СПбМО-2022, 8 класс, задача 2. Автор Александр Кузнецов.

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. На отрезке BC выбрана точка X, а на отрезке BD — точка Y, причём CX=EX и AY=DY. Лучи YA и XE пересекаются в точке Z. Докажите, что середина отрезка BZ лежит на прямой AE.

СПбМО-2022, 8 класс, задача 6. Автор Алексей Пастор.

Дан параллелограмм ABCD, в котором ∠ACB = 2∠CAB. На продолжении диагонали AC за точку C отмечена точка E. Докажите, что BC + BE > DE.

А вы знали про такой аналог теоремы Понселе (или формулы Эйлера?) для треугольника? Если равнобокая гипербола и окружность проходят через центры друг друга, то существует семейство треугольников, вписанных в гиперболу и описанных около окружности. Автором утверждения является Виктор Тебо (Victor Thebault).

Важный вопрос!

https://vk.com/@olympgeom-lemma-fussa-ili-teorema-reima

Ко вчерашнему утверждение: можно и наоборот вписывать треугольник в окружность и описывать около гиперболы. Вот такое волшебство...

А вот вопрос. Во вчерашней картинке центр гиперболы это точка Фейербаха треугольника. А в сегодняшней?

Задача с румынского отбора на EGMO-2022. Второй день, задача 3.

На мой взгляд, хорошая тренировочная задача.

На сторонах BC и AB параллелограмма ABCD отмечаны точки E и F соответственно. Отрезки AE и CF пересекаются в точке M. Описанные окружности треугольников AFM и CEM повторно пересекаются в точке N, лежащей внутри треугольника ADC. Докажите, что углы NBA и MDA равны.

Всем привет! Давно не делал видеоразборов. Сегодня разбор задачи 9.5 с регионального этапа этого года + изучаем, как эта задача связана с задачей с турнира Колмогорова 2017-го года.

https://youtu.be/M9kBAH1brCU

Сегодня забавный факт. В предложенной конфигурации красные углы равны тогда и только тогда, когда равны синие отрезки.

Вчерашнее утверждение есть, например в книжке Каталана "Théorèmes et problèmes de géométrie élémentaire", в шестом издании 1879-го года это теорема под номером 100 (C — в римской нумерации). Так вот, во-первых, иллюстрации в этой книге сделаны на черном фоне, что, кажется, очень необычным. А, во-вторых, у теоремы есть второй пункт — доказать, что геометрическое место точек M (точек, из которых проводились касательные в условии) это окружность.

Меня периодически спрашивают, почему на канале нет стереометрии, почти нет геометрических неравенств или комбинаторной геометрии. Ответ на самом деле довольно простой. С одной стороны, и просто задач классической геометрии хватает, а с другой, задачи, скажем по комбинаторной геометрии, да и даже по стереометрии, сложно сопровождать качественным визуальным материалом. А если в публикации нет картинки, то ее никто и не читает))

Тем не менее, давайте проведем опрос.

Несмотря на, что сегодня для меня очень грустный и тревожный день, в который очень трудно игнорировать политику даже внутри очень аполитичного паблика, я понял, что лучше всего отвлечься от грустных мыслей можно решая красивые геометрические задачи. Предлагаю вам очень симпатичную задачу, в которой я придумал несколько очень познавательных решений. Чего и вам желаю.

Точки M и H — середина стороны BC и ортоцентр остроугольного треугольника ABC. AX и AY — касательные к окружности с диаметром MH. Докажите, что точки B, C, X и Y лежат на одной окружности.

(Шортлист Балканской математической олимпиады 2019, G4).

Всем привет! Коллеги записали видео в поддержку Григория Борисовича Филипповского! https://youtu.be/dOjrO6K6WDM

Дорогие друзья, любители геометрии!

Я, создатель и администратор этого сообщества, целиком и полностью осуждаю преступное вторжение России в Украину и проведение любых военных действий. В последние дни все мои мысли и переживания адресованы тем людям, которые сейчас вынуждены находиться в подвалах, в метро и в бомбоубежищах во многих городах по всей территории Украины, всем тем, кто был вынужден покинуть свои дома.

Я считаю, что любая изоляция и разрыв связей между российскими и украинскими математиками, преподавателями, учителями, школьниками ни к чему хорошему привести не может. Обмен педагогическим опытом и идеями, касающимися математического образования, новыми задачами и красивыми результатами является важной частью развития всех нас. Тем не менее я решил приостановить работу сообщества до более спокойных времен, как минимум до того момента, когда я не перестану быть эмоционально опустошен.

Всем мира.

Федор Бахарев.

В Харькове в результате преступного артобстрела погибла наша коллега Юлия Здановская. Юлия успешно участвовала в Европейской олимпиаде по математике для девочек за сборную Украины. Другая участница Европейской олимпиады для девочек (имя и фамилию пока на всякий случай не сообщаю), но уже со стороны России, была задержана на митинге, скорее всего будет отчислена из учебного заведения, мои друзья помогают ей уехать из России. Война это преступление.

В память о Юлии математический факультет MIT запускает онлайн кружок "Yulia's Dream" по математике для старшеклассников из Украины. Подать заявку можно до 12-го апреля.

https://math.mit.edu/research/highschool/primes/YuliasDream.php

Задача от подписчика из Киева. Позволю себе процитировать "Сейчас тяжёлые времена и многим людям не хватает сил и надежды на светлое будущее. Иронично, что задачу я придумал, смотря на полоски скотча на окне. Думаю, что как раз такие моменты показывают, что не всё потеряно. Что искусство вечно, а соответственно вечны и мысли, идеи каждого о прекрасном."

Через центр O прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая его стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Точки E' и F' симметричны точкам E и F относительно BD и AC соответственно. Прямая E'F' пересекает BD и AC в точках K и L. Докажите, что окружность, описанная около треугольника OKL касается прямой EF.

На финале Всероссийской олимпиады в этом году в 11-м классе последняя задача была фантастической красоты. Спасибо Александру Кузнецову и Ивану Фролову! Я, правда, пока не решил 🤣

Из каждой вершины треугольника ABC провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении одноцветных лучей, описали окружности. Докажите, что если одна из них касается описанной окружности треугольника ABC, то и вторая тоже касается.

«Об одной скрытой симметрии: разбор задачи 11.8 со Всероссийской олимпиады»

В понедельник 25 апреля в 19:00 профессор МКН СПбГУ Фёдор Владимирович Петров прочитает лекцию, на которую его вдохновила восьмая задача 11 класса заключительного этапа ВСОШ по математике 2022 года. Задачи в комментарии.

Приходите слушать и обсуждать! zoom 3101721994 пароль vmo

Закончил, наконец, текст про двойные отношения. В основном речь во второй части про гармонические четверки.
https://vk.com/@olympgeom-pro-dvoinoe-otnoshenie-chast-ii