Понедельничная разминка №3.
Первая задача для молодых геометров, но довольно сложная. С финала олимпиады Эйлера 2016-го года (номер 8)
1. Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB и BC и продолжении стороны CD за точку D выбраны соответственно точки K, L и M так, что треугольники KLM и BCA равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок KM пересекает отрезок AD в точке N. Докажите, что LN и AB параллельны. (Б. Обухов)
Вторая задача все с той же региональной олимпиады 1995-го года (9.6). Задача уже ставшая классикой.
2. Окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O₁ , O₂ и A , вторично пересекает окружность S₁ в точке D , окружность S₂ — в точке E , а прямую AB — в точке C . Докажите, что CD=CE . (М.Г. Сонкин)
Третья задача по формулировке очень детская и по решению доступна семиклассникам, но по сути довольно старшеклассная. Однако, по моему опыту, часто вызывает трудности именно у старшеклассников... С какой-то олимпиады Бангладеша.
3. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагональ AC является биссектрисой угла BAD, диагональ EC — биссектрисой угла BED. Кроме того, равны углы BCA и DCE. Докажите, что AB+BE=AD+DE.
Первая задача для молодых геометров, но довольно сложная. С финала олимпиады Эйлера 2016-го года (номер 8)
1. Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB и BC и продолжении стороны CD за точку D выбраны соответственно точки K, L и M так, что треугольники KLM и BCA равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок KM пересекает отрезок AD в точке N. Докажите, что LN и AB параллельны. (Б. Обухов)
Вторая задача все с той же региональной олимпиады 1995-го года (9.6). Задача уже ставшая классикой.
2. Окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O₁ , O₂ и A , вторично пересекает окружность S₁ в точке D , окружность S₂ — в точке E , а прямую AB — в точке C . Докажите, что CD=CE . (М.Г. Сонкин)
Третья задача по формулировке очень детская и по решению доступна семиклассникам, но по сути довольно старшеклассная. Однако, по моему опыту, часто вызывает трудности именно у старшеклассников... С какой-то олимпиады Бангладеша.
3. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагональ AC является биссектрисой угла BAD, диагональ EC — биссектрисой угла BED. Кроме того, равны углы BCA и DCE. Докажите, что AB+BE=AD+DE.
Forwarded from Геометрия-канал (Наталья Нетрусова)
Задача со вчерашнего творческого конкурса учителей:
В треугольнике ABC через точку F проведены чевианы AM, BL, CK, причем ∠CBL = ∠BAM, ∠BCK = ∠CAM. Окружности, описанные около треугольников BML и CMK, пересекают прямую AM в точках P и Q. Докажите, что A — середина отрезка PQ.
В треугольнике ABC через точку F проведены чевианы AM, BL, CK, причем ∠CBL = ∠BAM, ∠BCK = ∠CAM. Окружности, описанные около треугольников BML и CMK, пересекают прямую AM в точках P и Q. Докажите, что A — середина отрезка PQ.
Forwarded from NeuroGeometry (Савва Чуев)
Задача 25:
Автор - Терёшин Александр
Источник - Южный математический турнир 2023
Пусть точка A1 — середина меньшей дуги BC описанной около остроугольного треугольника ABC окружности. Точку A1 отразили относительно стороны BC, а затем её образ отразили относительно биссектрисы угла BAC и получили точку A2. Аналогично получили точки B2 и C2.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника A2B2C2 проходит через центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.
Автор - Терёшин Александр
Источник - Южный математический турнир 2023
Пусть точка A1 — середина меньшей дуги BC описанной около остроугольного треугольника ABC окружности. Точку A1 отразили относительно стороны BC, а затем её образ отразили относительно биссектрисы угла BAC и получили точку A2. Аналогично получили точки B2 и C2.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника A2B2C2 проходит через центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.
Я тут много рефлексирую над тем, какие дискуссии завязываются иногда в чате, и вот чего я не понимаю.
