🤩🤩Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более 1/8.
Уровень [3-]
Если решили 👍

Рубрика ответов на вопросы опять подоспела... Напоминаю, что вопросы можно задать анонимно вот этой гугл-форме.

23. Будучи школьником геометрия была вашей сильной стороной? Как и когд поняли, что Вы геометр?

Мне кажется, я уже где-то рассказывал… В школе я учился в кружке, в котором геометрия не была в особом почете. Нас научили “считать” любую задачу. Кое-какие геометрические идеи я узнал на сборах к Всероссийской олимпиаде, обучаясь у других преподавателей и глядя на другие параллели. В старших классах я на южных турнирах и на Всероссийской олимпиаде познакомился с некоторыми геометрами.

После этого, будучи младшекурсником я начал придумывать геометрические задачи самостоятельно. Поначалу они были в большей степени переоткрытием каких-то более или менее известных задач. А затем уже, по мере освоения геометрического материала, стали появляться и более интересные.

Честно говоря, я до сих пор себя не считаю геометром. Есть у меня синдром самозванца в этом месте. Это в основном связано с тем, что я точно знаю, что умею в геометрии далеко не все и какие-то конструкции вижу недостаточно глубоко. Но я постоянно учусь, в частности, благодаря каналу. Часто такое ощущение меня посещает, когда я читаю супер-глубокие решения на канале или на аопсе.

24. Как можно классифицировать геометрические задачи (например, из профильного ЕГЭ по математике) для продуктивного обучения учеников? По фигурам, по теоремам, по методам (например, вот задачи на метод площадей, а вот — на метод дополнительных построений) или вообще как-то иначе? Вообще важна ли такая классификация или лучше всего просто пытаться решать задачи без какой-либо классификации?

Хм… ну тут такая история… Во-первых, я совсем не в курсе того, какие задачи предлагают на профильном ЕГЭ. Во-вторых, на задачах обычно не написано, каким методом их надо решать. (Это, к слову, основная проблема листиков в московской системе кружков — в них сразу написан рецепт, как решать задачу). То есть одну и ту же задачу можно решить и площадями, и векторами, и дополнительным построением, и в координатах. Поэтому продуктивно обучать учеников (на мой взгляд) можно только рассказывая много решений одной и той же задачи. Именно поэтому я выпускаю видео, в которых предлагаю много доказательств одной теоремы. Хотел даже завести такую видео-рубрику: одна задача - много решений. Но пока руки не дошли.

25. Моя дочка перешла в восьмой класс и не занималась до этого олимпиадной математикой. Сможет ли она составить конкуренцию тем, кто занимается с 4-5 класса? Что для этого надо сделать?

Я тут как-то недавно отвечал на очень похожий вопрос. Вот почти копия ответа оттуда.

Конечно, те, кто начал заниматься в 4-5 классах, будут иметь конкурентное преимущество. Но, стартовав и в 8 классе, можно очень быстро набрать необходимые базовые знания и навыки. Лично я, например, начал заниматься в математическом кружке во второй половине 7 класса и был среди отстающих. Но уже в 8 классе, проучившись в течение года у очень хороших преподавателей, я поехал на ВсОШ за 9 класс. Там я, конечно, провалился, но это меня жутко замотивировало и, будучи в 9-м классе, на финале я уже набрал 55 баллов из 56 возможных. К слову скажу, что приблизительно в 8 классе во многих кружках меняются лидеры, потому что появляются новые серьезные темы: алгебра и геометрия, да и одноходовые задачи уступают место более сложным рассуждениям. Именно тут и начинается математика.

Что для этого нужно сделать… ну я бы сказал, что надо попасть в хороший кружок (опираясь на свой опыт). Но сейчас для старта есть и много других способов, конечно. Например, можно поучиться на курсах Сириуса и набрать хорошую базу. Хорошо бы, конечно, это делать с качественным ментором. Если есть возможность, съездить с какими-то другими детьми на Уральский турнир, чтобы понять, как устроена математическая тусовка, посмотреть на опыт других детей. В большинстве крупных городов есть неплохие кружки. Летом бы надо съездить в хорошую летнюю школу, например, в Кировскую ЛМШ.

26. Планируется ли на Сириус-курсах комбинаторная геометрия? А геометрические неравенства?

Очень сложный для меня вопрос… Все бы хотели, чтобы на Сириус-курсах что-то такое появилось. Мы даже начинали разрабатывать модули по геом неравенства, проходящий от 7-го класса до 9-го, но все немного притормозилось, в частности, из-за пандемии. С комбинаторной геометрией тоже не очень понятно. Можно выделить какие-то отдельные темы, но в цельную картину это дело не складывается… А вообще мне сейчас очень трудно оценить, как именно будут развиваться геометрические Сириус-курсы.

27. Какие геометрические теоремы вы считаете выдающимися?

