чтобы понять, в каких случаях получается знак минус перед 1/d. Обычный школьник с таким предметом встретится едва ли. На ЕГЭ мнимых предметов, кажется, еще не встречалось. Что же это такое? Мнимым называется предмет, от которого идет не параллельный и не расходящийся, а сходящийся пучок лучей.

Как это возможно? Например, мнимый предмет может быть изображением действительного предмета, построенным первой линзой. И уже это изображение наблюдатель рассматривает через вторую линзу.