Когда кто-то пишет, что задача считается в комплах (особенно, если задача очевидно для младших классов, но и если не для младших, то тоже странно), что этот кто-то имеет в виду?
Поясню свое недоумение. На мой взгляд приблизительно 100 % геометрических задач считаются в комплах. Чуть меньше в барицентрических, еще чуть меньше в декартовых координатах. Очень много задач двигаются линейно, проективно, полиномиально. Все "детские задачи" считаются вообще как угодно. То есть обычно автор сообщает миру приблизительно 0 информации, особенно учитывая то, что за все время существования паблика в комментариях не было написано, кажется, ни одного решения в комплексных числах. А чего, кишка тонка полностью счетное решение в комментариях писать?
У меня есть несколько версий.
a. Этому кому-то в целом не очень нравится геометрия. Тогда что он делает в этом паблике?
b. Этот кто-то просто хочет похвастаться миру, какой он сообразительный и образованный. Ну... такое себе проявление.
с. Этому кому-то не нравится, когда в канале публикуют простые задачи. Создайте свой канал и публикуйте там только сложные.
Вижу отличное решение. Создайте канал в "Комплексные числа в геометрии". Там скорее всего в комментариях вы не найдете решений, но найдете много раз повторяющуюся фразу "комплы..."
PS. На всякий случай скажу, как и говорил много раз, я ничего не имею против счетных решений, в частности, в комплексных числах. Иногда счетные решения оказываются очень красивыми и содержательными. (Посмотрите, например, разборы геометрических задач от Ф.В.Петрова). Но смысла в констатации факта, что задача считается как-то в комплах, я не вижу совсем. Возможно, я не прав.
Когда кто-то пишет, что задача считается в комплах (особенно, если задача очевидно для младших классов, но и если не для младших, то тоже странно), что этот кто-то имеет в виду?
Поясню свое недоумение. На мой взгляд приблизительно 100 % геометрических задач считаются в комплах. Чуть меньше в барицентрических, еще чуть меньше в декартовых координатах. Очень много задач двигаются линейно, проективно, полиномиально. Все "детские задачи" считаются вообще как угодно. То есть обычно автор сообщает миру приблизительно 0 информации, особенно учитывая то, что за все время существования паблика в комментариях не было написано, кажется, ни одного решения в комплексных числах. А чего, кишка тонка полностью счетное решение в комментариях писать?
У меня есть несколько версий.
a. Этому кому-то в целом не очень нравится геометрия. Тогда что он делает в этом паблике?
b. Этот кто-то просто хочет похвастаться миру, какой он сообразительный и образованный. Ну... такое себе проявление.
с. Этому кому-то не нравится, когда в канале публикуют простые задачи. Создайте свой канал и публикуйте там только сложные.
Вижу отличное решение. Создайте канал в "Комплексные числа в геометрии". Там скорее всего в комментариях вы не найдете решений, но найдете много раз повторяющуюся фразу "комплы..."
PS. На всякий случай скажу, как и говорил много раз, я ничего не имею против счетных решений, в частности, в комплексных числах. Иногда счетные решения оказываются очень красивыми и содержательными. (Посмотрите, например, разборы геометрических задач от Ф.В.Петрова). Но смысла в констатации факта, что задача считается как-то в комплах, я не вижу совсем. Возможно, я не прав.
О! Я придумал, давайте, если задача считается в комплах, вы будете просто ставить реакцию ✍, и не будете никого травмировать своим комментарием. А если вам все-таки захочется высказаться, то вы напишите свое комплекснопрекрасное решение.
Извините, это последний пост на сегодня.
Но вот теперь для тех, кто действительно любит счет в комплексных числах. Мне не дает покоя уже некоторое время следующий вопрос.