Хм… Ну все общеизвестные именные теоремы по-своему хорошие и выдающиеся. Удивительным шедевром, стоящим особняком, наверное является теорема Фейербаха, которой кстати совсем недавно исполнилось 200 лет. Еще одно поразительное по красоте утверждение это теорема Емельяновых. И тут, конечно, поразительно и то, что оно не было известно, и то, что эта теорема такая классная, и то, что с одним из авторов можно запросто познакомиться на олимпиаде))

28. У вас есть какой-то пассивный доход от курсов Сириуса?

Нет. Это ж некоммерческое мероприятие… на них все учатся бесплатно. Да и даже если бы оно было коммерческое, думаю, что все права и доходы принадлежали бы фонду “Талант и Успех”, или как он там называется…

29. Можно ли подготовиться к олимпиадам самостоятельно?

Наверное, можно… Но нужно иметь, с одной стороны, какую-то запредельную мотивацию, а с другой стороны уметь как-то фильтровать материал. Я когда вижу, как некоторые деятели пытаются “двигать точки” или делать что-то хитромудрое, а при этом не знают каких-то базовых вещей в геометрии среднего уровня, типа поворотной гомотетии или инверсии… ну у меня волосы начинают на голове шевелиться. Обычно это как раз у “самоучек”...

30. Зачем Вы вписались в эти дорогие кружки? Не кажется ли вам цена неадекватной?

Ох… вот они “неудобные вопросы”. Видимо, речь про МТ-кружки…

Ну, во-первых. Я решил в этом году “повписываться” в разные коммерческие образовательные проекты, посмотреть как это устроено. За этот год у меня таких проектов получилось что-то около 7-8… Какие-то более интересные, какие-то менее. Какой-то опыт я уже готов признать неудачным и скорее всего не повторю. Какие-то проекты еще идут — посмотрим, что из них получится. В целом для меня это довольно дивный новый мир, который я ни в коем случае не считаю своей основной деятельностью.

Во-вторых. Один из таких проектов организуют мои друзья. Мне показалось и кажется, что это довольно амбициозное и интересное мероприятие, которое претендует на качество (а это для меня в целом основной критерий).

В-третьих. Я стараюсь никогда не лезть в финансовую составляющую. И очень редко говорю, сколько я хотел бы получить денег за работу (обычно мне предлагают какую-то сумму или говорят, как она будет определяться и т.п.). Честно говоря, я и не очень знаю актуальную стоимость такой работы на рынке. А еще априори не могу оценить, насколько мне самому будет интересно. Если проект интересный, то деньги для меня не так важны. По факту я через какое-то время оцениваю соотношение интереса, дохода и энергозатрат и принимаю решение, продолжать ли сотрудничество.

Кажется ли мне цена неадекватной? Ну мне кажется она высокой, но я вообще ни разу не москвич, а кажется, что это все рассчитано на москвичей. Еще я точно знаю, что в процесс вовлечено довольно много народу — всем им надо платить зарплату. У меня самого подготовка занятия занимает довольно много времени, думаю, у других преподавателей тоже. Ну и если вычесть налоги… Короче, сложно рассчитать себестоимость… поэтому я и не лезу обычно в ценообразование…

31. В какой программе вы рисуете анимация (например про теорему Паскаля) и картинки для постов? И есть ли у вас статьи/ролики как пользоваться данными программами ?

Я, кажется, регулярно отвечаю на этот вопрос. Анимации я делаю или в Manim или в геогебре. Картинки или в геогебре или в Asymptote. По всем этим инструментам есть куча роликов и даже курсов в интернете. Я когда-то читал одну лекцию про Геогебру и Asymptote, но в общий доступ я решил ее не выкладывать, поскольку не считаю ее очень уж удачной. Впрочем ссылку по запросу уже кому-то посылал, наверное, могу ее скинуть желающим.

Напоминаю, что вопросы можно задать анонимно вот этой гугл-форме.

Отвечу, пожалуй, еще на три вопроса, прилетевших вчера...

32. Добрый вечер, пожалуйста, научите строить сечения плоскостью фигур

Думаю я не очень к этому готов. До сих пор не очень понимаю, что эта тема делает в школьной математике (впрочем, я и про многие другие не очень понимаю). На канале JustMath было несколько очень хороших видео на эту тему. Лучше я уже не сделаю…

33. В чем смысл занятий геометрии после окончания школьных олимпиад, ведь есть и другие способы тренировать мозг. Как Вы считаете, занятия олимпиадной геометрией - тупиковый путь?

Занятия чем угодно это тупиковый путь — мы все умрем. Для меня геометрия это хобби. Для кого-то это профессия. А кто-то это считает баловством. Геометрию в этом контексте можно заменить чем угодно: коллекционированием марок, танцами… И тренировать свой мозг, как вы написали, можно разнообразными способами. В целом, сама жизнь его довольно хорошо тренирует…

34. Стоит ли изучать что то в олимпиадной геометрии после хорошего освоения таких тем как инверсия и проективная геометрия или стоит просто нарабатывать идеи на задачах?