Есть очень изящное доказательство существования изогонального сопряжения в комплексных числах. Дело в том, что верно тождество
(p-a)(q-a)/(b-a)(c-a) + ...=1
За многоточием скрыто еще два слагаемых, полученных циклической перестановкой a, b и с. Тождество это верно потому что в левой части записана линейная функция от p, которая при подстановке p=a и p=b дает 1. Следовательно, вещественность двух из трех слагаемых (равенство двух пар углов) влечет и вещественность третьего (равенство в третьей паре углов).
А теперь собственно загадка. Кажется, что теорема об изогоналях может быть быть проассоциирована с каким-то таким же тождеством для комплексных чисел. Я его пока придумать не смог...
Но вот теперь для тех, кто действительно любит счет в комплексных числах. Мне не дает покоя уже некоторое время следующий вопрос.
Есть очень изящное доказательство существования изогонального сопряжения в комплексных числах. Дело в том, что верно тождество
(p-a)(q-a)/(b-a)(c-a) + ...=1
За многоточием скрыто еще два слагаемых, полученных циклической перестановкой a, b и с. Тождество это верно потому что в левой части записана линейная функция от p, которая при подстановке p=a и p=b дает 1. Следовательно, вещественность двух из трех слагаемых (равенство двух пар углов) влечет и вещественность третьего (равенство в третьей паре углов).
А теперь собственно загадка. Кажется, что теорема об изогоналях может быть быть проассоциирована с каким-то таким же тождеством для комплексных чисел. Я его пока придумать не смог...
А вот симпатичная задача , придуманная нашим подписчиком Саввой Чуевым и программой GeoGen (от Патрика Бака). Про то, как работает GeoGen можно почитать на цитируемом канале. Заодно там можно найти несколько задач, придуманных с помощью ГеоГена...
Forwarded from NeuroGeometry (Савва Чуев)
Задача 22:
Автор - GeoGen, Чуев Савва
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. T - ортоцентр треугольника BOC.
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BOC и AOT.
Автор - GeoGen, Чуев Савва
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. T - ортоцентр треугольника BOC.
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BOC и AOT.
https://youtu.be/9pZz_8fKIC8?si=Sf9seusdaFqTGK94
00:00 Вступление
00:27 Первая задача
02:53 Вторая задача
07:40 Третья задача: сведение к уравнению окружности
11:03 Третья задача: степень точки относительно параболы
14:22 Третья задача: фокусы и директрисы, окружность Ферма-Аполлония
19:30 Третья задача: направленные углы в параболе
00:00 Вступление
00:27 Первая задача
02:53 Вторая задача
07:40 Третья задача: сведение к уравнению окружности
11:03 Третья задача: степень точки относительно параболы
14:22 Третья задача: фокусы и директрисы, окружность Ферма-Аполлония
19:30 Третья задача: направленные углы в параболе
YouTube
#2warmup. Разбор второй разминки
1. Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Оказалось, что ∠AMB=60°. На отрезке AM выбрали такую точку D, что AD=BM=CM. Докажите, что CD=AB.
2. (Регион ВсОШ, 1995, 11.7, М.Г. Сонкин) Окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и…
2. (Регион ВсОШ, 1995, 11.7, М.Г. Сонкин) Окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и…
2hVKxcsDy8k.jpg
324.5 KB
Всем привет!
Немного не про олимпиадную, но про геометрию.
Коллеги из Профиматики проводят в октябре абсолютно бесплатный геометрический марафон, чтобы прокачать навыки решения геометрических задач в ЕГЭ. Каждый день в течение всего октября будут появляться маленький блок теории и несколько задач на её закрепление. Рассчитывается, что это будет занимать 10-30 минут в день.
Ребята в Профиматике обычно делают свою работу очень качественно, так что я рекомендую!
Это ссылка для регистрации на марафон.
Немного не про олимпиадную, но про геометрию.
Коллеги из Профиматики проводят в октябре абсолютно бесплатный геометрический марафон, чтобы прокачать навыки решения геометрических задач в ЕГЭ. Каждый день в течение всего октября будут появляться маленький блок теории и несколько задач на её закрепление. Рассчитывается, что это будет занимать 10-30 минут в день.
Ребята в Профиматике обычно делают свою работу очень качественно, так что я рекомендую!
Это ссылка для регистрации на марафон.
Всем привет! Понедельничная разминка №4!
В качестве первой задачи (для начинающих) я предлагаю задачу с регионального этапа олимпиады Эйлера 2021 года. Задача предлагалась во второй день под номером 7. Автор задачи С.Л. Берлов.
1. Точка M — середина стороны AC равностороннего треугольника ABC. Точки P и R на отрезках AM и BC соответственно выбраны так, что AP = BR. Найдите сумму углов ARM, PBM и BMR.
Вторая задача (для продолжающих) тоже про равносторонний треугольник и сумму углов. Первый пункт вполне доступен начинающим.
2. Сторона равностороннего треугольника поделена на n равных частей. Найдите сумму отмеченных на чертеже углов при (a) n=3; (b) при произвольном n.
Третья задача для сильных школьников. Предлагалась в 2006 году на финале ВсОШ в 11-ом классе под номером 4, но даже по мнению сайта problems.ru эта задача одна из самых простых в варианте. Автор задачи Л.А. Емельянов.
3. Биссектрисы BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая EF пересекает описанную окружность в точках P и Q. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника PIQ в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.
В качестве первой задачи (для начинающих) я предлагаю задачу с регионального этапа олимпиады Эйлера 2021 года. Задача предлагалась во второй день под номером 7. Автор задачи С.Л. Берлов.
1. Точка M — середина стороны AC равностороннего треугольника ABC. Точки P и R на отрезках AM и BC соответственно выбраны так, что AP = BR. Найдите сумму углов ARM, PBM и BMR.
Вторая задача (для продолжающих) тоже про равносторонний треугольник и сумму углов. Первый пункт вполне доступен начинающим.
2. Сторона равностороннего треугольника поделена на n равных частей. Найдите сумму отмеченных на чертеже углов при (a) n=3; (b) при произвольном n.
Третья задача для сильных школьников. Предлагалась в 2006 году на финале ВсОШ в 11-ом классе под номером 4, но даже по мнению сайта problems.ru эта задача одна из самых простых в варианте. Автор задачи Л.А. Емельянов.
3. Биссектрисы BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая EF пересекает описанную окружность в точках P и Q. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника PIQ в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.
Forwarded from Geometry Weekly
#19 (Белорусская математическая олимпиада 2019, 9.6)
Синяя окружность касается медианы треугольника
Доказать, что красная пунктирная окружность касается стороны треугольника
Синяя окружность касается медианы треугольника
Доказать, что красная пунктирная окружность касается стороны треугольника
Решил, что теперь буду публиковать ответы на вопросы раз в неделю, но не более двух ответов за один раз. Так мне будет удобнее.
35. Мне очень интересна математика, но в школьные года я, к сожалению, прошел мимо олимпиадного движения, так как в моей школе никто ей не занимался, никто не мог рассказать о таком, да и в то время интересы другие были. Сейчас я в 11 классе, в следующем году буду студентом. Есть ли смысл начинать делать шаги в олимпиадной математике или стоит переключиться на высшую? Немного фрустрирует то, что некоторые люди начинают с 5-6 класса и мне их просто не догнать
Это немного зависит от того, чем вы планируете заниматься. Если вы планируете быть математиком-ученым, то нет особого смысла кидаться в освоение олимпиадной математики. Все необходимое вы сможете получить, изучая материалы университетских лекций, литературу и общаясь с коллегами. Есть масса прекрасных ученых, которые никак с олимпиадной математикой никогда не были связаны…
Если вы планируете заниматься в каком-то виде преподаванием школьникам, то лучше быть в курсе того, что есть в олимпиадной математике. Лучший способ освоить это, будучи студентом, это пойти помощником на кружок к хорошим преподавателям. В Питере это очень приветствуется - про остальные регионы не знаю.