Это очень странный вопрос вне контекста. Все ведь зависит от того, какие еще темы вы уже изучили. На каком уровне вы их знаете. Может вы еще не изучили, что такое подобные треугольники. Тогда бы я вам сказал, что да, стоит еще “что-то” изучить. Что такое “хорошее освоение”? Для чего вы все это изучаете? Материал я бы считал усвоенным, если он у вас есть в активном обиходе, то есть вы придумываете решения с использованием методов. А то бывают школьники, которые уже все-все-все изучили, но все задачи решают с помощью подобия треугольников и счета углов.

Разбор первой разминки...
https://youtu.be/YO1OzmOrQ44

Задача. Докажите, что середины отрезков AG, EF, BD и FG лежат на одной окружности.

О! Что-то новенькое про точку Шалтая)

Задача со вчерашнего творческого конкурса учителей:

В треугольнике ABC через точку F проведены чевианы AM, BL, CK, причем ∠CBL = ∠BAM, ∠BCK = ∠CAM. Окружности, описанные около треугольников BML и CMK, пересекают прямую AM в точках P и Q. Докажите, что A — середина отрезка PQ.

Таинственная связь центров треугольников.

Точка HI — ортоцентр треугольника A1BC и центр вписанной окружности треугольника A2BC. O — центр описанной окружности треугольника A1BC. Докажите, что A1A2, OHI и BC пересекаются в одной точке.

Задача 25:
Автор - Терёшин Александр
Источник - Южный математический турнир 2023

Пусть точка A1 — середина меньшей дуги BC описанной около остроугольного треугольника ABC окружности. Точку A1 отразили относительно стороны BC, а затем её образ отразили относительно биссектрисы угла BAC и получили точку A2. Аналогично получили точки B2 и C2.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника A2B2C2 проходит через центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Дан описанный четырехугольник ABCD, в котором диагональ AC не является биссектрисой угла С. На этой биссектрисе отмечена точка E, такая, что AE и BD перпендикулярны. Точка F — основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону BC. Докажите, что AB=BF.

Автор: Алексей Владимирович Пастор.

Я тут много рефлексирую над тем, какие дискуссии завязываются иногда в чате, и вот чего я не понимаю.

Когда кто-то пишет, что задача считается в комплах (особенно, если задача очевидно для младших классов, но и если не для младших, то тоже странно), что этот кто-то имеет в виду?

Поясню свое недоумение. На мой взгляд приблизительно 100 % геометрических задач считаются в комплах. Чуть меньше в барицентрических, еще чуть меньше в декартовых координатах. Очень много задач двигаются линейно, проективно, полиномиально. Все "детские задачи" считаются вообще как угодно. То есть обычно автор сообщает миру приблизительно 0 информации, особенно учитывая то, что за все время существования паблика в комментариях не было написано, кажется, ни одного решения в комплексных числах. А чего, кишка тонка полностью счетное решение в комментариях писать?

У меня есть несколько версий.

a. Этому кому-то в целом не очень нравится геометрия. Тогда что он делает в этом паблике?
b. Этот кто-то просто хочет похвастаться миру, какой он сообразительный и образованный. Ну... такое себе проявление.
с. Этому кому-то не нравится, когда в канале публикуют простые задачи. Создайте свой канал и публикуйте там только сложные.

Вижу отличное решение. Создайте канал в "Комплексные числа в геометрии". Там скорее всего в комментариях вы не найдете решений, но найдете много раз повторяющуюся фразу "комплы..."

PS. На всякий случай скажу, как и говорил много раз, я ничего не имею против счетных решений, в частности, в комплексных числах. Иногда счетные решения оказываются очень красивыми и содержательными. (Посмотрите, например, разборы геометрических задач от Ф.В.Петрова). Но смысла в констатации факта, что задача считается как-то в комплах, я не вижу совсем. Возможно, я не прав.

О! Я придумал, давайте, если задача считается в комплах, вы будете просто ставить реакцию ✍, и не будете никого травмировать своим комментарием. А если вам все-таки захочется высказаться, то вы напишите свое комплекснопрекрасное решение.

Извините, это последний пост на сегодня.

Но вот теперь для тех, кто действительно любит счет в комплексных числах. Мне не дает покоя уже некоторое время следующий вопрос.

Есть очень изящное доказательство существования изогонального сопряжения в комплексных числах. Дело в том, что верно тождество

(p-a)(q-a)/(b-a)(c-a) + ...=1

За многоточием скрыто еще два слагаемых, полученных циклической перестановкой a, b и с. Тождество это верно потому что в левой части записана линейная функция от p, которая при подстановке p=a и p=b дает 1. Следовательно, вещественность двух из трех слагаемых (равенство двух пар углов) влечет и вещественность третьего (равенство в третьей паре углов).

А теперь собственно загадка. Кажется, что теорема об изогоналях может быть быть проассоциирована с каким-то таким же тождеством для комплексных чисел. Я его пока придумать не смог...

А вот симпатичная задача , придуманная нашим подписчиком Саввой Чуевым и программой GeoGen (от Патрика Бака). Про то, как работает GeoGen можно почитать на цитируемом канале. Заодно там можно найти несколько задач, придуманных с помощью ГеоГена...

Задача 22:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. T - ортоцентр треугольника BOC.
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BOC и AOT.