Если вы не планируете заниматься математикой ни в каком виде… то не знаю, что вам посоветовать. Все еще будучи студентов околоматематических специальностей можно всему научиться, помогая вести кружок более опытным преподавателям. Это в целом очень развивает.
36. Мой младший брат перешел в 6 класс, но он учится в обычной сельской школе. Каким образом можно заинтересовать его олимпиадной математикой? Находить курсы его класса в интернете и приучать к этому? Как сделать так, чтобы у него появился интерес к этому? Ведь сложно в наше время, когда есть компьютерные игры сделать так, чтобы человек осознал, что что-то может быть интересней их. Нужно еще преодолеть этот порог вхождения, чтобы понять
Я бы рекомендовал найти хороший онлайн курс или кружок по олимпиадной математике. Начинать, как я уже писал можно с бесплатных, типа Сириуса. Можно показать какие-то классные лекции от хороших популяризаторов. Кстати, у многих, кто увлекается компьютерными играми есть иллюзия, что они так же легко станут программистами (они хотели бы связать свою жизнь с компьютером). Можно подсунуть онлайн курсы программирования для детей - там придется решать математические алгоритмические задачи. История про то, что на собеседованиях обычно дают олимпиадные задачи для младших классов не далека от истины…
Задать вопрос можно тут
35. Мне очень интересна математика, но в школьные года я, к сожалению, прошел мимо олимпиадного движения, так как в моей школе никто ей не занимался, никто не мог рассказать о таком, да и в то время интересы другие были. Сейчас я в 11 классе, в следующем году буду студентом. Есть ли смысл начинать делать шаги в олимпиадной математике или стоит переключиться на высшую? Немного фрустрирует то, что некоторые люди начинают с 5-6 класса и мне их просто не догнать
Это немного зависит от того, чем вы планируете заниматься. Если вы планируете быть математиком-ученым, то нет особого смысла кидаться в освоение олимпиадной математики. Все необходимое вы сможете получить, изучая материалы университетских лекций, литературу и общаясь с коллегами. Есть масса прекрасных ученых, которые никак с олимпиадной математикой никогда не были связаны…
Если вы планируете заниматься в каком-то виде преподаванием школьникам, то лучше быть в курсе того, что есть в олимпиадной математике. Лучший способ освоить это, будучи студентом, это пойти помощником на кружок к хорошим преподавателям. В Питере это очень приветствуется - про остальные регионы не знаю.
Если вы не планируете заниматься математикой ни в каком виде… то не знаю, что вам посоветовать. Все еще будучи студентов околоматематических специальностей можно всему научиться, помогая вести кружок более опытным преподавателям. Это в целом очень развивает.
36. Мой младший брат перешел в 6 класс, но он учится в обычной сельской школе. Каким образом можно заинтересовать его олимпиадной математикой? Находить курсы его класса в интернете и приучать к этому? Как сделать так, чтобы у него появился интерес к этому? Ведь сложно в наше время, когда есть компьютерные игры сделать так, чтобы человек осознал, что что-то может быть интересней их. Нужно еще преодолеть этот порог вхождения, чтобы понять
Я бы рекомендовал найти хороший онлайн курс или кружок по олимпиадной математике. Начинать, как я уже писал можно с бесплатных, типа Сириуса. Можно показать какие-то классные лекции от хороших популяризаторов. Кстати, у многих, кто увлекается компьютерными играми есть иллюзия, что они так же легко станут программистами (они хотели бы связать свою жизнь с компьютером). Можно подсунуть онлайн курсы программирования для детей - там придется решать математические алгоритмические задачи. История про то, что на собеседованиях обычно дают олимпиадные задачи для младших классов не далека от истины…
Задать вопрос можно тут